高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质

1、精品文档6.已知二次函数f(x)R)0,则对所有实专题二一一利用导数研究函数的性质2009-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用 导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题 以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函 数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。考点展不1 .二次函数y f (x)的图象过原点且它的导函数y f( x)的图象是如图所示的一条直线，则 y f(x)图象的顶点在第 一 象限2 .如图，函数f(x)

2、的图象是折线段 ABC,其中A, B, C的坐标分别为(0,4)(2 0)(6 4),则(0)2;函数f(x)在x 1处的导数f (1)-2.33 .曲线y x 2x 4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 45 4 .设曲线y ax2在点(1, a)处的切线与直线 2x y 6 0平行，则a 15 .设a R,若函数y ex ax, xR有大于零的极值点，则 a的取值范围a2ax bx c的导数为f (x), f (0) 0 ,对于任息实数 x ,有f (x) 0 ,则f1的最小值为2f (0)7 .已知函数f(x) x3 12x 8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M,mUM m _32.3

3、 ,8.过点P (2, 8)作曲线 y x的切线，则切线万程为 _12x-y-16=0或3x-y+2=0样题剖析例1、设函数f(x) ax3 3x2 (a 1)x 1,其中a为实数。 32(i)已知函数f (x)在x 1处取得极值，求a的值；(n)已知不等式 f(x) x2 x a 1对任意a (0,)都成立，求实数 x的取值范围。2解：(1) f (x) ax 3x (a 1),由于函数f(x)在x 1时取得极值，所以f (1) 0即 a 3 a 1 0,： a 122(2)万法一：由题设知：ax 3x (a 1) x x a 1对任息a (0,)都成立.22即a(x 2) x 2x 0对任

4、意a (0,)都成立设g(a) a(x2 2) x2 2x(a R),则对任意x R, g(a)为单调递增函数(a所以对任意a (0,), g(a) 0恒成立的充分必要条件是g(0) 02即 x 2x 0, 2 x 0于是x的取值范围是 x| 2 x 0、 22万法二：由题设知：ax 3x (a 1) x x a 1对任意a (0,)都成立,22即a(x 2) x 2x 0对任意a (0,)都成立x2 2xx2 2x于是a x2x对任意a (0,)都成立，即x 2x 0x2 2x2 2 .2x0于是x的取值范围是 x| 2 x 0点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0,反过来，函数的

5、导数在某点的值为在函数这点处取得极值。1 2变式1.若f(x)= -x2 bln(x 2)在(-1,+)上是减函数，则 b的取值范围是 _b12 b由题意可知 f (x) x 0,在x ( 1,)上恒成立，x 2即b x(x 2)在x ( 1,)上恒成立，由于 x 1,所以b 1,变式 2.已知函数f1(x)3xp1, f2(x) 23xp2(x R, p1,p2为常数).则f1xf2x数x成立的充分必要条件(用p1, p2表示)为(1)由f(x)的定义可知，f(x)f1(x)(对所有实数x)等价于f1xf2x(对所有实数x)这又等价于3xp12g3xp2,即x p1 x p2 log3 23

6、1 1132对所有实数x均成立.(*)由于 x Pi x p2|I (x Pi)(xPz) Pip2 (x R)的最大值为 Pip2故(*)等价于3 Plp22 ,即p1P2log3 2,这就是所求的充分必要条件变式3.函数f(x) ax3 3x 1对于x1,1总有f(x) 0成立，则a=4解：若x 0,则不论a取何值，f x 0显然成立;ba 2 ，xa 1 , ，故f xb 3当x 0即x (0,1时,-331f (x) ax 3x 1 0 可化为，a x x(2)设 P x, y为曲线上任一点,313 1 2x12 3，则g x 4 , 所以g x 在区间 0, 上单倜递增，在区间234

7、x xx23 一知曲线在点P x0,y0 x处的切线方程为y v。 13-2 x0x0x0、，、-1单倜递减，因此g x max g -4,从而a 4；,从而得切线与直线xx00的交点坐标为1,0 时,f(x)3ax 3x0可化为3 1 2x4xx 2比，从而得切线与直线y x的交点坐标为2址,2比；g x 在区间 1,0上单调递增，因此 g x man g 14,从而a 4,综上a 4ma n所以点P x0,y0处的切线与直线x 0, y x所围成的三角形面积为 g | 2x0 6;例2、如图，等腰梯形ABCD三边AB , BC, CD分别与函数yQ, R,求才形ABCD面积的最小值1 2

8、一x： 41斛：设 P 的坐标 P(x0, x0 2), A(,0)B( x0,2)2 2x02x2 4 1S 2(x0一 1小)利用基本不等式得，最小值为 4V22x0212-x 2, x 2,2的图像切于点巳变式：设函数f(x) ax b,曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为7x 4y 12 0。 x(1)求y f(x)的解析式；(2)证明：曲线y f(x)上任一点处的切线与直线 x 0和直线y x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。故曲线y f x上任一点处的切线与直线 x 0, y x所围成的三角形面积为定值，此定值为6；总结提炼1.要掌握求函数的极值的一般步骤，利

