2018届高考数学大一轮复习第五章数列第一节数列的概念与简单表示法教师用书理

1、第一节数列的概念与简单表示法 2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度2015，全国卷I,17,12 分（递推通项、1.以考查 S 与 an的关系为主，简单的1. 了解数列的概念和几种简单的表示求和）递推关系也是考查的热点；方法（列表、图象、通项公式）；2014，全国卷I,17,12 分（递推、通2.题型以选择题、填空题为主，要求相2. 了解数列是自变量为正整数的一类项、等差）对较低，但内容很重要，特别是S 与函数。2014，全国卷n,17,12 分（递推、等an的关系，对以后研究数列的通项有很比、求和）重要的作用。2016，浙江卷，13,6 分（an与$的关系）微知识小题练自|主|排|

2、查1 数列的有关概念（1）数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项 间的大小 关系分类递增数列an+1an其中n N*递减数列an+1an常数列an+1=an2按其他有界数列存在正数M使 1an| M标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。2数列的通项公式(1) 数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式

3、。(2) 已知数列an的前n项和S,则an=S_,n=1, 厂i,n2。微点提醒1 数列是按一定顺序排列的一列数， 数列an为ai,a2,a3,，an。而集合ai,a2,a3,an的元素没有顺序。2 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。求数列的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函数关系式。根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一。3 数列不仅有递增数列、递减数列，还有常数列、摆动数列。4已知Sn求&，要对n= 1 和n2两种情况进行讨论。 小|题|快|练一、走进教材_1n1 (必修 5F31例 3 改编)在数列an中，a1= 1,= 1 +(n2)，

4、贝Uas=()a15c.1111 111【解析】由已知得，a2=1 + =1+刁=2,a3=1 一一=1 一厅=7，a4=1 + =1+=3,a11a222a31【答案】 DD-1 1a5=1a4=13I。故选 Do2 .（必修 5P33A 组 T5改编）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样,得的交点最多有_ 个。10 条直线相交所2条直线相交，3条直线相交，4条直线相最多有1个交最多有3个交最多有6个交【解析】 依则a2= 1,an=an-1+ (n 1),n3,而anan1=n 1,由累加法求得an= 1 + 2+ (n 1)所以a10=10X92=45。【答案】 45:、双基查验1.

5、数列3,7 , 11,15，的通项公式可能是()A.an= 4n 7C.an= ( 1)n(4n 1)【答案】C2. 设数列an的前n项和 S=n2,则a$的值为()A. 15C. 49【解析】T Sn=，. a1=S= 1。22当n2时，an=SS1=n(n 1) = 2n 1。当n= 1 时符合上式，B.an= ( 1)n(4n+ 1)D.an= ( 1)n+1(4n 1)B. 16D. 64an= 2n 1,. a8= 2X8 1 = 15。故选 A。【答案】 A3. （2016 赤峰模拟）已知数列满足a1= 0,+1= 寸3an3an+ 13, n N*，则a2 015等于()A. 0

6、C.3【解析】an、3根据题意,由于数列an满足a1= 0 ,an+1=,那么可知a1= 0 ,a2=3an+ 13,a3= 3,a4= 0,a5=寸 3,a6=寸 3,故可知数列的周期为3,那么可知a2 015=a2= 3。故选 B。【答案】B24.已知数列an的前n项和S=n+1，贝Uan=_【解析】当n= 1 时，ai=Si= 2,当n2时，an= SiSn1=+ 1 (n 1)1 2+ 1 = 2n 1,2,n= 1,故an=I?n 1,n2。2,n= 1,【答案】i|2n1,n2u5.已知数列an满足a1= 1,an+1= 3an+ 2,贝Uan=_【解析】因为an+1= 3an+

