行列式的计算方法

1、学号：行列式的计算方法学院名称： 专业名称： 年级班别： 姓 名： 指导教师： 2015年5月河南师范大学本科毕业论文行列式的计算方法摘要 计算行列式几乎贯穿于大学数学的每门课程,是学好高等代数其它内容的必要提前.本文通过借助行列式的定义和各种性质等基本理论知识,逐步深入,探讨总结行列式计算过程中常用的方法以及具有特殊技巧的计算方法,并通过某些典型例题的详细分析和解答,更加清晰透彻地明白每种计算方法的内容,意义以及适用于这些方法的行列式所具有的具体特征.本文主要探讨的行列式计算方法:行列式按行（列）展开定理,降阶法,递推法,数学归纳法等最基本的计算方法,这些方法基本而重要;三角行列式法,范德蒙

2、德行列式法,分块行列式法等方法,此类方法通过用某些特殊行列式的结果,直接计算其行列式的值;加边法和多项式法等具有很强的技巧性方法,此类方法可以将看似极其复杂的问题简单化.关键词 行列式;降阶;行列式性质;范德蒙德行列式 The Calculation of DeterminantsAbstract The calculation of determinants is involved in almost every mathematics course at college and is the premise to learn higher algebra. This paper mainl

3、y introduce the definition and the properties of determinants, then discuss and summarize methods of calculation detailed , through which we can easily figure out the specified determinant or which demand some particular mode of thinking. Doing some classical examples, we will more clearly be aware

4、of the meaning, significance and the character of every calculation method. Common methods of determinant calculation: the determinant theorem, reduction-order method, recursive method and mathematical induction which are some basic and important methods, method of triangular determinants, Vandermon

5、de determinant and the division of determinants which can be figure out directly by using particular determinants, the method of polynomial and add edge which require specialized skills, they can make some difficult problems easy.Keywords Determinant; Reduced order; the properties of determinants; V

6、andermonde determinant前言 在17世纪行列式出现之前,求解多元一次方程组的解,以及讨论其解的情况极其复杂.德国伟大的数学家,科学家莱布尼兹在探索研究线性方程组解的过程中,为更方便得出相应结论,得到了行列式.同时他的思想方法为行列式以后的研究和完善提供了支撑.此后,范德蒙德对行列式的定义做出了具体的逻辑阐述,拉普拉斯给出了著名的拉普拉斯定理,从而更加完善了这一新的数学领域.行列式属于高等代数中的基础知识层次,是高等代数的基石,其中计算是重中之重.引入行列式使得研究线性方程组,特别是解线性方程组,线性方程组解得情况,更加方便和简单,其中最简单的应用就是克拉默法则.行列式在矩阵

7、,二次型,线性空间,线性变换等高等代数的后继章节中都有重要应用.此外,行列式的计算在数学分析等其它数学基础课程中都有所应用.在行列式的计算问题中,行列式定义和性质是一切计算方法的基础,利用定义法和性质法可以直接计算一些简单的行列式,更重要的是可以推导出其它计算方法,如行列式展开定理,三角行列式法等.递推和归纳是基本的数学思想,同样适用于行列式的计算,同时据之再利用行列式性质可以推导出重要的范德蒙德行列式法. 一.行列式的计算方法1.行列式按行（或列）展开定理1该定理在行列式知识体系中基础而重要,是解决其计算问题的有力工具,占据着重要地位.通过利用这一重要的定理,再结合行列式的各种性质,便可以化

8、简其计算步骤和过程,从而得出最终结果.该定理在计算行列式值时主要适用于的行列式的类型及特征:某一行或者某一列当中含有许多的零.此时由本定理可知,其值为,其中许多项都为零,从而达到简化计算的目的.例1.计算解:该行列式中第一列中n个元素仅有两个元素,不为零,故利用上述定理,按第一列展开,我们可以得到=同理,可得,继续下去可以得到=2降阶法这是一种相对而言比较简单而且常见的计算方法.这里的降阶,意思是运用行列式的性质进行恒等变形,而后按一行（列）展开2.基本想法是把一行或者一列中变出尽量多的0,再按这一行（列）展开得到的行列式的阶数就会变小了3.降阶法不要求有太强的技巧性,它是一种基本方法,主要分

