2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练(十二)“解析几何”专题提能课

1、课时达标训练(十二)“解析几何”专题提能课51 .过点R2 , 1)且倾斜角的正弦值为 右的直线方程为135解析：设所求直线的倾斜角为a ,则由题设知sin a =13,因为0W ”<兀，所以cos asin2a =±篙所以tan "=署号=士卷，则所求直线方程为5r,y+1 = ±(x-2),即 5x12y 22 = 0 或 5x+12y+2 = 0.答案：5x-12y- 22=0 或 5x+12y+2=0 y2 x22 . (2019 南京四校联考)已知双曲线O2-b2=1(a>0, b>0)的一个焦点在直线l： (3x+ y 4=0上，且双

2、曲线的一条渐近线与直线l垂直，则该双曲线的方程为解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，因为直线l与y轴的交点坐标为(0, 4),所以双曲线的焦点坐标为(0 ,曲线的一条渐近线垂直，所以±4),即c= a2+b2 =4.又直线l的斜率为 g 直线l与双22a2=4, b2=12,故该双曲线的方程为y4-2=1.22答案：卜*13. (2019 南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2=4x与双曲线22F,且FA= 5,则双曲线的渐近线方程为">1(b>0)的一个交点.若抛物线的焦点为解析：由题意知，抛物线的焦点为R1 , 0),准线方程为x= 1

3、.因为AF= 5,所以点A16 16到抛物线的准线的距离也为5,所以代4, 4)或A(4 , 4),又点A在双曲线上，所以146常=1,得b=所以双曲线的渐近线方程为 y=±乎x.33答案：y=±2gx34.若关于x的方程 1x2 = a(x1)+1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是解析：作出函数y=1-x2的图象，它是单位圆的上半部分， 作出直线y=a(x1) + 1,1它是过点A(1 , 1)的直线，由图象可知，实数 a的取值范围是0, 2 .1答案：0, 25. (2019 姜堰中学模拟)如图，已知椭圆C：=1(a>b>0,a>1)的离心率

4、右顶点到直线ax+by= 1的距离为1,过点P(0, 2)的直线l交椭圆C于A, B两点.(1)求椭圆C的标准方程；.,.,、 ., > 1 > ,.,.,、(2)设M为AB的中点，连接 O所延长交椭圆C于点N,若Og- ON,求直线AB的方程;(3)若直线OB交椭圆C于另一点Q,求 ABCW积的最大值.解：(1) .离心率e =6. c 2 a2 b2 2 /曰 b2 13，.丁苫丁=3,信丁3.设椭圆C的右顶点(a, 0)到直线ax+ by =1的距离为d,则 d = W2=1， a +b将 a2= 3b2 代入上式得，d= |3 b2b 1| =1，得 b=1, a=3或 b

5、=g, a=-3.1.- a>1,a= 3, b= 1.X22故椭圆C的标准方程为w+y = 1.3(2)显然过点P的直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l的斜率为k(kw0),则直线l的方程为y=kx+2(kw。).X22 ,3+y=1，由3y= kx+ 2,消去 y 并整理得(1 +3k2)x2+12kx+9=0,由 = 144k236(1 + 3k2) =36(k21)>0 ,得 k2>1.设 Mx。，y。)，A(x1, y1),B(x2,y2),N(x3,y3),则 x1, 2 =6k± 3楙211 + 3k2X1 + X2, ,Xo=26k1+ 3k2&#

6、39;yo= kxc+ 2= k工+2= 3.1 + 3k1 + 3k21X0=-X3,一 1 一2OM= - ON,21丫。=2丫3,X3 = 2X0, 即y3 = 2y。.,一点 N(X3, y3)在椭圆上，-+ y2= 1,即 4x0+ 12y2= 3,3即 4 rE6k2 +12 rAi? =3,整理得 3k414k2 5= o, I十3kI十3k解得k=±q5.故直线AB的方程为y=±q5x+2. 连接AO由椭圆的对称性可知，BO= OQ则 Saabq= 2SAOB设点O到直线AB的距离为h,由（2）得AB=k 7（X1+X2）24X1X2 =当普尸仁岛11 &q

