数学建模第六章2

1、幻方趣谈一、幻方的概念 定义 若一个 n阶由1n2的正整数组成，且每行、每列与两对角线上的n个元素之和都相等. 则称此矩阵为n阶幻方. 每行的n个元素之和称为幻和，并记为Sn.例如，下面分别是3阶幻方和4阶幻方81635749211514412679810115133216幻和的计算公式S3=3(1+9)/2=15, S4=4(1+16)/2=34, S5=5(1+25)/2=65注：不存在2阶幻方二、幻方的起源传说,我国远在夏禹治水时(公元前23世纪), 陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产. 于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上

2、天. 事后，一只神龟从河中跃出, 背上有一个九种花纹的图,后人把这个图称为“洛书”. 它就是从1到9连续自然数排成3行的图. 492357816此图我国古代也称为九宫图. 最早见于记载的4阶幻方,是在印度卡俱拉霍地方发现的一个11世纪的碑文上. 它是一个极不平凡的4阶幻方,有着十分玄妙的性质. 71211421381116310596154它除了一般四阶幻方的通有的性质外，还有如下特性：（1）任一“折断的对角线”上4个数之和也等于幻和34；（2）任一2阶子阵的4个数之和也等于幻和34；（3）任一3阶子阵的4角4个数之和也等于幻和34；（4）任一3阶子阵的2对角数之和恰是幻和34的一半17.顺便

3、提一下，1977年美国发射寻求星外文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上除了携带向宇宙人问候的“地球之声”(古今音乐、近六十种语言的问候话,三十五种自然界的各种声响唱片)外,还带了一些图片,其中有这张4阶幻方图.1980年，上海博物馆在整理明代古墓的出土文物时，发现了一块玉佩上有一个4阶幻方，它也有上述玄妙的性质：81114113271231696105415三、自然顺序方阵及其性质定义 把自然数1n2从小到大排成n阶方阵:，通项 ，把A称为自然顺序n阶方阵. 把行（列）号之和等于 n+1的两行（列）称为对称行（列），当n为奇数时，设n=2k-1，称为中心数，它位于A的中央. 位于对称行（

4、列）同列（行）的两个数与（）称为行（列）对称数，而关于中心对称的两个数与称为对称数. 位于不同行，不同列的数称为独立数. 矩阵A的性质：性质1. 任两个对称数之和都是. 证 .性质2. 任意n个独立数之和为幻和Sn.证. 设是A的n个独立数，则是从1到n的一个排列，故.因此推论.主(次)对角线上n个数之和为Sn.任一折断的对角线上n个数之和也为Sn.性质3 任两个对称行（列）的2n个数之和都等于2 Sn.证：把两个对称行（列）的2n个数视为n对对称数，由性质1，其和为性质4 当n=2k-1时，第k(中间)行(列)的n个数之和为Sn.证.第k行的和第k列的和四、奇数阶幻方 设n=2k-1，（k=

5、1,2,）.(一) 构造方法1-连续摆数法按以下步骤填写，即可得到一个n阶幻方.(1) 先画一个n×n方格表；(2) 把1填写在第1行中间；(3) 当m填好后，若m的右上方空，则把m+1填在此格，否则，把m+1填在m的下方. (把第1列视作第n列的右方，把第n行视作第1行的上方)17241815235714164613202210121921311182529例如 填写一个3阶幻方和5阶幻方816357492可验证其幻和分别为15和65.(二)连续摆数法的原理设是按以上方法构造的n阶方阵，是自然顺序方阵.1B与A的变换公式设m表示正在写的数，当时，m写在pn的下面（例如n=5时，6在

6、5下面，11在10下面等）,否则，m在m-1的右上方.172418151234523571416678910B:46132022A:11121314151012192131617181920111825292122232425从而，是一条折断对角线，且对应于A的第p+1行。以上讲的B的每一条折断对角线，是固定的数（mod n），故设,B的第1条折断对角线，,对应A的第1行；故设可见规律是： ，即B的第2条折断对角线，,对应A的第2行；故设可见规律是： ，即一般，B的第t条折断对角线，把代入得变换式：， （1） 2B的列和从（1）式可见，若给定j, i每增加1，（1）式右边的行号与列号也分别增加

