高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法例题与探究北师大版选修2-2

1、文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.6文档收集于互联网，己整理，word版本可编辑.高中数学第一章推理与证明2综合法和分析法例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1 .综合法和分析法综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就在于直接运用了不等式的有 关定理、性质来解决问题.当然，要想运用定理、不等式，必须具备相应的条件，另外，在证题 过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析,制定出合理的解 题策略,并加以实施.分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常情况下，当一个不等式无法利用比较法和 综合法加以证明时，可以采用这一方法.这

2、一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题 往往特别有效.2 .用“分析一一综合法”证明问题既然是分析一一综合法，所以既有分析法又有综合法，两者应有机地结合起来.“分析 综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结论出发，寻求其间的联系而沟通思 路的方法.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中途结 果；另一方而从问题的结论出发，用追溯型分析法回溯到中间，即导出同一个中间结果，从而 沟通思路使问题得到解决.由于其兼有分析综合的双重性质，因而称为“分析一一综合法”， 其方法结构如图所示.高手支招4典例精析【例 1】设 a>0, b>0, a+b=L 求证

3、：1 + 1 +>8.a b ab思路分析：要证不等式是在已知条件下，从不等式的结构及其与已知条件间的关系来观察, 可用综合法证之.证明：Va>0,b>0,a+b=l, ：.l=a+b2yab ,A >4.1元JL帅 + +1 -。1 - b+ +1 -6/1 - a2 ab= (a+b) ( + ) + 2>ab 2 +4=8, a b abab>8.【例 2】已知 «、P Wk n + (kCZ), K sin。+cos。=2sin(】，sin。 cos 0 =sin： B . 24丁 1-tan2 a 1-tan2 B求i止:；=；1 + t

4、air a 2(1 +tan"/)思路分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角0,所以首先要消去它.然后由式子 的结构特点,将切化弦统一函数名后分析比较不难得到结论.证明：因为(sin 0 +cos。):-2sin。 cos。=1,将已知代入上式得:4sin% -2sin，B=l.另一方面,要证 in；" = - I。.,1 +tair a 2(1 +tan'。)sin2 a i sin/71 -；即证cos：a=经乌，+%=2(1+包上)cos' a cos”即证 cos2o -sin= a = (cos2P -sin20 ),2印证 l-2sin:

5、 a = (l-2sin= B ),即证 4sin:« -2sin: B =1.2由于上式与式相同，于是问题得证.【例3】 已知x+y+z=l,求证：x'+y二+z'2 .3思路分析：可由条件x+y+z=l,联想到通过直接对所要证明的结论左边的代数式的变式，再利 用条件x+y+z=1,得到结果.若不能发现本题的特点，可以利用分析法来加以证明.证法一(综合法)：:x3+y3+z= - 3(x:+y=+z:)3= xF&z(x：+y：) + (y：+z-) + (z"+x：) 2 ' (x：+y：+z-+2xy+2yz+2zx) = (x+y+z

6、)：=",3333x:+y:+z: .3证法二(分析法)：Vx+y+z=l,为了证明6户/,，3只需证明 3x'+3y'+3z，2 (x+y+z)即 3x:+33r：+3zcx'+y:+z:+2xy+2yz+2zx,即 2x“+2y”+2z“22xy+2yz+2zx,即(x:-2xy+3r*) + (y:-2x3r+z:) + (z:-2zx+x2)，0,即(x-y) =+ (y-z) s+ (z-x)s 0.V (x-y):+ (y-z):+ (z-x) 2>0 成立，/. x:+y=+z: 成立.3例41(2006辽宁高考，理18文19)已知正方形A

7、BCD, E、F分别是AB、CD的中点,将aADE沿DE折起,如图所示.记二面角A-DE-C的大小为0 (0<0<n).证明BF平而ADE;若4ACD为正三角形,试判断点A在平而BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结 论,并求角0的余弦值.思路分析：本题主要考查空间中的线而关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思 维能力.(D解：证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，AEB/7FD,且 EB=FD.四边形EBFD是平行四边形.，BFED.EDu平面AED,而BF2平面AED.JBF平而 AED.解法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作