7、uot; SaAOB= -ABX h= -X226，k2+1x,k2-1 x 2_6k2-11 + 3k2JTTk2 1 + 3k2121k2 1S ABQ= 2S AOB= ：T2-.1 + 3k乖,当且仅当t=2¥，k2=7,令 t =,k2_i,贝u t>。，k2=t2+i,812t12t12121+3 (t +1)3t +4 3t+4 24即k=±*g时等号成立， 3( S>AAB° max=3.B组1.已知直线l: m奸y +3mH #= 0与圆x2+y2= 12交于A, B两点，过 A, B分别作l 的垂线与x轴交于G D两点.若|AB =

8、 2*,则|CD=.解析：由直线l ： m肝y+3m-43=0知其过定点（3, J3）,圆心O到直线l的距离为d=|3 m- . 3|.R1+ 1由 | AB = 23得3mH 3+ (J3)2=12,解得m=-坐.又直线l的斜率为m= X3, 33兀所以直线1的倾斜角.了画出符合题意的图形如图所示，过点一.一兀，.一C旦BQ则/ D归于在小血中，可得| AB| CtD = =2 3Xcosa"62 W4.答案：422.如图，设Fi, F2分别是椭圆E： *2 +看=1(0 v bv 1)的左、右焦点，过点Fi的直线交椭圆 E于A, B两点.若| AF| =3| FiB| , AF2

9、，x轴，则椭圆 E的方程为.解析：设 Fi( -c, 0), F2(c, 0),其中 c=U1 b2, 2则可设 A(c, b) , B(xo, yo),由 |AF|=3|FiB|,可得磊=3匚百,一 2c=3xo+3c,故-b2=3y0,5xo= 3c,即代入椭圆方程可得yo=-3b2,25普工+1 解得99b2=-,3'故椭圆方程为x23y2+ f=i.答案：x2+|y2=i223 . (20i9 南京三模)在平面直角坐标系 xOy中，过双曲线a2-p=i(a>0, b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P,若线段PF的中点恰好在此双曲线上,则此双曲

10、线的离心率为 .解析：双曲线的渐近线方程为y=±bx,右焦点F(c, 0),根据对称性，不妨设平行线a方程为y = b(x-c),易知它与另一条渐近线y= bx交于点p1, bc.所以线段PF的中aa22a3cbc9c2b2c222点坐标为 彳，一4a ,代入双曲线的方程得 宿一宿皆=1,即c=2a,所以双曲线的离心- c率 e= -= 2.答案：22倍,4 .若椭圆b2= 1(a>b>0)上存在一点 M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的则椭圆离心率的最小值为解析：由题意，设点M的横坐标为x,根据焦半径公式得,2a+ ex= 2 x c2a2T-ax= e+2，2a2-

11、a一c 一一 aww a曰 a e+2 a不等式各边同除以2a1 ca 得TW_eT?&e2+3e-2>0,2贝1W e+2,即 e匕广1：17 3又 0<e<1,所以-2we<i所以椭圆离心率的最小值为22-5. (2019 苏锡常镇一模)已知椭圆E:22x y02+b2= 1(a>b>0)的离心率为坐，焦点到相应准线的距离为 *.求椭圆E的标准方程;3解：设椭圆的半焦距为c,由已知得,c=A "c=g, c2=a2_b2, a 2 c 3解得 a=2, b=1, c=小，x22.椭圆E的标准方程是- + y2=1.1.设R,过定点 A的

12、动直线x+ my= 0和过定点B的动直线 mx-y-m 3=0交于点Rx, y),则|PA |PB的最大值是解析：易求定点 A(0 , 0), B(1 , 3).当P与A和B均不重合时，不难验证 PAL PB所以| pa2+| pb2=| ab2=10,所以 | pa i pqw221 A ； ° = 5(当且仅当 | PA = | PB =y5时，等号成立)，当P与A或B重合时，| PA | PB| =0,故| PA I PB的最大值是5.答案：52.已知O为坐标原点,F是椭圆C：= 1(a>b>0)的左焦点,A B分别为C的左、由PF/ OE得|MF | AF|OE