9、用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以一 及和、差、乘积和商的导数公式X2.曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的3.切线的几何意义比较明显，解题时，应多结合图形，图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时 找出错误。自我测试1 .过原点彳曲线 y=ex的切线，则切点的坐标为(1, e)-1 ，八2 .直线y -x b是曲线y lnx(x 0)的一条切线，则实数 b _ ln2 1271斛：(1)方程7x 4y 12 0可化为y x 3,当x 2时，y 423 .已知函数 f (x) , x R满足f (2) 3,且f(x)在R上的导数满足f/(x) 1 0 ,则不等 式

10、f (x2) x2 1 的解集为 _h(, J2)U(J2,) _.(构造函数 g(x) f(x) x)2 .4.一个物体的运动方程为 s 1 t t其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 5 米/秒._2令h(x)”也x4x 16, xx1,4.5.母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于.33h (x) 一4(x 2)( x 2)1,46.半径为r的圆的面积S(r)= r2,周长C(r)=2 r,若将r看作(0 , +o)上的变量，则(r2) =2 r当 1 x 2时,h (x) 0,当 2 x4时，h (x)，C1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函

11、数。对于半径为R的球，若将R看h(x)在1,2)是单调减函数，在(2,4是单调增函数彳(0, +8)上的变量，请你写出类似于。1的式子:，Q式可以h(x)min h(2)32,h(x)maxh(1) h(4)36.用语言叙述为:4 Q解：V球=一 R3 , 34 Qc 4 4又(一R3) =4 R 故式可填(一R3) =4 R2 ,用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.(本题考查类比的思想方法，本题属于中等题)7.已知函数f(x)lOgaX和g(x) 210g a(2x t2),(a0,a 1,t R)的图象在x=2处的切线互相.当 0 a 1 时，有 F(x)minloga36

12、,当 a1时,有 F ( x) minloga32.当 x 1,4时，F(x) 2恒成立，F(x)min.满足条件的a的值满足下列不等式组:0 a 1.log a 36 2D或a 1,log a 32 2平行.(1)求t的值.不等式组的解集为空集，解不等式组,4, 2(2)设F(x)g(x) f(x),当 x 1,4时,F(x)2恒成立，求a的取值范围.综上所述，满足条件的 a的取值范围是(1,4,2(1)解：f (x)1 ,、4.-log a e, g (x)log a ex2x t 228.已知函数f(x)的导致f (x) 3x 3ax,f (0) b. a,b 为实数，1 a2.函数f

13、(x)和g(x)的图象在x=2处的切线互相平行,(I)若f (x)在区间1, 1上的最小值、最大值分别为 2、1,求a、b的值; f (2) g (2)(n)在(i)的条件下，求经过点P(2, 1)且与曲线f (x)相切的直线l的方程;.1.4- 2logae t=6(2)t=6,-log a e 2(出)设函数F(x) (f (x) 6x 1)e2x,试判断函数F(x)的极值点个数.解(I)由已知得,f(x) x3F(x) g(x)f (x) 2loga(2x 4) loga x由f (x) 0,得x1.(2x 4)2=log a ,x 1,4x 1, 1, 12,当 x 1, 0)时，f

14、(x) 0, f(x)递增;3 -a23x2 4x，点 P(2, 1)在曲线 f(x)上.当 x (0, 1时，f (x) 0, f(x)递减.f(x)在区间1, 1上的最大值为f (0) b, b 1.一-33_3又 f (1)12a1 22a,f( 1)1-a 1222f( 1) f(1).,一、一一 一 一34由题意得f( 1)2 ,即 3a2,得a 4.23一 4一故a 一，b 1为所求.3(n)解：由(1)得 f(x) x3 2x2 1, f (x) 当切点为P(2, 1)时，切线l的斜率k f (x)|x2 4,l的方程为y 1 4(x 2),即4x y 7 0 .当切点P不是切点

15、时，设切点为 Q(%, y0) (x0 2),切线l的斜率k f (x) |x % 3x2 4x0 , 2 1- l 的方程为y y0(3x04x)(xx0).又点 P(2, 1)在l 上，1 y0 (3x24x0)(2x), 1 (x3 2x2 1) (3x2 4x0)(2 x), x2(2 x0) (3x2 4x0)(2 x), 221- x 3x0 4x0,即 2x0(x0 2) 0 ,x0 0. 切线 l 的万程为 y 1.8 分故所求切线l的方程为4x y 7 0或y 1. 9分(强瓦:由(1)知点A (0,1)为极大值点，所以曲线f(x)的点A处的切线为y 1,恰好经过点P(2, 1), 符合题意.)_2_2x6x 6(a 3)x 8 3a e .二次函数y 6x2 6(a 3)x 8 3a的判别式为 _2_2_2 36(a 3)2 24(8 3a) 12(3a2 12a 11) 12 3(a 2)2 1