高中文科数学常用公式2017(文科必须阅)

1、高中数学常用公式及常用结论集合与逻辑1包含关系AI B A AU B B A B CUB CUAAI CUBCU AU B R2 .集合a1,a2,L ,an的子集个数共有2n个；真子集有2n -1个；非空子集有2n - 1个；非空的 真子集有2n -2个.3 .真值表Pq非pp或qp且q真真假真真真二假假r真假假真真真假假假真p假假4.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是 1至多什-个至少有两个不K至少有n个至多后(n 1)个小于不小于至多后n个至少有(n 1)个对所有x , 成立存在某x , 不成立p或qp且 q对任何x , 不成立存在某x , 成

2、立p且qp或 q5 .四种命题的相互关系原命题若p贝U q互否否命题 若非p则非q6 .充要条件(1)充分条件：若 p q ,则p是q充分条件.(2)必要条件：若q p ,则p是q必要条件.(3)充要条件：若 p q,且q p,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然函数1 .二次函数的解析式的三种形式2一般式 f (x) ax bx c( a 0)；2(2)顶点式 f (x) a(x h) k(a 0)；(3)零点式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0).2.解连不等式NN f(x) Mf(x) M常有以下转化形式f(x) M f (x) N 03

3、 .闭区间上的二次函数的最值2b 一次函数f (x) ax bx c(a 0)在闭区间 p,q上的最值只能在 x上处及区间的两端点处取2a得，具体如下：当a>0时，若x 2abx h P,q，f(x)max2aPZ，则 f (x)minbf ( ), f (x)max max f(p), f(q)； 2amax ”P), f(q),他乂口所 m f ( p), f (q)(2)当a<0时，若xb2ap,q ,则 f (x)minmin f (p), f (q),若 xb2af (x)max max f (p), f(q) , f (x)min min f (p), f (q)4 .

4、 一元二次方程的实根分布(1) .实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程若b24ac若b24ac若b24acb (b24ac)i2a2.ax bx0,则 Xi,20,则Kc 0 , b . b22a b4ac0 ,它在实数集 R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轲复数根2(b2 4ac 0).依据：若f (m) f (n) 0 ,则方程f (x) 设 f (x) x2px q ,则0在区间(m,n)内至少有一个实根(1)方程f (x) 0在区间(m,)内有根的充要条件为 f (m)f (m) 0p2 4q 00或 p ;(2)方程 f(x) m2在区间(m,n)内有根的充要条件为f (

5、m)f(n)f(n) 00或p2 4q 0或_pm nf (m)af(n)0 或 f(n) 00- af(m) 0p2 4q 0(3)方程f(x) 0在区间(，n)内有根的充要条件为 f(m) 0或 p m25 .定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间(，)的子区间L (形如 ， 不同)上含参数的二次不等式f(X,t) 0( t为参数)恒成立的充要条件是f(X,t)min 0(X(2)在给定区间(，)的子区间上含参数的二次不等式f(X,t)man 0(X L).af(X) aX4 bX2 c 0恒成立的充要条件是bc6 .函数的单调性设X1 x2a,b,X1 x2那么(X1

6、 X2) f(Xi) f (X2) 0乂)一f 0Xi X2f (Xi)f (X2)L).f (x,t) 0( t为参数)恒成立的充要条件是 2_b 4ac 0f (x)在a,b上是增函数;f (x)在a, b上是减函数(2)设函数y f (x)在某个区间内可导，如果f (x)0 ,则f(x)为增函数；如果f (x)0,则 f(x)(Xi X2) f (Xi) f (X2) 0 0为减函数.7 .如果函数f (x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f (x) g(x)也是减函数；如果函数，则复合函数y fg(x)是增函数.y f (u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数8.

