一元二次不等式与二次函数

1、精品资料欢迎下载元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系学案知识要点：1 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）二次函数心的符号元一次方程一兀二次不等式图2y =ax +bx +c心二b2-4acax2+ bx +c=02ax +bx+cO2ax + bx + c a 0(a=0)(a=0）的解（a a 0）的解集（a 0）的解集象0与0解0温馨提示： （1）不等式解集规律：“”取两边，”取中间，前提：a0写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式、不等号结合起来。2（2）f（x）二ax bx c的图象与 X 轴交于A（X!,0）,B（X2,0）两点2ax b

2、x 0的二实根为Xi, X2二 当a 0时ax2+ bx + c c 0的解集为 |x xi 0 的解集为x|vxv.则a,b的值分别为（）A精品资料欢迎下载32A.6, 1B.1,6 C. 1, 6 D. 1, 1（2）关于x的不等式ax+bx+cv0 的解集为x|xv a或x3 （a v 3 VO），求不精品资料欢迎下载等式ax2bx+c0 的解集_x _Px 0 对任何实数x都成立，求实数 k 的取值范围。解：(1)当 k2+4k 5= 0 时，k= 5 或 k=1。当 k= 5 时，不等式变为 24x+3+0，显然不 满足题意， kz5。当 k=1 时，不等式变为 30，这时x Ro练

3、习：(1)函数f(x) . kx2-6kx 8的定义域是R,贝 U k 的取值范围是()C亠8 8 8 8A.k B.k C.0 kD.0: k -练习：21 若不等式ax bx 20的解集为x |12; 21VXV21 则 a=3b=_2axbx c : 0(a = 0)恒成立a:0.注意:要单独考虑a = 0时的情况2当 k +4k 5 工 0，根据题意有k24k -5 0:01k a 恒成立：=f (x)mina，即 3+2aa ：= a一 3故此时一 3waw 1.(2) 当 a 1 时，f(x)min=f (a) =a2 2a2+2=2 al x 1, + ) , f (x) a 恒

4、成立二 f(x)min a,即 2 a2a：=a2+a 2w0= 2waw1.故此时一 1vaw1.由(1) (2)知，当一 3waw1 时，x 1, +s), f (x) a 恒成立.例 6.对于函数 f (x),若存在 x R，使 f (x0)=x0成立，则称 x0为 f (x)的不动点.已知 函数 f (x) =ax +(b+1) x+b 1 (aM0).(1)当 a=1 , b= 2 时，求 f (x)的不动点；(2)若对于任意实数 b,函数f (x)恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.解：(1)当 a=1 ,b= 2 时，f (x) =x2 x3=x：=x2 2x 3=0=(x3

5、)(x+1)=0：=x=3或 x= 1,. f (x)的不动点为 x=3 或 x= 1.(2)对任意实数 b, f (x)恒有两个相异不动点对任意实数 b, ax2+ (b+1) x+b 仁 x 恒有两个不等实根二 对任意实数 b, = (b+1)2 4a (b 1 ) 0 恒成立 对任意实 数 b, b2+2(1 4a) b+1+4a 0 恒成立= =4 (1 4a)2 4 (1+4a) 0u (1 4a)223(1+4a) 0 4a 3a 0 a ( 4a 3) 0 0 a 4 2.已知函数 f(x)=ax2a2x，2ba3当 x (-2,6), f(x) 0,当 x (-：,2) (6,

6、二)，f (x)：: 0 ,精品资料欢迎下载(1) 求 f (x)的解析式；k(2) 设 g(x) f(x) 4(k1)x2(6k -1),当k取何值时，g(x)：0 恒成立?4解：(1)据题意：X1=-2,X2 =6是方程ax2a2x 2b - a3= 0的两根_ a二一2 6!a = 4由韦达定理知：2b-a3二/- =(一1)汉6= 8a精品资料欢迎下载(2)g(x) =kx2+4k2 = g(x) cO=， m(x2 1)对满足2 mW2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围.分析：此问题由于常见的思维定势， 易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换一 个角度以m 为变量，即关

7、于 m 的一次不等式(x2 1)m (2x 1)0 在-2,2上恒成立的问题。 对此的研究，设 f(m) = (x2 1)m (2x 1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在-2,2内恒为负值时参数x 应该满足的条件f (2)：0lf(-2)c0m 的一次不等式：(x2 1)m (2x 1)0 在-2,2f(2) = 2(x21)(2x1) cO则|(2) = 2(x21)(2x1)c0 31)2练习：(1 )当 0WxW1 时，函数 y=ax+a 1 的值有正值也有负值，则实数(2) 若 f(x)=(x_1)a2-6ax 1 在区间0, 1上恒为正值，则实数23.函数 f(x

8、)=x +ax 3a 9 对任意 x R 恒有 f(x)0,贝 U f(1) = ( )CA . 6B . 5C. 4D . 3三、一元二次方程根及根的分布问题一元二次方程的实根分布与方程系数有密切关系，现将常见的问题结论归纳整理，以便使用：设一元二次方程ax2bx 0(a - 0)对应的二次函数为f (x)二ax2bx c(a - 0)。(1) 方程f(x 戶 0在区间(-：K )内有两个不等的实根的充要条件是：解：问题可变成关于=(x2 1)m (2x 1),7 -1解得x(2恒成立，设 f(m)a 的取值范围是(D1A.a1C.a12D.1a0:：k,(其中k为常数，二二b2-4ac,以

9、下同)。2af(k) 0精品资料欢迎下载特别地，当 k=0 时，即方程f(x)=O有两个不同的负根的充要条件。SO(2)方程f (x) = 0在区间(k,)内有两个不等实根的充要条件是：-一.k。I2af(k) 0(3)方程f(x)=O有一根大于 k ,另一根小于 k 的充要条件是：f(k)：O。(4)方程f (x) = 0在区间(*2)内有且只有一 根(不包括重根)的充 要条件是f(kjf(k2)：0化1也为常数，以下同)。(5)方程f(x) =0在区间(ki*2)内有两个不等实根的充要条件是(6)方程f (x) =0在区间(匕*2)两边有两个不等实根的充要条件是例与练习：21 若f(x)

10、=x -ax 1有负值，则常数 a 的取值范围是(A )A a2 B -2a2Ca = 2且a-2D 1a0bKk22af(k1)0f(k2)0f(kj：0精品资料欢迎下载16(答案：(1)m：1或m ，(2)-1：m-37(过程参考人教版中学教材全解选修 4-5P82 页)26、 已知抛物线y=(m-1)x (m-2)x-1(m，R)(走向高考 P308)精品资料欢迎下载16（1）当 m 为何值时，抛物线与 x 轴有两个交点。（2）若关于 x 的方程（m -1）x2 （m -2）x -1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求 m 的取值范围。（3） 如果抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且:ABC的面积等于 2，试确定 m 的值。不等式解法学案题组二：高次不等式与分式不等式的解法重点掌握穿针引线法（数轴穿根法）。其步骤为：（1） 将不等式右边化为零，将最高次项的系数化为正（注意是否要变号）。（2） 左边分解为若干个一次因式之积或商，将各因式的根标在数轴上（注意大小顺序），若出现重根则转化为等价的不等式或不等式组。（3 ）从右上角画线依次穿过数轴上各根。（4）根据图形及不等式作出判断写出解集。写出下列不等式的解集：(2x 1)(x -1)(3 - x) 0的解集是5 x事x