专题椭圆的离心率解法大全

1、1专题：椭圆的离心率，利用定义求椭圆的离心率eT或宀1 !.：)1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率 e =222,椭圆乞红=1 的离心率为4mAB 上，求这个椭圆的离心率解析当焦点在x轴上时,上卫二1二.m =3；当焦点在 y 轴上时,2 2m41 5_2-16m -,3综上m =16或 333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2X4,已知 m,n,m+n 成等差数列，m n, mn 成等比数列，则椭圆 -m2=1 的离心率为”2n = 2m + n解析由丿n2=m2nm=2，椭圆=1 的离心率为n=4m n12x25,已知-2-1(m 0.n .0

2、)则当 mn 取得最小值时，椭圆 鼻m nm2 2x v6,设椭圆+zy=1(ab 0)的右焦点为F1,右准线为丨1,若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F到丨1的a b社=1的的离心率为n2距离，则椭圆的离心率是1。2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1,在RtABC 中，A =90，AB二AC = 1，如果一个椭圆过A B两点,它的一个焦点为C,另一个焦点在22,如图所示,椭圆中心在原点 则椭圆的离心率为()解析b(-b) = T = aa c23,以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于,F 是左焦点,直线AB1与 BF 交于 D,且.BDB1MF

3、与圆相切，则椭圆的离心率是,3 -13解：TlF1F2|=2c1BF11=c1BF21= 3c c+2 2x y 变式（1）:椭圆 尹 + *L=1（ab 0）的两焦点为 F1、寸 3c=2a -e= aF2,点 P 在椭圆上，使厶 OPF 为正三角形，求椭圆离心率?变式(1):以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心IMFI =IMO，则椭圆的离心率是2 2X y4,椭圆 尹 + b=1(ab 0)的两焦点为椭圆的离心率 e?Fi、F2，以F1F2为边作正三角形,O 并且与椭圆交于M N 两点，如果若椭圆恰好平分正三角形的两边，则解：连接 PF2,贝,OF | = | OF |

4、 = | OP| , / F1PF2=902 2x y变式（2） 椭圆ar-+ bL=1（ab 0）的两焦点为 F1、PF2/ AB,求椭圆离心率？b2PF1| =| F2F1| =2c | OB | =b | OA | =aae=e e5将上题中的条件“ PF2/ AB”变换为“PO/2.2 a =5c变式(3):图形如上图， e= 3-1F2, AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF 丄 X 轴,PF2/AB/.| |fFF1F|= a| F2F1| a又/ b=a2-c2AB(O为坐标原点)”2 2x y相似题：椭圆ar+ *L=1（ab 0） , A 是左顶点，F 是右焦点,解

5、：| AO I =a | OF | =c | BF | =aB 是短轴的一个顶点，/ ABF=90，求 e?I AB | = a2+b2a2+b2+a2=（a+c）2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0 两边同除以 a2e2+e-仁 0 e=-1 +c5e=舍去）变式(1):椭圆x + J=1(ab 0) , e= , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求/ ABF? a b2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：引申：此类 e=的椭圆为 优美椭圆。性质：(1)/ ABF=90(2)假设下端点为B,则 ABFB 四点共圆。 (3

6、 )焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。2 2变式(2):椭圆x- 2=1(ab 0)的四个顶点为A、B C、a b5 -190D若四边形ABCD勺内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e=MF与圆相切，则椭圆的离心率是,3 -14提示：内切圆的圆心即原点，半径等于 c,又等于直角三角形但r = cAOB斜边上的高，.由面积得：ab = ra2b2,的取值范围。解：设 Px,y ,F1-c,0 , F2c,0法 1:利用椭圆范围。4,设椭圆2 27 7y7=(ay7=(a b bQ 的左、右焦点分别为印 F2，如果椭圆上存在点 卩，使 F1PF2=90，求离心率 ea2(c2a2)052 2

7、 2 2由 RP_F2P 得 x y =c ,将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得 x2 22, 2a c -a b2a be2由椭圆的性质知 0 乞 x2: a2，得以 eI-2 2,1) 02附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1 类似)法 2:判别式法。由椭圆定义知IPFJ IPFzIahPFJ2IPF2I2VlPFjPFzI-qa2，又因为F1PF290，可得I Phi2- | PF2I2=| RF2I2=4c2，则I Ph II PF2|=2(a2-c2) =2b2，二PR，PF2是方程z2-2az - 2b2= 0的两个根，则厶-4a2-8(a22-c)-0= e2

8、c2a1-=2e,2解法 3:正弦定理IPFi|PF2F1 =由正弦定理有-sin Psin :=_二IPF1I+IPF2Isin 90sin：亠sin :IRF2I=|吋2|又因为|PF |卩卩2| =23,厅忑|=2。，且:90则c1e =a si naJl0 :2二二3二 + 444JI-一厂兀，则sin( )乞1,1 b 0)的两焦点为点，且/ PF1F2=5 / PF2F1,求椭圆的离心率分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。| F1F2| RP |P，故有c _ b= c2_ b2= a2_ c2Fi(-c , 0)、F2(c,0) , P 是以丨 F1F2丨为直径的圆与椭圆

9、的一个交解：由正弦疋理： sin F1PFsin F1F2Psin PF1F2根据和比性质:a2(c2a2)0672 2x y变式(2):椭圆于 + =1(ab 0)的两焦点为 F1(-c , 0)、F2(c,0) , P 是椭圆上一点，且/ F1PF2=60。，求 a b椭圆离心率 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。22=1(a b 0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点，若解析：设F为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形八匸上1得亞_12，4得26,如图，在平面直角坐标系xoy中，A, A2, B!, B2为椭圆IF1F2Isin FiPFIF1P|+|PF2I

