高中数学新选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.5.3

1、1.5.3 定积分的概念明目标、知重点1 . 了解定积分的概念，会用定义求定积分.2 .理解定积分的几何意义.3 .掌握定积分的基本性质.填要点记疑点定积分概念一般地，如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a-xo<x1<x2< - <xi 1<x-yxn=b将区间a, b等分成n个小区间，在每个小区间x1, xi上任取一点 E i( i = 1,2 ,，n),作和式与=1f ( E i) A x = J 1 n 3 f ( E i),当n一8时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函 数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 ？f(x)dx,这里，a与b分

2、别 叫做积分下限与积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数， x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式.几何意义如果在区间a,b上函数f(x)连续且恒启f (x)n0,那么定积分？f (x)dx 表/、由直线 x=a, x=b(awb), y=0和曲线 y = f(x)所围成 的曲边梯形的面积.-1基本性质1%kf (x)d x= k?f (x)d x( k 为常数)； If 1(x) ±f 2(x)d x= ?f 1(x)dx± ?f2(x)dx； 曹(x)dx= ?f (x)dx+?f (x)dx(其中 a<c<b).探要点,究所然探究

3、点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点.答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.思考2怎样正确认识定积分 ？f(x)dx?答(1)定积分？f(x)dx是一个数值(极限值).它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另 外？f(x)dx与积分区间a, b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同.n(2)定积分就是和的极限lnim£f( J) Ax,而*f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函 "i =1数f(x)从a到b的定积分”.(3)函数f(x)在区间a, b上连续这一条件是不

4、能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件).例1利用定积分的定义，计算 ?0x3dx的值.解令 f (x) = x3.分割在区间0,1上等间隔地插入 n- 1个分点，把区间0,1等分成n个小区间-,( i =1,2n),每个小区间的长度为i i -1 1A x= 一一= 一n n n(2)近似代替、求和i 3J i?x dx= $=二 1f(n) AxJ i 3 1 吓 1 (n) n1 二 311 2211 2=衿 1i =4n(n+1) =4(1+n).取极限?x3dx= lim Sn= lim -(1 + -) 2=.nnT0&#

5、176; 4 n 4反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2),从而省略了解题步骤.(2)从过程来看，当f(x)>0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积.跟踪训练1用定义计算2(1+x)dx.解(1)分害U：将区间1,2等分成n个小区间|1 + '1 +- i = 1,2 ,，n),每个小区间 - n n的长度为Ax=1. n(2)近似代替、求和：在 |1 +', 1 + ' Lb取点 E i = 1 + '(i =1,2 ,，n),于是 f ( E

6、i)一 n nni 1 i 1= 1+1+= 2+,从而得 z f ( E i) Ax=£ (2i =14)1 = £n n i=121 一 .一 ,一=n - n+ n20+1 + 2+ (n 1)=2 +n-12n取极限：S= 1nm g+-2n K 2+2=g.25因此 4(1 +x)dx=2.探究点二 定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a, b上函数f(x)连续且恒有f (x) >0,那么？f(x)dx表示什么？答 当函数f (x) >0时，定积分4f(x)dx在几何上表示由直线 x= a, x= b( a<b), y=0及曲线 y =

7、f (x)所围成的曲边梯形的面积.思考2 当f(x)在区间a, b上连续且恒有f(x) <0时，？f (x)dx表示的含义是什么？若 f(x) 有正有负呢？答 如果在区间a, b上，函数f(x) <0时，那么曲边梯形位于 x轴的下方(如图).,一 b 一a由于>0,nf( E i)<0,故f(七Obnaw0.从而定积分？f(x)dxw。，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即？f(x)d x= S.当f(x)在区间a, b上有正有负时，定积分？f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x =a, x= b(awb)之间各部分面积的代数和 (在x轴上方的取正，