7、奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对 y轴对称，那么这个函数是偶函数.9 .若函数y f (x)是偶函数，则f (x a) f ( x a)；若函数y f (x a)是偶函数，则 f (x a) f ( x a).10 .对于函数y f (x) ( x R), f(x a) f (b x)恒成立，则函数f (x)的对称轴是函数a b 一 .一一 .,、， a b ,x ;两个函数 y f (x a)与y f (b x)的图象关于直线 x 对称.2211 .若f(x) f( x

8、 a),则函数y f(x)的图象关于点(a,0)对称；若f(x) f (x a),则函2数y f(x)为周期为2a的周期函数.12 .多项式函数 P(x) anXn an 1Xn 1 La0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.13.函数y f (x)的图象的对称性(1)函数y f (x)的图象关于直线 x f(2a x) f (x).(2)函数y f (x)的图象关于直线 xf (a b mx) f (mx).a对称 f (a x) f (a x)a b 一2 对称 f (a mx) f

9、 (b mx)14 .两个函数图象的对称性(1)函数y f(x)与函数y f ( x)的图象关于直线 x 0(即y轴)对称.a b(2)函数y f (mx a)与函数y f(b mx)的图象关于直线x 对称.2m(3)函数y "*)和丫 f 1(x)的图象关于直线y=x对称.15 .若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数 y f(x a) b的图象；若将曲线f (x, y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线 f (x a, y b) 0的图象.16 .几个常见的函数方程(重要)(1) 正比例函数 f (x) cx, f(x y) f (x) f (y), f (

10、1) c.(2)指数函数f(x)ax, f(x y)f (x) f (y), f (1) a0 .(3)对数函数f(x)logax, f(xy) f (x) f (y), f(a)1(a0,a 1).(4)哥函数 f(x) x , f(xy) f (x)f (y), f'(1).(5)余弦函数 f (x) cosx,正弦函数 g(x) sin x , f (x y) f (x) f (y) g(x)g(y),17 .几个函数方程的周期(约定a>0)(重要)(1) f(x)f (x a),则 f(x)的周期 T=a；(2) f (x)f (x a) 0 ,八1或 f (x a) (

11、f (x) 0),f(x)-1.或 f (x a) (f (x) 0),f(x)0,m, n18 .分数指数哥(2) a0, m, nN ,且 n 1).N ,且 n 1 ).19 .根式的性质(1) (n/a)n a.(2)当n为奇数时，疗a；当n为偶数时，行|a| a,a 0 .a,a 020 .有理指数哥的运算性质(1) ar as ar s(a 0,r,s Q).(2) (ar)s ars(a 0, r,s Q). r r r(3) (ab) a b (a 0,b 0,r Q).注：若a>0, p是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数.上述有理指数哥的运算性质，对于无理 数指数

12、哥都适用.21 .指数式与对数式的互化式loga N babN (a 0,a 1,N 0).22 .对数的换底公式loga N 10g m N ( a 0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0).log ma推论 log am bn log a b ( a 0,且 a 1, m,n 0,且 m 1, n 1, N 0). m23 .对数的四则运算法则若 a>0, aw 1, M>0, N>0,则(1) lOga(MN ) lOga M 10g a N ；(2) 1OgaMlOga M lOga N ；N(3) log a M n nloga M (n R).24.设函数

13、 f(x)10gm(ax2bx c)(a 0),记 b2 4ac.若 f (x)的定义域为 R,则 a 0,且0;若f (x)的值域为R ,则a 0,且0.对于a 0的情形，需要单独检验.38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有y N(1 p)x.1.数列的同项公式与前科，n 1 , an(Sn Sn 1,n 2n项的和的关系数列an的前n项的和为sna2 L an).2 .等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dnd(n*N );其前n项和公式为n(a an)snna1n(n 1)d2d 21-n(a1 - d )n .223 .等比

14、数列的通项公式n 1 a1 nan aq - q q其前n项的和公式为a1(1 qn)(nsn,q或Sna anq1 q,qn&,q4.等比差数列anan 1qand,a b(qnai,q 10)的通项公式为b (n1)d,q 1anbqn (d b)qn 1q 1其前n项和公式为nb n(n 1)d,(qsn(b 旦)31 q q 15.分期付款(按揭贷款)(每次还款x ab(1 nb)(1 b) 1d,q1) d1-n,(q 1) q考应用题)元(贷款a元，n次还清，每期利率为b).1.常见三角不等式(1)若 x (0,)，则 sinx2tanx.三角函数(2)若 x(0, )，则

15、 12sin xcosx.2.2.同角三角函数的基本关系式2 sin2sincos 1, tan = coscot1.3.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）.znsin(2n1)2 sinn 1（n为偶数）1) 2 cos（n为奇数）（n为偶数）（n为奇数）zncos(2n1)2 cos ,n 14.和角与差角公式sin( cos(sincos1) 2 sin ,costancostancosmsinsinsinsin()sin()22sinsincos()cos()2 . cos sinasinbcos :=a2b2 sin(tan()1 mtan tan）（辅助角所在象限由点5