9、为:第一类:通过将某一行（或列）的相应倍数加于剩余所有各行（列）,或者将剩余各行（或列）的相应倍数都加于某一行（列）,从而将原行列式转化成与之等价且便于计算的行列式.例2.计算解:观察分析该题知,它每一行的和都是相同的,并且是,所以我们考虑将其第1列加上所有剩余列的1倍,再由行列式的性质4可以知道,其值不变,也就是 = 再根据性质4,将第一列的公因式提出,可得,从而使其转化的较易求解.再将第2,3,n行分别加上第1行的-1倍,可将其化为较多的零,故由性质可知行列式不变,也就是说,故第二类:逐行（列）相加例3.计算解:将第2列加上其第1列的x倍,从而得到一个与之相等的新行列式,再将所得行列式的第

10、3列加上其第2列的x倍,这样依次做下去,根据性质4我们便可得到观察行列式知,该行列式的第n列除第一行外都为零,符合行列式展开定理应用的特征,故按第n列展开,可得 =3.行列式降阶定理降阶法的原理上述已经介绍.而行列式降阶定理则是完全不同的概念,这是通过利用矩阵的初等变换等矩阵相关知识得到的一种新的计算方法.它们是完全不同的两种方法.第一降阶定理:(1）设为方阵,且,则 证:因为,两边取行列式即得所证.(2)若方阵中,则第二降阶定理:设则本定理对于行列式值的求解有巨大贡献,并且主要适用于下列情况:1）或对角矩阵2）当时,例4.设.计算解:当时,易得当则=利用行列式降阶定理特别是第二降阶定理可以解

11、决许多复杂的行列式求值问题,如这是一道在早几年认为较难的问题,自从有了降阶定理才得以彻底解决.4.递推法递推法是指为了处理的问题(其中可取从某一正整数开始的连续正整数),能够建立起与小于的之间的相应关系,并且该关系可以继续的分解成更小正整数之间的关系,如此依次做下去,直到为题目已知值,而此时其值我们可以通过已知条件得到.这种方法应用于数学的各个层次,贯穿与数学的各个分支,是一种基本的数学思想.这种方法同样适用于本文所讨论的计算问题.即,若该行列式可以用原来的低阶形式相应的等价表示出来,则可得到其相关的递推关系式,由此关系式即可方便地求解行列式的值5.运用本方法求解此类问题主要有两类.第一类:一

12、般递推关系法例5.计算解:的主对角线是与另一元素之和,故可利用性质1将化为两个较易求解的新行列式之和,即 =同理可得,于是,就有继续做下去,可得=当时,有第二类:二阶线性递推关系法,这是一种公式法.只要所给行列式能表示成二阶线性递推关系式,就可以按照所给公式进行计算.此类行列式中主对角线上的元素有明显的特点,且主对角线相邻的元素也有规律.递推关系式:（为常数且与无关）.此时设为的根,则因此可写成:或,当时;当时例6.计算解:把按第1行展开,可得解方程,得到两根:又可计算出,且,带入公式得所以5.数学归纳法数学归纳法与递推法类似,都是基本的数学思想,同样适用于行列式的计算问题. 这种方法是行列式

13、证明题中最常用的解题方法,可以使得看似极其复杂无从下手的问题迎刃而解.应用数学归纳法求解的行列式没有特殊的特征,只要根据n-1的情况或者所有小于等于n-1的情况,能推出n阶时成立即可.例7.证明行列式=该行列式为n阶Vandermonde行列式.证明:利用数学归纳法证明.当时,成立.假设该结论对于阶时成立,则当为阶时,从其最后一行开始，从下到上每一行依次都减去其上一行的倍,得 = =这是一个阶的原式,所以根据假设可知根据数学归纳法命题得证.6.范德蒙德行列式法 如果某n阶行列式中含有某n个元素的1到n-1幂次元素,则我们首先考虑利用性质，将其化为范德蒙德行列式,从而利用已知的的结果直接得到所求

14、的值.这是一种极其重要的方法,它同样可以使看似抽象复杂的问题简单化.例86.计算行列式解:观察其特点,满足上述方法的特点,故考虑利用上述方法解题.将该行列式的第2行加上第1行的-1倍,将得到的新行列式的第3行加上第2行的-1倍,依次进行下去,得到再有例7知7.三角行列式法任何一个矩阵都可以通过初等变换转化为阶梯形矩阵,特别的,对于n阶方阵也成立.每一个n阶方阵都对应于一个n阶行列式,如对应于,当n阶方阵通过初等变换转化为相应的阶梯形即三角矩阵时,行列式也通过其对应的性质转化为三角行列式,从而利用三角行列式的结果直接求出行列式值.由于每一个方阵都可以通过初等变换转化为三角矩阵,故三角行列式法是一

