专题提升7相似图形中的分类讨论.

1、专题提升 7 相似图形中的分类讨论1 已知ABC 与厶 DEF 相似，AABC 的三边长分别为 2 cm, 3 cm, 4 cm,DEF 的一边长 是 8 cm，则 DEF 其余两边的长不可能是（BA . 6 cm 和 4 cm B . 12 cm 和 10 cmC. 16 cm 和 12 cm D. cm 和 cm【解】 提示：分ADEF 的最大边为 8 cm，最小边为 8 cm 和最大边或最小边均不为8 cm 这三种情况讨论.AE = 2, BE = 3, AC = 4在 AC 上取一点 D，使 ADE 与A. B. C.或 D.或【解】 如解图.1若ADE ABC，则=.二 AE = 2

2、, BE = 3，二 AB = 5. = ,. AD =;2若AEDABC，则=,. = ,. AD =.综上所述，AD 的值是或.3.如图，在梯形 ABCD 中，ADIIBC,ZD = 90, AD = 2, BC = 5, DC = 8.若 DC 边上有 点 P,使PAD 与厶 PBC 相似，则符合条件的点 P 有（CA . 1 个 B . 2 个C. 3 个 D . 4 个【解】 设 PD = x，则 PC = 8-x.在厶PAD 与厶PBC 中，ZD =ZC = 90.若PADPBC，则=，即=,2 .在 ABC 中，E 是 AB 上一点, ABC 相似，则 AD 的值是（C解得 x=

3、，符合题意.若 PABABPC 则=，即=,解得 x= 4均符合题意.综上所述，符合条件的点 P 有 3 个.4将三角形纸片( ABC 按如图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B,折痕为 EF.已 知 AB = AC= 3, BC= 4,若以点 B, F, C 为顶点的三角形与ABC 相似，则 BF 的长是或 2.【解】 易得 BEFABEF 可设 BF=BF= x，贝 U CF= 4 x./ C=Z c,.分情况讨论：1若 BF8AABC 则=，即=，二 x=.2若 FBCsABC 则=，即=，二 x= 2.综上所述，BF 的长是或 2.5.(本溪中考在 ABC 中，AB= 6

4、 cm，AC = 5 cm，点 D，E 分别在 AB，AC 上.若 ADE 与 ABC 相似，且 SAADE:S 四边形 BCED = 1 : 8，贝 U AD =或 2cm.【解】 / SAADE : S 四边形 BCED = 1 : 8， SAADE:SAABC=1:9， 人。与厶 ABC 相似比为 1 : 3.分情况讨论：1若AEDAABC 则=/ AC= 5 cm，. AD= cm；2若ADEAABC 则=/ AB= 6 cm，. AD= 2 cm.综上所述，AD= cm 或 2 cm.6.如图，在 RtAACB 中，ZC= 90，AC = 4 cm，BC= 3 cm，点 P 由点 B

5、 出发沿 BA 方向向终点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s ;同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向终点 C 匀速运动，速度为2 cm/s.连结 PQ，设点 P，Q 运动的时间为 t(s(Ovtv2，当以 A，P，Q 为顶点的三角形与 ACB 相似时，t 的值为或.【解】在 RtAACB 中，TAC= 4, BC= 3,二 AB= 5.由题意，得 BP= t , AQ= 2t , AP= 5 -1 .A=ZA, 分两种情况：1若 APMAABC,则=,即=,解得 t =.2若 AQMAABC 则=,即=,解得 t =.综上所述,t 的值为或.7 .在ABC 中，P 是 AB 上的动点(

