2018-2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行训练案北师

1、2. 已知空间三点A(0 , 2, 3)，耳一 2, 1, 6) ,C(1 ,1, 5).若 |a| = 3,a分别与ABACi 直,A.B.C.D.则向量a为()(1 , 1 , 1)(1, 1, 1)(1 , 1 , 1)或(1, 1, 1)(1 , 1 , 1)或(1 , 1, 1)解析：选 C.设a= (x,y,z) , XB= ( 2, 1, x2+y2+z2= 3 ,2xy+ 3z= 0 ,/ 3y+ 2z= 0 x=1,3) ,AC(1 , 3, 2)，由题意得x=- 1,得丿y= 1,或y= 1,z=1z=1.3.在直三棱柱ABCABC中，AB= AC= AA,ABL AC的位

2、置关系是()E是BC的中点，则AE与平面ABCA.相交但不垂直B. AE/平面ABCC. AE丄平面ABCD. A莓平面ABC解析：选 A.建立如图所示的空间直角坐标系.1 1取 |AB= 1,则A(0 , 0, 0) ,BU, 0, 0) ,CO, 1, 0) ,E(2,-,0),A(0 , 0 , 1) ,B(1 , 0 , 1),C(0, 1, 1), Afe=,1, 1),AB= (1 , 0 , 1),AC= (0 , 1, 1),由于AfeABM0 ,AfeAC0 ,故选 A.4.如图所示，在正方体ABCEA1B1GD中，棱长为a,M N分别为AB和AC上的点，AMh AN=U,贝

3、U MN与平面BBGC的位置关系是( )A.相交C.B.D.平行 不能确定解析：选A(a,a,a),B.建立如图坐标系，A (a,20 ,a) ,Ma, 3a,C(0,a, 0) ,B(a, 0 ,a), -.22、3-，3-,13 已)，Na, 3a,a),则MN=(13a,0 ,拿),E3A= (0 ,a, 0)2.4 用向量讨论垂直与平行训练训练案一知能捉升案一知能捉升A.基础达标1.已知A(1 , 2 , 11) ,B(4 , 2 , 3) ,C(6, 1, 4),则厶ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：选 C. 6A= ( 5 , 1

4、, 7) ,6B=( 2 , 3, 1),由于CA- CB=0 且 |CA丰| 西,所以BCL CA故选 C.3加2 BA=0,故MNLBA又因为BA!平面BBCC,所以iM/平面BBCC,所以MN/平面BBCC5已知在平行六面体ABCDABGD中，点M P Q分别为棱AB CD BC的中点，平行 六面体的各棱长均相等.给出下列结论：AM/ DP;AM/ BQAM/平面DCC1;AM/平面DPQB这四个结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 41解析：选 C.设AB= a,AD= b,AA=c,则AiM= AA+ AM=c+a,DP= SD+ SP=c+ 2a,即AM=D1P,故

5、AM/ DP.因为BQ= B1B+E3Q=C+労,所以EC与AM不共线，故AM和BQ不平行， 因为AM/ DP,D琴平面DC,D厚平面DPQB,所以AM/平面DCCD,AM/平面DPQB故正确.6.已知点A(2 , 4 , 0),01, 3 , 3),则直线AB与平面yOz交点C的坐标是 解析： 令C的坐标为(0 ,y,z),-1=2入,则由壷=入AC得一 1=(y 4)入，解得3 =z入，答案：(0, 2, 6)7.设平面 a 的一个法向量为(3 , 2, 1)，平面 3的一个法向量为(一 2,4k),若 a/3 ,贝 y k 等于3= 2 入,因为 a/3 ,所以(3 , 2, 1)=入(

6、一 2, 4,k),即2= 4入-1 =入k,23.23& 已知空间三点A(0 , 0 , 1) ,B( 1, 1, 1) ,C(1 , 2, 3),若直线AB上一点M满 足CML AB则点M的坐标为 _ .解析：AB=( 1, 1, 0),因为AM/ AB所以尿=入AB=(入，入，0),故M的坐标为(一入，入，1) , CM=(入一 1,入一 2 , 4),1因为(ClVL AB所以CM- AB=0 ,1 1(2，2，1).11，1)9.如图，在四棱锥S-ABCD,底面ABCD正方形，侧棱E F分别为AB SC的中点证明：证明：建立如图所示的空间直角坐标系.y= 2,z= 6,1入=

7、2.4八，解得k解析:答案:故M的坐标为1答案：(2,EF/平面SAD设A(a, 0, 0) ,S(0 , 0,b)，则B(a,a, 0),C(0,a, 0) ,Ea,|, 0 ,Fo,F= a, 0, 2 ；. 取SD的中点Go, 0, 2，连接AG则AG=a, 0, 因为 WF=AG所以EF/AG又AG平面SAD EF平面SAD所以EF/平面SAD10.在棱长为 1 的正方体ABCEA1B1CD中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱BB上找一点M使得DM!平面EFB.证明：分别以解析：选 B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直,即判断PAn是否为 0 即可