7、2,所以an+1+ 1 = 3(an+ 1),=3，所以数列an+ 1为等比数列，公比q= 3，又a1+ 1 = 2,所以an+ 1 = 2 3n1,所以an=2 3“11。【答案】 2 3n1 1微考点大课堂考点一由数列的前几项求数列的通项公式【典例 1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。【解析】(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an= ( 1)n(6n 5)。1 ) 8 了 O8(1 )数列变为 91-110 , 91荷，81荷，, 故an= 9 11 1,7 , 13,19，；2 0.8,0.8

8、8,0.888，；an+1+1所以云+112,5138 , 16 ,296132, 64,因此把第 1 项变为一nn2 3故an= ( 1)。反思归纳求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;的通项不可能是(律，则实数对(a,b)可能是()故选 Co【答案】(1)C (2)C(3)各项的分母分别为21,22,23,24，,易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母小3。原数列化为-葺迢,22323324 3丁，,【答案】(1)an= ( 1)n(6n 5)(2)an= 9 1百nan= ( 1)彎3(4)各项符号特征等，并对此进行归

9、纳、化归、联想。【变式训练】(1)(2016 长沙一模)已知数列的前4 项为 2,0,2,0，则依此归纳该数列A.an= ( 1)B.an=2, n 为奇数nnC.an=2sinD.an=cos(n1)n +1(2017 沈阳模拟)已知数列_23,帝pa+bab，10， 根据前三项给出的规A. (19,3)B.(19 , 3)19C.三，D.192，【解析】(1)对n= 1,2,3,4 进行验证,nnan= 2sin 不合题意，故选C。(2)由前三项可an=亠 2n ，所以ab= 8,a+b= 11,即考点二由an与S的关系求通项公式【典例 2】（1）（2016 益阳调研）已知数列刘的前n项和

10、为S,且ai= 1,an+1= S+1,其中nN*，则数列an的通项公式是an=_。（2）（2016 浙江高考）设数列an的前n项和为S。若$= 4，an+1= 2S+ 1，n N,贝Ua1an+1=S+ 1,【解析】 (1)当n2时，由*得an+1an= Si Si-1=an,即卩an+1= 2an,|an=Sn-1+ 1 ,又因为当n= 1 时，a2= 1+ 1 = 2,所以数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则数列 an的通项公式是an= 2n-1。31+a2= 4由于*i，解得a1= 1。由an+1=S+ 1Sn= 2S+ 1 得Sn+1= 3S+ 1，所以Sn02= 2a

11、1+ 13$+1所以 lSn+1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以Sn+ = |心，即Sn= 琴1所以S5= 121。【答案】n1(1)2 (2)1 121反思归纳S与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化。利用an= SSn-1（n2）转化为只含Sn,Sn-1的关系式，利用SS-1= /（门2）转化 为只含an,an1的关系式，再求解。【变式训练】（2016 丹东模拟）已知数列an的前n项和为S, a= 1, S= 2an+1,则S=()n1A. 2C.r-1【解析】 解法一：因为S= 2an+1,所以当n2时，Si1= 2an，所以 an = S

12、Sn1= 2an+12an(n2),an+13 即=-(n2),an21132又a2= 2，所以an=2 J(n2)。1i3 11当n= 1 时，a1= 1 工 2x2= 3,B.1D.21卩，n= 1,所以an= 1i3n2計”3,【答案】2an所以 Si= 2an+1= 2x2匕丿!|)T。故选Bo解法二：由 S = 2an+1= 2( S+1S)3得S+1= 2$,又S=a1= 1,s=S3n1n I 故选Bo【答案】 B考点三由数列的递推关系求通项公式母题发散【典例 3】 设数列an中，a1= 2,an+1=an+n+1,贝Uan=(a2ai)+ (a3a?)+ (a4a3)+(ana

13、n1)+ai= (2 + 3 + 4+ +n) + 2 =2小n+n+2o22n+n+ 22【解析】由条件知an+1an=n+ 1,【母题变式】1.若将本典例“an+1=an+n+1 ” 改为an+1=n+an”，如何求解?【解析】n-an+1-an,n+ 1an+1nan=n+ 1anan-1an-2nan1an2an3a3a?n1nn2n1n 3n22 若将本典例如何求解?【解析】2anc c 11-an+1=,a1= 2,. an0,+ 匚an+ 2an+1an1，即丄-=丄,2an+1an2 an+1an则an=【答案】当n为奇数时，Tan+1+an= 2n,an+1=n（n+ 1 为