16、.二倍角公式（平方正弦公式2）；（a,b）的象限决定,tanb). asin 2cos 2tan 2sin2cos2 tan1 tan2cos . 22sin 2cos1 2sin26.三角函数的周期公式函数y sin（ x山 2期T ；函数y）,xC R及函数tan( x ) , x kcos( x ) , xC R(A, W ,为常数，且 AW 0,w > 0)的周一,k Z（A, 3,为常数，且Aw 0, 3>0）的周期丁27.正弦定理a bsin A sin B sin C2R.8 .余弦定理2,22ab c 2bccosA;,222bc a 2ca cos B;222ca

17、b 2ab cosC .9 .面积定理(1) S(2) S S OAB1 .1 . .1 ,-aha -bhb -chc ( ha、hb、上分别表小a、b、c边上的图) 2221 , _ 1 ,. A 1.-一 absinC bcsinA casinB.21 uuu2 '(|OA|2 uuu 2 |OB|)2uuu uuu 2(OA OB).10.三角形内角和定理在 ABC中，有A B C2CC (A B)2(A B).11.简单的三角方程的通解sinsink(co s cos2 ktantank1)k (k Z).(k Z).(k Z).x1y2X210.1 .向量平行的坐标表不设

18、a=(x, y)，b= (X2, y?),且 b 0,则 aPb(b0)2 . a与b的数量积(或内积)a - b=| a|b|cos 0 .61. a - b的几何意义数量积a - b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘积.3 .平面向量的坐标运算(1)设 a=(x1,y1),b=(X2,y2),贝Ua+b=(x1X2,yy) .(2)设 a=(x1,y1),b=乂芈)，则a-b= (X1X2,y1y2).uiui uiur uuu设 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB OB OA 料 “小y，.(4)设 a= (x, y), R ,则 a=( x, y)

19、.(5)设 a=(x1,y1),b=优呈)， 贝U a - b=(x1x2 y1y2).4 .两向量的夹角公式cos 2" y_y_2 9=(x1, y1),b=卜芈). ,X1V1 . x> y25 .平面两点间的距离公式 uuu uur uuudA,B=|AB| Jab AB222 "T2V(X2 Xi)(y2 yi) (A(Xi,yi), B(X2,y2).6 .向量的平行与垂直设 a=(Xi, yi),b=(X2, y?),且 b 0,则A|b b= X aX1y2 X2y1 0.a b(a 0) a b=0X1X2 y1y2 0.7 .三角形的重心坐标公式

20、ABC三个顶点的坐标分别为A(X1,y 1)、B(X2,y 2)、C(X3,y 3),则 ABC的重心的坐标是G(：i X2 刈 yi y2 y3313.8.三角形五“心”向量形式的充要条件设。为 ABC所在平面上一点，角 A,B,C所对边长分别为a,b,c,则UUU2uuu 2uuuT2(1)。为 ABC的外心OAOB OC .uuuuuu uur r(2) O为ABC的重心OAOB OC 0.uuuuuu uuu uuruuu uuu(3) O为ABC的垂心OAOB OB OC OC OAuuuuuu uur r(4)。为ABC的内心aOAbOB cOC 0.uuu uur uuur(5)

21、。为ABC的 A的旁心aOA bOB cOC .不等式1 .常用不等式：(1) a,b Ra2 b2 2ab(当且仅当 a= b 时取"=”号).(2) a,b Ra-b JOb (当且仅当 a=b 时取"=”号).(3) a3b3c33abc(a0,b0,c 0).(4) abab ab .2 .极值定理已知X,y都是正数，则有(1)若积Xy是定值p ,则当x y时和x y有最小值2 J p ;1 2(2)若和x y是定值s,则当x y时积xy有最大值一s2.4推广已知x, y R,则有(x y)2 (x y)2 2xy(1)若积xy是定值，则当| x 丫|最大时，以 y

22、|最大；当| x y |最小时,| x y |最小.(2)若和|x y|是定值，则当|x y|最大时，|xy|最小；当| x y |最小时，| xy |最大.3. 一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, b2 4ac 0),如果 a 与 ax2 bx c 同号, 则其解集在两根之外；如果 a与ax2 bx c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异 号两根之间.x1xx2xx1,或 x(x x( )(x x2) 0(x1 x2);x2(x x1)(x x2) 0(x1 x2).4.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22xaxa22x axa5.无理不等式(重

