泰勒公式泰勒中值定理(1)

1、目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt1二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 目的用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt2特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt31.

2、求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020

3、201目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt4)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt5)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!

4、 ) 1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt6公式 称为 的 n+1 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n+1 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00

5、xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt7公式 称为n+1 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt8特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当

6、 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt9称为麦克劳林麦克劳林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)

7、0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林 由此得近似公式, ) 10(x记目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt10二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!n

8、xn)(xRn!22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麦克劳林公式麦克劳林公式 ) 10(目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt11)sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx!) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()

9、(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt12麦克劳林公式麦克劳林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt13) 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (

10、! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt14) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0(

11、1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt15三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt16例例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106解解: 已知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(!) 1(e!1

12、!2111nn) 10(由于,3ee0欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt172. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例2. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必达法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 )

13、1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt1811)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例3. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+目录 上页

14、下页 返回 结束 整理ppt19内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt202. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ,ex, )1ln(x,sin x,cos x)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 xsin例如例

15、如 整理ppt21泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin6422464224xyO整理ppt22泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt23思考与练习思考与练习 计算.3cos2elim402xxxx)(!211e4422xoxxx)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2e442xoxxx127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四节 整理ppt24泰勒泰勒 (1685 173