7、1(mod n)，即B的每列数对应 A的一条折断对角线. 故其和是Sn.172418151234523571416678910B:46132022A:111213141510121921316171819201118252921222324253B的行和， （1）若给定i后, j每增加1，（1）式右边的行号增加1(mod n),列号增加2(mod n)，一旦大于n就减去n(奇数), 这就改变了奇偶性, 故列号也取遍了1n,即B的每行数对应 A的n个独立数. 故其和是Sn. 172418151234523571416678910B:46132022A:1112131415101219213161

8、71819201118252921222324254B的对称数容易验证(1)等价于;(2) 等价于;(3) 等价于;(4) 等价于;(5) 等价于;(6) 等价于. 从而, B中的一对对称数相应于A中的两个数的行号之和为;上式左边第1项需加(减)n时，第2项就需减(加)n, 故其和不变. 同理，列号之和为; 即B中的一对对称数也是A中的一对对称数172418151234523571416678910B:46132022A:111213141510121921316171819201118252921222324255B的对角线和首先，由(1)式知，B的中心数恰等于A的中心数：.其次，B的主（次

9、）对角线都是由对对称数及中心数组成，故其和为综合得，上法构造的方阵符合幻方的定义. （三）构造方法2-阶梯法 以n=5为例说明（1）在的表格中斜着按自然顺序填写，这相当于把自然顺序方阵A逆时针转45度。54103915281420171319256121824111723162221（2）框住中心的格.54103915281420171319256121824111723162221（3）把框外的数移到框内的空格处：左（右）面的数向右（左）移动n列；上（下）面的数向下（上）移动n行。这就得到一个n=2k-1阶幻方31692215208211427251311924125186114171023

10、化简的方法：直接在个方格中填写（1）把1填在中心右旁；（2）若右上方空，就写下一个数；（3）否则，写在右隔一处.（四）阶梯法的P矩阵性质：316922151234520821142678910P72513119A11121314152412518616171819201141710232122232425（1） P的次对角线=A的中间行（2） P的主对角线=A的中间列（3） P的中间行=A的主对角线（4） P的中间列=A的次对角线（5） P的其他行（列）=A的折断对角线以上右面的和都是Sn，故P是幻方。（五）阶梯法的变换公式设，每个y值对应P的一条折断对角线，也对应A的一行。y=2对应A的第1

11、行，；y=4对应A的第2行，；.y=2k-2 对应A的第k-1行，；可见，y为偶数时，y=1对应A的第k行，；y=3对应A的第k+1行，；.y=2k-1 对应A的第2k-1行，；可见，y为奇数时，另外，y为偶数时，y为奇数时，可见，不论y的奇偶性，P与A的变换公式可以统一为五双偶阶幻方设n=4k，（k=1,2,）.（一）. 构造方法(对称法)把A的中心点视为原点，把第1象限的数均匀地分为甲类和乙类，即每行(列)各占一半，然后按对称原则，使aij, ai(n+1-j) , a (n+1-i)j，与a (n+1-i) (n+1-j)同类.让甲(乙)类的数固定不变，乙(甲)类的数都跟其对称数对换.

12、n=4的例1234567891011121314151611514412679810115133216（A） （D）n=8的例123456781636245595889101112131415165610115352141549171819202122232417474620214342242526272829303132402627373630313333343536373839403234352928383925414243444546474841232244451918484950515253545556165051131254559575859606162636457766061326

13、4（A） （D）可验证满足S8=260 （二）. 原理A的第i行之和A中两个行对称数之差为， 从而若把第i行与第n+1-i行中的n/2对行对称数进行交换，则这两行的行和分别变为即对换后，这两行的和都等于幻和. A的第j列之和A中两个列对称数之差为 从而若把第j列与第n+1-j列中的n/2对列对称数进行交换，则这两列的和分别变为即对换后，这两列的和都等于幻和. 另外，注意到A中每条对角线的n个数之和都为Sn, 即对角线上的数只与同在此对角线上的数交换，其和不变. 因此，矩阵D是幻方.六、单偶阶幻方设n=4k+2，先考察一个6阶幻方. 第一步，先用上述介绍的方法构造出一个4阶幻方, 如图1所示，幻