8、，因此，要对各个选项进行逐个检验.对于选项 A, A= (1 , 0 , 1),则 PA- n= (1 , 0 , 1) - (3, 1 , 2) = 5 工 0,故排除 A对于选项 B, PA= (1 , 4 ,1,则 PA- n= (1 , 4 , 2) (3, 1 , 2) = 0,故选 B.1.已知平面 a 内有点A(2 , 1 , 2),它的一个法向量为P中，在平面 a 内的是()3A. (1 , 1 , 1)B. (1 , 3,刁33C (1 , 3 , mD. ( 1, 3,-)n= (3 , 1, 2),则下列点a b2，2，b.DA DC DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空

9、间直角坐标系，则A(1 ,0 , 0),B(1, 1, 1),C(0, 1, 0), D(0, 0 , 1),E1, 2 , 01!,M1, 1,m.所以AC=( 1 ,1, 0),又E、F分别为AB BC的中点，所以 EF=2AC=又因为 Bfe= 0, 1, 1 ,SM=(1 , 1 ,m 1),2，因为DM!平面FEB,所以DM!EF且DM丄BE.即DM- EF= 0,且DiMh BE= 0.1 12 + 2+(m 1) 0=0 ,1所以 m=所以10-2+( 1-m) =0,故取BB的中点M就能满足DM平面EFB.B.能力提升1 12，2，2.设A B C D是空间不共面的四点，且满足

10、XB-AC0,XC- XD=0,XB- XD=o,则厶BCD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析：选B.因为Be- BD=(BMAC) -(BMAD=BAo,所以BC BD为锐角.同理可得CB CD, 均为锐角，故BCD为锐角三角形.3. 已知向量b= ( 2, 1 , 1)，点A 3, 1, 4) , 0 2, 2, 2).若在直线AB上,存在一点E,使得 6吐b(0为原点)，则点E的坐标为 _ .解析：AB=(1 , 1, 2)，因为 AE/AB所以AE=入屁=(入，一入，一 2 入)，故0E=(入一 3，一 入一 1， 2 入 + 4)，又因为OEL b,A9所

11、以OEb=(入一 3,入一 1， 2 入+ 4) - ( 2, 1, 1) = 0,得入=，故E点的坐54已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2 , 1, 4) ,AD=(4 , 2,0) ,AP=( 1, 2, 1).对于结论：APLABAP丄ADAP是平面ABC的法向量；AP/ BD其中正确的是_ .(填序号)解析：因为 XP-AB=( 1, 2, 1) - (2 , 1, 4) = 0，所以APLAB所以APL AB因为APAD= ( 1, 2, 1) - (4 , 2, 0) = 0，所以AP丄AD,所以APL AD故AP是平面ABC啲法向量，APLBD因此正确的

12、序号为.答案：5.如图所示的长方体ABCDA1B1GD中，底面ABCD是边长为 2 的正 方形，O为AG与BD的交点，BB=2,M是线段BD的中点.(1) 求证：BM/平面DAG(2) 求证：DO丄平面ABC.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点01 , 1, 0) ,D(0 , 0,承), 所以AD= ( 1, 1,2),又点耳 2 , 2, 0) ,M1 , 1 ,.2),所以目= ( 1, 1, ,2),所以0D= BM,标为(-6,14 2了 5答案：(|,142一亏，1)又因为0D与BM不共线，所以OD/ BM又0諄平面DAC BM平面DAC所以BM/平面DAC连接OB.因

13、为0D0B=( i, - 1,2)(1, i,2)= 0,0D AC=( i, -1,Q2) ( 2, 2, 0)= 0，所以0D丄OB, 0D丄AC即OD丄OB,OD丄AC又OBQAC=O所 以DO!平面ABC.6.（选做题）在正四棱柱ABCDABCD中，E, F分别是CD,CB的中点，G为CC上任 一点，tan /ECD）=4.(1) 求证：AGL EF;(2) 在CC上是否存在点G使AGL平面CEF并说明理由.解：因为ABCDAiBCD是正四棱柱，所以ABCD是正方形，设其边长 为2a,/ECD是EC与底面所成的角.而/ECD=/CEC,所以CC= 4EC= 4a.以A为原点，AB, AD AA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系.则A(0 , 0, 0),耳 2a, 0, 0),C(2a, 2a, 0),D(0 , 2a, 0) ,A(0 ,0, 4a) ,B(2a, 0 , 4a) ,C(2a,2a, 4a),D(0 , 2a,4a