13、|AO'右顶点.P为C上一点，且PF± x轴.过点 A的直线l与线段PF交于点M与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为解析：如图所示，由题意得Na, 0), B(a, 0), F(-c, 0).设 e(0, m, m (a c) 则 mf=a.i,2|OE |BO 又由0日MF彳寸 mf =丽则 |MF = mcL . 2a围是1一由得a - c=2( a+ c),即3.设点Mx% 1),若在圆QcC 1a= 3c, - e= =ta 3X2+ y2= 1上存在点N,使得/ OMN 45° ,则xo的取值范答案：i, i224.已知椭圆为+ = 1(

14、a>b>0)的左、右焦点分别为 a bFl, F2,且| FiF2| =2c,若椭圆上存-，一口 sin / MFF2 sin / MFFi在点M使得=解析：在 MFF2中,c| MF|,则该椭圆离心率的取值范围为| MF|sin / MFF2 sin / MFFi'sin / MFF2 sin / MFFi| MF| sin / MFF2 a = /= 一| MF| sin / MFF1 c又M是椭圆、+b2=1上一点，F1, F2是椭圆的焦点,. | MF| +| MF| =2a.由得，| MF| =2aca+ c2a2|MF| j显然 | MF|>| MF, &

15、#39; a c<| MF|<a+c,即2aa-c<<a+ c,a+ c整理得 c2+2ac-a2>0,e2+2e-1>0,又 0<e<1,12- 1<e<1.答案：（、/21, 1）225. （2019 盐城三模）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C： |2+b21( a>b>0)经过1点p（q2, 1）,且点p与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为一2.（1）求椭圆C的方程;（2）若椭圆C上存在两点Q,使得 PQR勺垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点Q试求直线QR勺方程.解：（1）由题意，得1-0 x 小a1-0a

16、2 = 4,得b2_2所以椭圆22C的方程为 + y2= 1.(2)设 Qx1, y1), F(x2, y2),连接PQ QO图略），因为QR_ PQ且kpo=所以kQ一 42,故可设直线 QR勺方程为y=- V2x+m联立，得y2Tx + m消去y,得5X24出m奸 2m4= 0. x+2y=4,"由 A>0 得 32m220(2m24)>0,得 m2<10.(*)40 mXi+X2=4m,海2=1055又 QO_ PR 所以 kQo。kpR= - 1,得上 尸=- 1,Xi X2 -、J2一 J2xi + m jx/2X2 + im 1-1,即0之=X1X2 2

17、整理得，3X1X2 V2m(X1 + X2) +m2-mi= 0,所以3X2,2m 42mm4 452m+ m2-mi= 0,式).不合题意，故舍去.即 3m2- 5m- 12=0,解得 m= 3 或 m=(均适合(*) 3当m= 3时，直线QR恰好经过点P,不能构成三角形,所以直线QR的方程为y=42X4.36.如图，在平面直角坐标系 XOy中，椭圆的中心在原点 Q右焦点 F在X轴上，椭圆与y轴交于A B两点，其右准线l与X轴交于T点， 直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点.(1)求证：A, C，T三点共线；(2)如果"BF =3"FC ,四边形APCB勺面积最

18、大值为 “6卢，求此时椭圆的方程和 P点坐 3标.22解：(1)证明：设椭圆方程为 点+看=1(a>b>0),2则 A(0 , b) , B(0 , b), T a, 0 ,设直线 AT与 BF交于 C cAT： 2l + y= 1,a b cBF x+4联立，解得交点2a2ca2 + c2b33,代入得:2a2c 2b32a2+c2a2+c22+72ab4a2c2 + ( a2 c j(a2+c2) 22-=1.满足式，则 C点在椭圆上，A C' , T共线，C'与C重合，A, C, T三点共线.(2)过C作CELx轴，垂足为 E(图略)，则4 OB/ ECF"BF = 3"Fc , CE= 1b, EF= 1c,则 C 4c, b ,代入得: 33334 X0+2y。-2c 2 r-X0+2y。一2c AC= 2 一胡一 35c= -3只需求x0+2y0的最大值.-.1 ( xo+ 2y。) 2= x2 + 4y0+ 2 , 2 xcyoW x2+ 4y0+ 2( x2+ y0) = 3( x0+ 2y2) = 6c2,Xo+ 2y°w q6c,当且仅当 X