14、和为34；第二步，把这个4阶幻方的每个数都加上10,得图2所示, 此时幻和为74；图2所用的数是1126, 恰是136中间的16个数, 如图3所示;1125241422161719182021152313122611514412679810115133216图1 图2123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536图3第三步，观察剩余的20个数有这样的规律：，而37+74=111=S6, 于是，可把这20个数按“和为37”配成10对，如图4所示. 把第一行的数称为小头数，第二行称为大头数. 1234567891036

15、353433323130292827图4第四步，按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添加到图2的四周,但要满足: (a) 每边3个小头数；(b)对边的小头数之和相等. 这就可得到一个6阶幻方,如图5所示. 913230291061125241431222161719353418202115333231312264273657828图5图5四周每边3个小头数（蓝色），第1行与第6行的小头数之和都是20; 第1列与第6列的小头数之和都是17.下图是在宁夏固原市南15 km处安西王府（1273年建）遗址发现的一个6阶幻方。（安西王叫忙哥刺，是元世祖忽必烈的第三儿子）。左图是古阿拉伯数字。

16、该6阶幻方就是用上述方法构造的。上述方法可以推广到一般4k+2阶幻方的构造，其步骤是：(1) 先构造出一个4k阶幻方;(2) 把这个4k阶幻方的每个数都加上8k+2,即把这16k2个数移到1(4k+2)2的中间；(3) 把剩余的首尾两段小头数与大头数配对，每对之和为16k(k+1)+5;(4) 按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添到上图的四周，但要满足: (a) 每边有2k+1个小头数；(b)对边的小头数之和相等. 这就可得到一个4k+2阶幻方. 按这种方法，我们再构造出一个10阶幻方如图6所示，S10=505.1712397969586901878220217978242575

17、94142773723031696834878356564383961604293165844455554484951859150525347465657431089594140626337366612886733327071292874139226767723228081199831009998456151184图6图6中间部分是把一个8阶幻方平移了18, 四周每边有5个小头数，第1行与第10行的小头数之和都是41; 第1列与第10列的小头数之和都是62. 这就是一个10阶幻方.注：（1）幻方的数量：3阶8个；4阶7040个；5阶多于2.7亿个；6阶多于1.77*1019个.（2）我国南宋时

18、期杰出的数学家杨辉（1238-1298）是世界上第一个从数学角度对幻方进行系统研究的学者。对于洛书上的幻方，杨辉总结成八句话：九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足（3）幻方的一个简单应用实例一块木板放在水面，浮力大于45 kg，要把重量分别为1,2，,9 kg的九箱物体放到该木板上，要求不出现倾斜，怎么放？答：只要按3阶幻方的位置去放相应重量的物体。七、幻方的推广（1）广义幻方由n2个不同的正整数组成的n阶方阵，且每行、每列及两对角线上的n个元素之和都相等，这种方阵称为n阶广义幻方.当然，n阶广义幻方没有固定的幻和. 102547131922116例1

19、S3=39. 由于约束条件减弱，所以n阶广义幻方较易求得. 任一个n阶幻方平移一个正整数，都可获得一个n阶广义幻方. 例2 以下是一个可颠倒(转180度)的4阶广义幻方, S4=264颠倒后，幻和不变.6889119616916988991886618166981961869918199881668869169196116889（2）双重幻方双重幻方由n个不同的正整数构成，各行、各列及两对角线上的各数之和均相等，同时各数的乘积也均相等. 例如16220751261331201162510515210029138243393492279113645381502615730174225108231

20、19104587517190175221616113681841895087135114200203157611710246811537854692321751960这是8 阶双重幻方，幻和为 840，幻积为 2,058,068,231,856,000（3）平方（二次）幻方平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和均相等、平方和也均相等. 以下是由0195构成的14阶平方幻方36810368151166104281905516878611491144841771321461241481297718164117333574491411201891831115980431581383413515914

21、07214616253144152102391531501931716715846376115119892621176116195112051738266541451051081545018110915542157201133792694132191126561561331272246885119179131161165316510695110471005819291178117413612401072918410183122134218010147130967449901231421211821316725163385128938618598188717871372412516979161871762160752717570358114364971721869923601171945211817030139943845（4）三次幻方三次幻方的各行各列及两条对角线诸数的和均相等、平方和也均相等、立方和也均相等. 以下是由0255构成的16阶三次幻方3329272514582841141411711731102302282262225139123632331092062183749146221921322162041771672252111682441504121410511874430887812420042481119048102