8、AGJ_平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.ACD为正三角形，AAC=AD. AGC=GD.G在CD的垂直平分线上.又.EF是CD的垂直平分线，.点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH±ED,垂足为H.连结AH,则AH±DE, A ZAHG是二面角A-DE-C的平而角，即 ZAHG= 0.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF.在折后图的4AEF 中，AF= y3 a, EF=2AE=2a, A AAEF为直角三角形,AG EF=AE AF.AC-凡 nb-a.2 在 RtAADE 中，AH DE=AD AE.2a aAH= . / GH二尸.非2x/5

9、GH 1cos o =二一.AH 4解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF,在平面AEF内过点A作AG' _LEF,垂足为G' . AACD为正三角形,F为CD的中点.AAF1CD.又；EF_LCD,，CD，平面 AEF. AG' u 平而 AEF,，CD_LAG'.又 VAGZ J_EF,且 CDn EF=F, CDu 平面 BCDE, EFu 平而 BCDE.，AG'，平面 BCDE. .G'为A在平面BCDE内的射影G. .点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH1ED,垂足为H,连结AH,则AH±

10、DE.ZAHG是二面角A-DE-C的平面角，即NAHG=0 .设原正方形ABCD的边长为2a,在折后图的aAEF 中,AF= y3 a, EF=2AE=2a, AEF 为直角三角形,AG - EF=AE AF.,心3 nb- 3.2在 RtAADE 中，AH DE=AD AE,2a a/ AH= . GH=尸.V52y/5.COS U =,AH 4解法三:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.连结AF,在平面AEF内过点A作AG' _LEF,垂足为G. ,/ AACD为正三角形,F为CD的中点， AAF1CD.又 EF _L CD,，CD _L 平面 AEF.CDu 平而 BCDE

11、, ，平而AEF_L平而BCDE.又 丁平而 AEF n 平面 BCDE二EF, AG' ±EF,AAG,，平面BCDE,即G'为A在平面BCDE内的射影G.点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GH1DE,垂足为H,连结AH,则ABIDE.，ZAHG是二面角A-DE-C的平面角，即NAHG=0 .设原正方形ABCD的边长为2a.在折后图的aAEF 中,AF= 73 a, EF=2AE=2a,AEF 为直角三角形,AG EF=AE AF.,-.AG= a.2在 RtAADE 中，AH DE=AD AE.,AH二卫.'GH=V5 275.cos。二空A

12、H 4【例5】(2007海南、宁夏高考，理22 (A)如图1,已知AP是。的切线,P为切点,AC是 O0的割线,与。0交于B、C两点,圆心0在NPAC的内部，点M是BC的中点.图1(1)证明A, P, 0,X四点共圆； 求N0AM+NAPX的大小.思路分析:利用四点共圆的判定定理即四边形对角互补,可证明出四点共圆，再利用圆中同弧 所对角相等,找到角的相等关系,即可求得结果.证明:如图2,连结OP,OM,因为AP与。相切于点P,所以0PLAP.因为M是。0的弦BC的中点，所以0XLBC.于是N0PA+N0MA=180° ,由圆心0在NPAC的内部,可知四边形AP0M的对角互补,所以A,

13、 P, 0,M四点共圆.(2)解:由得A, P, 0,M四点共圆,所以 NOAM = N0PY.由（1）得OPJ_AP.由圆心0在/PAC的内部，可知N0PY+NAPM=900.所以 N0AM+NAPX=900 .高手支招5思考发现1.用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要 证的不等式，但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质，要保证不等号的方向始终如2 .综合法是“由四导果”，分析法则是“执果索因”，这两种方法是对应统一的.解题时往往 是综合法和分析法联合使用：根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的 结构特点转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.3 .在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件,最后 一步归结到已被证明了的事实.因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程 可以省略.4 .分析法是从结论出发，不断探寻，直到判定一个明显成立的条件.应用分