8、在 x轴下方的取负).(如图 )，即 4f(x)dx=S + S2&.例2利用几何意义计算下列定积分：(1) “9x2dx； (2) 21(3x+1)dx.解(1)在平面上y=9=x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆,其面积为S= 2 兀, 3 2.由定积分的几何意义知*39 - x2 dx= 27t.(2)由直线x= 1, x=3, y=0,以及y=3x+1所围成的图形，如图所示:*i(3x + 1)dx表示由直线 x= - 1, x = 3, y= 0以及y= 3x+1所围成的图 形在x轴上方的面积减去在 x轴下方的面积， .21(3x+ 1)dx=；x(3+ ：)

9、X(3 X3+ 1) -1(-1+1) X2= 50 2=16. 232333反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正 确利用相关的几何知识求面积.不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值:(1) Axdx； (2) ?"cos xdx； (3)1)x|dx.解 (1)如图(1), 3xdx= A + A1=0.(2)如图(2) , ?%os xdx = A-A2+A3=0.如图（3）, A=A>, . 3| x|d x=2A = 2X2= 1.(A1, A2, A分别表木图中相应

10、各处面积)(1)探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广?f 1(x) ± f 2(x) ± -± fn(x)d x=?bf 1(x)dx±1f2(x)dx±3± ?fn(x)dx;？f (x)d x=会1af (x)dx+ ?C2C1f (x)d x + + 夕cnf (x)d x(其中 n N*).思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答 奇、偶函数在区间一a, a上的定积分若奇函数y=f(x)的图象在一a, a上连续不断，则 2af(x)dx= 0.若偶函数y=g(x)的图象在一a,

11、 a上连续不断，则 3g(x)dx= 2?g(x)dx.例3 计算 3H9-x2-x3)dx的值.解如图，23x3dx = 0,由定积分性质得3( ?9 x2 x3)d x= ? 3y 9 x2 dx 2 3x3dx=9兀 2'反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算.1 -15 7 56 .跟踪训练 3 已知 2xdx = ：, ?xdx =二，？xdx = , *?x dx=,求： 4433 43x3dx； (2) ?6x2dx； (3) ?(3 x22x3)d x.解 (1)彳3x

12、3dx = 3?x3dx=3( ?x3dx+?x3dx) =3*(；+ Y) = 12； (2)16x2dx = 6?x2dx = 6( ?x2dx + ?x2dx) = 6x ( 7+ 56) = 126;(3)。(3 x2-2x3)dx= ?3x2dx ?2x3dx一 2.一3 一 7 一 15 . 151=3?x dx 2仅 dx=3X -2X = 7- - =-.3422当堂测置疑缺n. i3?x dx=乙 n3 ,n'1 .下列结论中成立的个数是()n？x3dx= lim £ nooi = 1n？x3dx= lim Z ni = 1答案 C 解析成立.2 .定积分？

13、f(x)dx的大小()A.与f(x)和积分区间a, b有关，与E i的取法无关B.与f(x)有关，与区间a, b以及 J的取法无关C.与f(x)以及)的取法有关，与区间 a, b无关 D.与f(x)、积分区间a, b和E i的取法都有关 答案 A3 .根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：?xdx?x2dx ；?业x2 dx?2dx.答案<4 .若？x2dx=9,则常数T的值为.答案 3解析令f(x)=x2.分割将区间0, Tn等分，则Ax = T.(2)近似代替、求和取 E i = (i = 1,2 ,，n), n一 (T)221 n n n1T33(1 +2 + n ) nT3

14、=-3nn n+ 1 2n+16T31乜6(1 十中化1+ n)取极限T3°T3八S= to 6X2= 3=9,T= 27,T= 3.呈重点、现规律n1.定积分?f(x)d x是一一个和式Xi = 1b a-nf(。)的极限,是一个常数.2 .可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用 几何意义求定积分.3 .定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算40分钟课时作业一、基础过关1 .下列命题不正确的是 ()A.若f(x)是连续的奇函数，则 3f (x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则 2af(x)dx=2?f(x)dxC.若f(x)在a, b