23、要)(1)Jf (x)Tg(x)(2)fx) g(x)(3) fx) g(x)a x a.x a 或 x a .f(x) 0g(x) 0.f (x) g(x) f(x) 0g(x) 0 或 f(x) 2g(x)f(x) g(x)2f(x) 0 g(x) 0.2f(x) g(x)26.指数不等式与对数不等式当a 1时,f(x) g(x)a af(x)loga f(x)loga g(x)g(x)；f(x) g(x) f(x)g(x)(2)当 0 af(x) g(x) a a1时，f(x)loga f(x)logag(x)g(x)；f(x) g(x) f(x)g(x)直线与圆1 .斜率公式k y2-

24、(P1(x1,y1)、P2(x2,y2).x2 x12 .直线的五种方程(1)点斜式 y y1 k(x x1)(直线l过点P(x1,y1),且斜率为k).(2)斜截式 y kx b (b为直线l在y轴上的截距).(3)两点式yyixX1( yiy2)( P(xi,y1)、P2(X2,y2)( x1 X2).y yi X2 xiX V(4)截距式 y 1(a b分别为直线的横、纵截距，& b 0)a b(5) 一般式 Ax By C 0(其中A、B不同日为0).3 .两条直线的平行和垂直若 l1 ： ykix b1, l2: y k2x b2 I1III2kik2,bib2； li I2

25、kik21.(2)若 li：Ax Biy Ci0, I2 : A2XB2yC20 ,且Ai、A2、B、B2都不为零， I1III2AA2BiB2C2 li I2AA2B1B20;4 .四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y y k(x x°)(除直线x X。)，其中k 是待定的系数；经过定点P0(x°, y°)的直线系方程为 A(x X0) B(y y0) 0,其中A,B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线 Aix Biy Ci 0, I2: A2X B2 y C2 0的交点的直线系方程 为(Ax Biy Ci

26、)(A2X B2y C2) 0(除I2),其中入是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y kx b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax By C 0平行的直线系方程是 Ax By 0(0),入是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax By C 0(Aw0, Bw0)垂直的直线系方程是Bx Ay 0,入是参变量.5 .点到直线的距离d 1Ax0 1yle|(点 P(x0,y0),直线 l : Ax By C 0). A B6 . Ax By C 0或 0所表示的平面区域设直线l: Ax By C 0,则Ax By C 0或0所表示的平面区域是：若B0,当B与AxByC同

27、号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxBy C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.若B0,当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxBy C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.7 . (Ax Biy Ci)(A2x B2y C2) 0或0所表示的平面区域设曲线C：(Ax B1yC1)(A2x B2y C2)0(AA2BiB2 0),则(AxByCi)(A2XB2yC2)(AxByCi)(A2XB2yC2)(AxByCi)(A2XB2yC2)0或 0所表示的平面区域是：0所表示的平面区域上下两部分;0所表示的平面区域上下两部分8

28、.圆的四种方程(1)圆的标准方程(2)圆的一般方程(3)圆的参数方程(xa)2(yb)2r2.x2y2DxEyF0( D2 E24F >0).x a r cos.y b r sin(4 )圆的直径式方程(x Xi)(x x2) (y y)(y y2) 0 (圆的直径的端点是 A(x1，y1)、B(x2, y2).9 .点与圆的位置关系点P(x0,y°)与圆(x a)2 (y b)2 r2的位置关系有三种若 d . (a Xo)2 (b y。)2 ,则d r 点P在圆外；d r 点P在圆上；d r 点P在圆内.10 .直线与圆的位置关系直线Ax By C 0与圆(x a)2 (y

29、 b)2 r2的位置关系有三种dr相离0;dr相切0 ；dr相交0.i Aa Bb Cl其中d , .、 A2 B211 .圆的切线方程已知圆x2 y2 Dx Ey F 0 .若已知切点(xo,y。)在圆上，则切线只有一条，其方程是xoxyoyD(x。x)2当(,yo)圆外时，x y°y过圆外一点的切线方程可设为 注意不要漏掉平行于 y轴的切线.D(王 x)2E(y° y)2F 0表示过两个切点的切点弦方程.y yo k(x xo),再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,斜率为k的切线方程可设为 ykx b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.(2)已知圆 x2y2 r