15、种比较通用的方法.主要适用于:每一行（或列）大部分都相同或者大部分是零.例9.计算解:通过观察分析可知,除其主对角线第2,3,n行外其它元素都为1,故可以利用三角行列式法解答.将行列式的第2,3,n行都加上-1乘以其第1行的结果,由性质4可知 = 故例10.计算,其中解:该行列式除了主对角线上的元素,每一列的元素都相同,故可考虑使用上述方法.将第2,3,n行分别加上-1乘以其第1行的结果,由性质可得转化为爪型行列式.下面计算:提取每一列的公因式得到=将第2,3,n列分别加到第1列,得 =8.加边法将行列式加一行和一列,而且确保该行列式值不变,这种方法我们称之为加边法.本方法是计算此类问题中的一

16、种新思路,具有很强的技巧性.所加的一行一般为,所加的列一般根据具体题目而定.这种方法虽然使阶数增加,但是有时会使计算更加简化.例11.计算行列式其中解:除该行列式的主对角线元素,每列元素都相同,可看做是1的倍数,故可用上述方法求解其值.=9.分块行列式公式法证明: （1）证明:利用数学归纳法证明.当时,（1）式左端为成立假设时成立,则时,有+得证.所有形如（1）式左端的形式,都可以用这本方法求解其值,这种方法称为分块行列式法.10.多项式法 多项式法又称为因子法,是指利用多项式的重要性质7(如根与其多项式的重要关系,两多项式相同的充分条件等),确定行列式的因子形式,再用待定系数法确定出因子系数

17、的方法,从而求得其值.该方法技巧性较强,但是能够将许多及其复杂的求解问题简单化,有利于解题.例12.设,多项式的次数不超过,是个数.证明证:（1）若存在使得,则（2）都不相等,考虑多项式,按第列展开,可知的次数.又,由多项式常用性质7知,故,即原行列式为0.注:由该题我们也可知多项式法可以将复杂的行列式简单化,但这种方法技巧性强.二结论行列式引入数学后,它的计算成为当时许多数学家的研究范围,直到今日仍是许多学者的研究课题.本篇文章主要介绍了10方法,既包括某些最基本方法,通用方法,也包括技巧性强的方法,但是可以将看似及其复杂的求解简单化.每一种方法都对应其相应的特征,例如,降阶法适用于文章所述

18、两种不同的情形,行列式降阶定理适用于1）或对角矩阵;2）当时,分块行列式法适用于（1）式左端的行列式等.总结行列式的计算方法以及所对应行列式的特点便于对该知识点的系统化和完善化,从而在解题过程中更加得心应手,同时也为以后深层次的研究学习奠定相应的基础.文章只是归纳总结了本人在基础学习和考研学习该知识点的过程中的体会总结,并且认为较为重要的方法,希望以后会有更深的研究探讨,从而逐步完善该知识体系.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社,2003.2孙宗明.高等代数的内容与方法M.兰州:兰州大学出版社,1990.3樊恽.线性代数与解析几何教程

19、M.北京:科学出版社,2009.4陈文灯,黄先开.线性代数复习指导-思路.方法.技巧M.北京:世界图书出版公司北京公司,1998.5朱长青.线性代数学习与解题分析指导M.北京:科学出版社,2000.6 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳M.武汉:华中理工大学出版社,2000.7张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第四版）M.北京:高等教育出版社,1999.8Bahurin Yuri, Regev Amitai, Zeilberger Doron. Commutation relations and Vandermonde determinants J. European Journal of Combin

20、atorics, 2009, 30(5), 1271-1276.9 Sogabe Tomohiro, El-Mikkawy Moawwad. On a problem related to the Vandermonde determinant J. Discrete Applied Mathematics, 2009, 157(13), 2997-2999.10 Yoann Dieudonn, Andrzej Pelc. Deterministic polynomial approach in the planeJ. Distributed Computing, 2015, 28(2), 111-129