2018年高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.6等价转化法(讲)理

1、方法六等价转化法著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力 和技能、技巧.常见的转化方法有以下几种类型：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形

2、问题；（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径;（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.1由等与不等引起的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要 方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不 等式关系

3、转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围.例1【2018届河北省定州中学高三下学期开学】定义：如果函数在区间卜詞上存在皿满足,-,则称函数是在区间上的一个f O）=护双中值函数，已知函数是区间一閒上的双中值函数，则实数的取值范围是（）【答案】A- /（X）= x3-二3 J（X）= 3x2-兰【解析】55/（X）=x2-x2函数是区间上的双中值函数, 区间 上存在A.B.(IDC.D.满足亠口 -方程在区间7：真1有两个不相等的解,12 , 6vg0)= 3xz-x - r2+ c, (0jr 0269(0)=-t + t 05(t)=2r -t0则过原点作飢巧的切线，切线斜率为中1 0

4、i i)意可知，原问题等价于与 有个交点，这个是解决问题的关键，属中档题2由特殊与一般引起的转化则I2 6 -t-h解得实数的取值范围是故答案为例2【2018届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数个零点，则实数*的取值范围是 _.fo?)【答案】-x2,xo，若函数g3 =-液有4【解析】若函数肌刃=f(.x)-滋有4个零点，即方程畑)=展有林解lnx，工A 0,2-x2?x 2=3 ,外接球直径为=压=3.=土尿= -n,3 S 82【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体

5、，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.例7【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD1AB = BC AD, BAD二ABC =90,E是PD的中点。2（1）证明：直线CE/平面PAB5（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角M _

6、 AB _ D的余弦值。【答案】（1）证明略;5【解析】试題分析；取肥1的中点兀 连结EF,由题意证得CElf禾U用线面平行的判断定理即可证得结论夕建立空间直甬坐标系，求得半平面的法向量：m =（0-,2）. =（0,0,1）.然后利用空间向量的结论 可求得二面角M-AB-D的余弦值为呼-试题解析：（1）取PA的中点F，连结EF，BF。因为E是PD的中点，所以EF/AD,EF =-AD,由.BAD =“ABC =90*得BC/AD，又21BC AD,所以EF丄BC。四边形BCEF为平行四边形，CE/BF。2又BF平面PAB,CE二平面PAB，故CE/平面PAB。（2）由已知得BA _ AD ,

7、以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz,则A 0,0,0,B 1,0,0,C 1,1,0,P 0,1,. 3,PC =(1,0, - .3) , AB =(1,0,0), 设M x, y,z0：x：1则BM二x -1,y,z , PM二x,y 1,z、3,因为BM与底面ABCD所成的角为45，而H=0,0,1是底面ABCD勺法向量,又M在棱PC上，设PM PC,则所以cos(BM, n)|=sin 45,即x1 2 y2z2二0。|z|迈J(x_1 )2+y2+z227x - -, y =1,z - .3-、3，。“1+返2y 1 f舍去

8、），“76z 二2所以Mi-迟丄空L从而丽卜半丄弊设曲=（兀山=q）是平面ABM的;去向量/则m-AM=0Im AB=0,孔+2儿+伍0=0所以可取m=（Q-&2）。于是cos（msn= in=因此二面角M _应_D的余弦值対晋o5.由数与形引起的转化利用数形结合思想，往往可以实现数与形的相互转化，特别是涉及函数方程与函数图象、等问题，适时进行数与形的相互转化，可以达到化难为易、化繁为简的良好效果曲线与方程+ y - 5 0y-x01py x 2兰D例8【2018届湖北省武汉市高三二月调研】已知实数厂丁满足约束条件V2，若不等式门/八m E吃八 二恒成立，则实数的最大值为（）75A.

9、B.C.D.【答案】A由，解得彳27 i&z -29【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最大值，r er 3在点月或点占处取得最小值 5 心=1，即E I 2. 题中的不等式即：厶门 V：巧H十+ 4y24t2+ 2 + 1则：用I比 恒成立，“、4t2+ 2t + l/3fW=原问题转化为求解函数的最小值,整理函数的解析式有：令，则综上可得，实数的最大值为本题选择A选项.应(m) m +令，一上单调递减，在区间上单调递增,则此时函数取得最小值，最小值为:上 单 调递减， 在例9【2016高考新课标3】已知直线l:mx

10、y 3m -、.3 =0与圆x2y2=12交于A, B两点，过A,B分别做丨的垂线与x轴交于C,D两点，若AB =2庙，则|CD |=_.【答案】4【解析】因为|如|=2的，且圆的半径为2$所臥圆心0)到直线初的跑离为=3,则由1节岁二3,解得“一卑 代入直绑的方程,得严鑒+迟 所V 2仏工+133以直线的倾斜角为30-,由平面几何知识知在梯形ABDC中，| CD|=上霭=4 .cos30例10.已知点直(1,0),点P是圆C: (x+1) +y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于 占!;八、(I)求点 上的轨迹方程；(n)若直线y二kxm与点；：的轨迹有两个不同的交点P和Q

11、，且原点0总在以？Q为直径的圆的内部， 求实数m的取值范围.【答案】(I)疋+y2=1 ； (n)-血血2I33丿【解析】(I)由题意知：|EP| =|E纠，|c耳+|EP| =2血二|CE|+|E血|=2运C直|=22x2上的轨迹是以C、二为焦点的椭圆，其轨迹方程为y2=1. 4分211y = kx m(n)设pXi,yi,Q X2,y2，则将直线与椭圆的方程联立得：22，消去y，得:x +2y=22 2 2 2 22k 1 x 4kmx 2m -2 = 0,:0,m : 2k 1.【反思提升】通过以上问题的研究，我们可以体会到等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性在应用等价转化的思想方法

12、去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的 翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型在数学解题中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁 琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等； 或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形 结合法；或者从