30、2.过圆上的F0(xo,yo)点的切线方程为xox y°y r2;斜率为k的圆的切线方程为 y kx rWk2.圆锥曲线1 .椭圆的的内外部2 x (1)点 P(x0,y0)在椭圆2 a2,x(2)点 P(X0, yO)在椭圆22 2 2 2ybyb221(a b 0)的内部 与当 1. a b221(a b 0)的外部 §穹1.a2b2a2 .椭圆的切线方程(2)过椭圆%x y°yb21.(3)椭圆b2xa2y2 1(a b0)上一点P(x0, y0)处的切线方程是 誓 *2y 1. a bb 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是0)与直线Ax

31、ByC 0相切的条件是A2a2B2b23 .双曲线的内外部点P(x0, y0)在双曲线(2)点P(x°, yO)在双曲线2xa2xa2 y_ b22 y b21(a 0,b1(a 0,b0)的内部0)的外部2 x0a2 x0ay2 b22 y。 b24 .双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 )若双曲线方程为2x-2a2 匕 b22 x 渐近线方程：w ab2(2)若渐近线方程为bxxa双曲线可设为2x-2a2 y b2焦点在2 若双曲线与三ay轴上).2y1有公共渐近线，可设为0,焦点在x轴上,0,2 x(2)过双曲线-2 ax0x-2aYcyb21.5 .双曲线的切线方程22(1)

32、双曲线与 与 1(a 0,b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是 券券 1.a ba b2y,，一 2r 1(a 0,b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 b22x y 2 22 2(3)双曲线二七1(a 0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A a B b a b6.抛物线y22 px的焦半径公式抛物线y2 2px(p 0)焦半径CF x° E. 2过焦点弦长CDx1 x2 x x2 p.2227.抛物线y22px 上的动点可设为 P(y,y)或 P(2pt2,2pt)或 p (x。, y。)，其中 yO2 2px。.2pb o8.一 次函数 y

33、 ax bx c a(x 一) 2a4ac b24a(a0)的图象是抛物线：(1)顶点坐标为b 4ac b2b 4ac b2 1(一,)；(2)焦点的坐标为(一，2a 4a2a 4a)；(3)准线方程是y4ac b2 14a9.抛物线的内外部22点P(xo, yo)在抛物线y 2Px(p 0)的内部 y 2Px(p 0).点 P(xo,yo)在抛物线 y2 2 px( p 0)的外部 y2 2 px( p 0).(2)点 P(xo,yo)在抛物线 y2 2px(p 0)的内部 y2 2px(p 0).点 P(x0,y°)在抛物线 y22 px( p 0)的外部 y2 2px(p 0)

34、.点P(x0,y°)在抛物线x2 2py(p 0)的内部x2 2py(p 0).点 P(x0,y°)在抛物线 x2 2py(p 0)的外部x2 2py(p 0). 点P(x0,y°)在抛物线x2 2py(p 0)的内部x2 2py(p 0).点 P(x0,y°)在抛物线 x22py(p 0)的外部x22py(p 0).10 .抛物线的切线方程 抛物线y2 2 Px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y p(x x0).(2)过抛物线y2 2 Px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y°y p(x x°).(3)抛物线y

35、2 2px(p 0)与直线Ax By C 0相切的条件是 pB2 2AC.11 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB 7(x1 x2)2 (y1 y2)2或AB|7(1k2)(x2x1)2|x1x2|41k2由 k2(弦端点 A(x1, y1), B(x2, y2),由12 .“四线” 一方程对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2Dx Ey F 0 ,用x°x代x2 ,用y°y代y2 ,用x0yxy02代xy,用&/代x,用Y)上代y即得方程x0 yxy0x0 xy0 yAxoX B - Cy°y D - EF 0 ,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方222

36、程均是此方程得到.立体几何1.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点；(2)转化为二直线同与第三条直线平行；(3)转化为线面平行；(4)转化为线面垂直；(5)转化为面面平行.2 .证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点；(2)转化为线线平行；(3)转化为面面平行.3 .证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点；(2)转化为线面平行；(3)转化为线面垂直.4 .证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直；(2)转化为线面垂直；(3)转化为线与另一线的射影垂直；(4)转化为线与形成射影的斜线垂直 .5 .证明直线与平面垂直的思考途径(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直6 .证明平面与平面的垂直的思考途径(1)