15、上连续且恒正，则 加(x)dx>0D.若f(x)在a, b上连续且 ?f(x)dx>0,则f(x)在a, b上恒正答案 D解析 对于 A, f( -x) =-f (x) , 3f(x)dx= 2af(x)dx+1f(x)dx= 4f(x)dx+?f(x)dx=0,同理 B正确；由定积分的几何意义知，当 f(x)>0时，？f(x)dx>0即C正确；但lf(x)dx>0,不一定有f(x)恒正，故选 D.2 .已知定积分 轿(x)dx= 8,且f(x)为偶函数，则 /6f (x)dx等于().A. 0 B . 16 C . 12 D . 8答案 B解析偶函数图象关于 y

16、轴对称，故 26f (x)dx=2饼(x)dx= 16,故选 B.3 .已知 4xdx=2,贝U 2txdx 等于()A. 0 B . 2 C. 1 D.2答案 D解析 f (x) =x在一t, t上是奇函数，»txdx= 0.而 2txdx= 2txdx+ ?xdx,又?xdx=2,，2txdx= 2.故选 D.4 .由曲线y=x2-4,直线x = 0, x=4和x轴围成的封闭图形的面积 (如图)是()A. 4(x24)dxB. | ?0 x24 dx|C. % x2- 4|d xD. 52( x2-4)dx + 12(x2-4)dx答案 C5 .设 a= ?x：dx, b=?x2

17、dx, c=?x3dx,贝U a, b, c 的大小关系是()A. c>a>bB. a>b>cC. a=b>cD. a>c>b答案 B13121 1解析根据th积分的几何息义，易知？x dx<?x dxv?x.dx, a>b>c,故选B.36 .若2a|56x|dxw 2 016,则正数 a的最大值为()A. 6 B . 56 C . 36 D . 2 016答案 A解析 由 Qa|56 x|d x=562a| x|d xW2 016,得 3|x|dxW36,3| x|d x=21xdx=a2w36,即0<aw6.故正数a的最大

18、值为6.n 1 22 2n 2°7 .limJn y(1+n)q+n)(1+n)等于()A. 4ln 2xdxB. 241n xdxC. 2?1n(1 + x)d xD. Gln 2(1 + x)d x答案 Bn 1 22 2n2斛析1nmiln Aj(1+n)(1+n) (1+n).2,12. nTnim nln M+nc+nr o+n”二 i二 i31ln 1+n4、a= 2l、m n= 2?ln xdx(这里 f (x) = ln x,区间 1,2或者 21nm n= 2?ln(1 +x)d x,区间 0,1).二、能力提升8 .由y= sin x, x=0, x=兀，y= 0

19、所围成图形的面积写成定积分的形式是S=.答案一幺xsin xdx解析由定积分的意义知，由y= sin x, x=0, x =兀，y=0围成图形的面积为S= 2sinxdx.9 .计算定积分，1 .4 4x2dx =.答案冗解析 由于工业4x2dx=2，1/1 x2dx表示单位圆的面积兀,所以274 4x2dx=兀.10 .设 f(x)是连续函数，若 4f(x)dx=1, 4f(x)dx=1,则 Gf(x)dx=.答案 2解析因为饰(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx,所以？f (x)d x=?0f (x)d x?f (x)d x= 2.11 .利用定积分的定义计算?( x2 + 2x)d

20、 x的值，并从几何意义上解释这个值表示什么.解令 f (x) = x2 + 2x.分割在区间1,2上等间隔地插入 n- 1个分点，把区间1,2等分为n个小区间1+, 1+；(i= 1,2 ,，n),每个小区间的长度为i -1 1=n n(2)近似代替、求和取 Ei = 1 + n(i=1,2'【n)'则i二 i 2i2.十 /(n+1) + (n + 2) + ( n+ 3) + + 2nAx="+n)+2(1+/=-nX n+1)2+(n+2)2+( n+3)2+ (2 n)21 2n(2n+1 '/4n+ 1 n(n+ 1 '(2n+ 1 2 n(n+ 1 + 2n)一 n661 +亡 2= 1(2+1)(4+1(1 +1)(2 +1)+3 + l3 n n 6 n n n取极限入 21小 111.1-1、 c 12中一x +2x)dx=lnmSn=iim 各化 +n)(4 +:+ 6(1 +n)(2 +