10、sinF1F2P+S in PF1F2变形得:IF1F21sin F1PF2/ PF1F2=75/ PF2F1=15 e=IPHI+IF1PIsin 90sin75 +sin 15点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知2c =sin F1F2P +si n PF1F2=元=e e=_6_ 3sin F1PF2e=-sin F1F2P +sin PF1F2F1PF2= 60；，则椭圆的离心率e的值解析：因为P(c_)，再由.FfF2=60有a2x2a-6离心率的最小值。 _e：13变式：若代B为椭圆2-y2=1(a b 0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使/AQB=120，求此椭圆b2

11、 2变式：8、椭圆-y- =1 a b 0上一点 A 关于原点的对称点为B, F 为其右焦点，若a2b2AF _ BF，设3131ABF，且_124，则椭圆的离心率的取值范围为解：设/ FiF2P=a，则/sin F1PF2sin60F F2F F1P P=120120 - -ae e=sin F1F2P +sin PF1F2=sina+sin(120-a)2sin(1 1a+30)1产e e1 1变式AFBF为平行四边形且为矩形,AF =2csin：, BF =2ccos：,2csin二2ccos：= 2a,所以e =asiw+c。曲血sinG- ,由+兀) 十一i48焦点，直线AB?与直线

12、BiF相交于点T,线段OT与椭圆的交点 的离心率为22a=1 ,直线A1B2的方程为y=1，直线B1F的方程为-ab2=1，两式联立得T的坐标 兰2 ,b(a c)，c -ba-c a-c所以中点 M 的坐标为acb(a c)2(a-c)，因为点M 在椭圆上，代人方程得4c2 (a c)2=4 a - c2e 0,12x7,椭圆一 L +a的取值范围？分析：MR 解： cb 0)的两焦点为MF =0 以 F1F2为直径作圆,2=b2+c22c2 0b 0)恰过 F2点，求 e 的取值范围？分析：思路 1,如图 FF 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求

13、2x8,椭圆云的两焦点为 Fi(-c , 0)、F2(c,0) , P 为右准线2aL: x=上一点，F1P 的垂直平分线解法一:卄 b2既(药竺)2 丿b22c-c,-c,2MF；=-(a、b、c 的不等关系。e2F1(-c，0)F2(c,0) P(2a贝 yPR =-(+c, ycM(a -c cya(+c) ( (c2T2T-c)+-c)+0) )2PFiMF2=0(+c, yo)c2y22=0a2-3c w 02b2y02c-c,-c,22a 一 c2aI PF2|-cc2a则 2c -cc2 o 3 a 则 W w eb 0)，过左焦点 F1椭圆的离心率 e 的值解：设 | BF1|

14、 =m 贝U|AF | =2a-am |且倾斜角为 60的直线交椭圆与 AB 两点，若丨 FiA| =2| BF | ,求在厶 AFF2及厶 BF1F2中，由余弦定理得:练习题：BF2厂22(a2-c2)=m(2a+c)I =2a-m-c2=m(2a-c)2 2、:2ac 12两式相除：+=e=3= 1(a b 0)上有一点MFLF2是椭圆的两个焦点，若2MFr，MF2|=2b，求椭圆的离心率.解析：由椭圆的定义，可得MFL十MF2I=2a又MF1MF22=2b,所以MF1,MF2是方程x2-2ax - 2b2=0的两根，由&=(-2a)2-4 2b2-0,可得a2_ 2b2,即a2_

15、2(c2-a2)所以eSa所以椭圆离心率的取值范围是一2,1)232,在厶ABC中，A=90*,tanB若以A,4AB解析AB = 4k, AC = 3k, BC =5k,e =AC +BCB为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率123,已知FF2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点,若PF1F2: PF2F1:. F1PF2=1:2:3,贝毗椭圆的离心率 为-解析.3-1 三角形三边的比是1:3:22 2X y22=1(a b0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点a b4,在平面直角坐标系中，椭圆作圆的两切线互相垂直，则离心率解析=2a-e =c22a,0c5,在厶ABC12【解

16、题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析SABCnlABI |AC|si n A=3,| AC|=2、3 , |BCAB| AC |2匚2| AB | | AC |cosA = 2则该椭圆的离心率的取值范围为7,已知椭圆M:笃十与=i（a b 0）的左、右焦点分别为FI（Y,0J,F2（C,0）, P为椭圆M上任意一点，且 PFPF?a b，其中 c =：；a2-b2，则该椭圆的离心率的取值范围为解析:设 P xo,yo，则PFi= -c-Xo,-y。_c-xo,-y。=x。2 y。2-c2，而X02- y。2=PO2乞 a2, 京忑的最大值为2222222i- c2-a2-c2_3C2=2c_a2_4c2e -22 28,在平面直角坐标系中， 椭圆 笃 -y2=i（|AB|J3ie| AC |BC |2.3 222 26,已知椭圆冷莒a b十宀0 0）的左、右焦点分别为 9 9，。）,F2,F2（c,c,o o），若椭圆上存在一点P使需 H H，解析PFi在.PFIF2中，由正弦定理得-丄，则由已知，得sin PFiF2sin PF2R-c，即 aPFi=CPF2, PF2PFiPFi即 PF2 =cPF2，由椭圆的定义知a2 2- -2a2a，由解法三知 c-a.；：*PF2a