14、偶数），故an=n。角度一：数列的周期性【典例 4】（1）在数列an中，ai= 1,a2= 5,an+2=an+ian（n N），贝Ua2 015等于12an,0wanW2,（2016大兴一中模拟）数列an满足an+1=12an 1, 2an1,第 2 017 项为【解析】（1）解法一：由a1= 1,a2= 5,an+2=an+1an（n N）可得该数列为 1,5,4 , 1,5,4,1,5,4 5 6 7，。由此可得a2 015=a335X6+5a5= 5。4 .已知ai且anani=f(n)，可用累加法”求an5 已知a1且 =f(n)，可用“累乘法”求an16 .已知ai且an+1=q?

15、h+b，贝Uan+i+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列an+k。1 1 1丄旦以2为首项，2为公差的等差数列。an1 1=+ana1（n1）x!=n2,2an=。n【答案】3 若将本典例条件换为“ a1= 1,an+1+an= 2n”，如何求解?【解析】an+1+ai= 2n，an+2+an+1= 2n+ 2,故an+2an= 2 ,即数列an是奇数项与偶数项都是公差为 2 的等差数列。当n为偶数时，a2= 1，故an=a2+ 2综上所述,n,n为奇数，n1,n为偶数,n1,n N。【答案】n,n为奇数，n1,n为偶数,n1,n N反思归纳由递推关系式求通项公式

16、的常用方法an。考点四数列的性质多维探究a1=i，则数列的解法二:an+2=an+1一an,an+3=an+2一Nn+1,两式相加可得an+3= an,an+6=a“。a2 015=3335X6+5= 5。31(2)-a1=，a2=2a11=o5524a3=2a2= o a4=2a3=5531-a5= 2a4 1 = ,a6= 2a51 = ?。55该数列周期为T= 4。二a2 017=a1= 5。5【答案】 (1) 5 (2)35角度二：数列的单调性【典例 5】已知数列an的通项an= (n+1) 罟n(n N*)，试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由

17、。当n0,即卩an+ian；当n= 9 时，an+1an= 0,即即an+1=an；当n9 时，an+1an0, 即卩an+1ano故aia2a3aiiai2,2 .解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。微考场新提升1.若数列a.=-+-+ 士+ 2，则a5a4=()【解析】tan+1 a = (n+ 2)10n+1(丄4、后-(n+ 1)俚、n=型L 9-n11 11 11,数列an有最大项ao或ao，其值为 10 9,其项数为 9 或 10。【答案】 数列an中有最大项ao或a10,其值为 10 罟)，其项数为 9 或 10o反思归纳1.

18、解决数列的单调性问题可用以下两种方法(1)作差比较法：根据an+1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列。(2)作商比较法：根据an+1an(an0 或an0)与 1 的大小关系进行判断。n+ 1n+ 22n1列”的（）A.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件则有an+1-an0,即 2n+ 12 入对任意的n N 都成立，于33入2,但反过来，由入不能得到 入1,因此“入T是“数列an为递增数列”的充分不必要条件，故选Ao答案 A4 .数列an中，已知a1= 1,a2= 2,an+1=an+an+2(n N*)，贝Ua?=_。解析 由已知an+1=an+an+2,a1= 1,a2= 2,能够计算出a3= 1,a4= 1,a5= 2,a6= 1,a7=1o答案 15.已知数列an的前n项和为Sn,Sn= 2ann,贝Uan=_。解析 当n= 1 时，S=a1= 2a1 1,得a1= 1,当n2时，an=SnS1= 2ann 2an1A.i0B.C.9o19D.90解析iiiiia5=6+7 +8+9+io,1111a4=5 + 6+ 7+ 8,1111丄-a5a4= 9+尤-5=