6、点 P 异于 A, B 两点，过点 P 的直线截ABC，使截得的 三角形与AABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的厶ABC 的相似线，简记为 P(lx(x 为正 整数.(第 7 题(2 如图，/ C= 90 / B = 30 当=或或时,P(lx 截得的三角形面积为ABC 面积的.【解】(1 过点 P 作 13/ BC,则 I 3 也是过点 P 的厶 ABC 的相似线.(2 分三种情况讨论：1如解图，P 为斜边 AB 的中点，=;2如解图，CP 为 AB 的垂线,=;3如解图，BP= BC =.综上所述,当 BP=或或时，P(lx 截得的三角形面积为ABC 面积的.P 的厶ABC 的(

7、第 7 题解& 已知矩形 ABCD 与长为 30,宽为 20 的矩形相似，且 AB= 15,求矩形 ABCD 的周长和面 积.【解】 若 AB 为长，则有=，解得 CB= 10.此时矩形 ABCD 的周长=2X(15 + 10= 50,矩形 ABCD 勺面积=15X10 = 150;若 AB 为宽，则有=，解得 CB= 22.5.此时矩形 ABCD 的周长=2X(15 + 22.5 = 75,矩形 ABCD 勺面积=22.5X15= 337.5.9.如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 1 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B.试在 y 轴上找一点卩，使厶AOP 与厶 AOB 相似，你

8、能找出几个这样的点(点 P 与点 B 不重合？分别求出对应 AP 的 长.【解】 易可求得点 A 2, 0, B(0, 1,=.点 P 在 y 轴上，且点 P 与点 B 不重合，/AOB=ZAO= 90 .若厶AOP 与AOB 相似，则=或=,.OP= 4 或 OF= 1.当 OF= 4 时，点 P0, 4 或 P0, 4，此时 AN= 2;当 OF= 1 时，点 P(0, 1,此时 AP=.(1 设 a, b 是方形的一组邻边长，写出a, b 的值(一组即可.综上所述，共有3 个点满足条件，分别为点P1(0 , 4, P2(0，- 4, P3(0，- 1 , API = AP2=2,AP3

9、=.10.如图，已知 CA 丄 AB 于点 A, DB丄 AB 于点 B, AB = 12 m, AC= 4 m. 只蚂蚁由点 B 向 终点 A 爬行，每分钟前进 1 m，另一只蚂蚁由点 B 向点 D 爬行，每分钟前进 2 m.他们同时出 发，点 P, Q 为它们在某一时刻的位置，则爬行几分钟后，以A, C, P 为顶点的三角形与以B, P, Q 为顶点的三角形相似？并说明理由.由题意，得 PB = x(m , BQ= 2x(m，二 AP= (12 xm.A= ZB=90分两种情况讨论：1当 ACPBPQ 时，=,即=,解得 x= 4.2当 ACPBQP 时， =,即=,解得 x= 10.由题

10、意，得 0 xW12，故两个 x 值均符合题意.爬行 4 min 或 10 min 后，以 A, C, P 为顶点的三角形与以11若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图，在矩形 BC = 2AB,则称矩形 ABCD 为方形.(2 如图，在ABC 中，将 AB, AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4 的对边分别在 B2C2，B3C3，B4C4，BC上.1若 BC= 25 , BC 边上的高线长为 20,则以 B4C4 为一边的矩形是不是方形？为什么？【解设爬行 x(min 后，以 A, C, P 为

11、顶点的三角形与以B, P, Q 为顶点的三角形相似.B, P, Q 为顶点的三角形相似.ABCD 中,(第 10 题2若以 B3C3 为一边的矩形为方形，求 BC 与 BC 边上的高线长之比.【解】 (1 答案不唯一，女口 a = 2, b= 4.(2以 B4C4 为一边的矩形不是方形.理由如下：过点 A 作 AM 丄 BC 于点 M ,交 B1C1 于点 E,交 B2C2 于点 F,交 B3C3 于点 G,交 B4C4 于点 N,贝 U AM丄 B4C4./BC/B4C4,AB4C4sAABC,/BC = 25, AM = 20,B4C4 = 20, AN= 16, MN = 4,即以 B4C4 为一边的矩形的另一边长为 4