2020-2021吉林一中高三数学下期末模拟试卷(含答案)

1、2020-2021 吉林一中高三数学下期末模拟试卷 ( 含答案 )一、选择题1 某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中， 2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率是 ()3213ABCD105252设集合M=1，2，4，6，8,N=1，2，3，5，6，7,则 MN 中元素的个数为 ( )A2B3C5D73将编号为 1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是 ( )A 40 B60C 80 D 100 4甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说

2、：你们四人中有两 位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )B乙可以知道四人的成绩D丁可以知道四人的成绩A乙、丁可以知道自己的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩5函数 f(x)sin(2 x2)的图象与函数 g(x) 的图象关于直线 x对称，则关于函数8y g(x) 以下说法正确的是( )A最大值为 1，图象关于直线 x 2 对称B在 0, 上单调递减，为奇函数4C在 38 ,8 上单调递增，为偶函数D周期为 ，图象关于点 38 ,0 对称6若干年前，某教师刚退休的月退休金为 的条形图 . 该教师退休后加

3、强了体育锻炼， 线图 .已知目前的月就医费比刚退休时少6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折100 元，则目前该教师的月退休金为() .A6500元B7000 元7正方形 ABCD 中，点 E是DC 的中点，C 7500 元D 8000 元F是 BC的一个三等分点，那么 uEuFuv ( )1 uuuv1 uuuv1 uuuv1uuuvA AB1 ADB ABAD23421 uuuv1 uuuv1 uuuv2uuuvC ABDAD ABAD32238设 a,bR ，“a 0 ”是“复数 abi是纯虚数 ”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分

4、条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9 不等式 2x2-5x-30成立的一个必要不充分条件是（）三角形，则该几何体的外接球的表面积为()4A3二、填空题8B316C320D3Ax1 或 x 4Bx0 或 x,2C x 0 或 x 2Dx,或 x3210 设 A（3，3，1）， B（1，0，5）， C（0， 1， 0）， AB 的中点M，则 CMA53B53C53D13422211设 a，b为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（A若 a，b 与 所成的角相等，则 abB若 a，b，则 a bC若a，b，a Pb ，则 D若a，b，则 ar b12一个几何体的三视图如图所示，

5、其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角13函数 y loga（x 1） 1（a 0且a 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数12y mx n 的图象上，其中 m,n 0, 则 的最小值为mn14 若 , 满足约束条件则 的最大值15在极坐标系中，直线cos sin a（a 0） 与圆 2cos 相切，则a 16设复数 z1 i（i虚数单位 ）, z的共轭复数为 z，则 1 z z .bcosC 1 cos2C 17在ABC中，角 A ， B ， C的对边分别为 a，b，c，若 bcosC 1 cos2C ，CccosB 1 cos2B1 是锐角，且 a 2 7， cosA ，则

6、 ABC的面积为 318已知向量 ar与br 的夹角为 60°，| ar |=2，| br |=1 ，则| ar +2 br |= .19若函数 f （x） x2 x 1 a ln x在（0, ）上单调递增，则实数 a 的最小值是20设为第四象限角，且 sin3 13，则 tan2 .sin 5三、解答题21已知复数 z1 m 2i，复数 z2 1 ni ，其中 i是虚数单位， m， n为实数.（1）若 m 1， n1 ，求 z1 z2 的值；2（2）若 z1 z22 ，求 m， n的值 .1 22在ABC中， a=7，b=8， cosB= 7（）求 A；（）求 AC 边上的高23如

7、图，矩形 ABCD和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直， ABE 60 ，G为BE的 中点 .（ ） 求证： AG 平面 ADF ；（） 求 AB3，BC 1，求二面角 D CA G的余弦值 .24x 2+t,在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（ t为参数），直线 l 2的参数方程为y kt,2 m,m, （ m为参数） .设l 1与l 2的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C k（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3: cos sin 2 0，M为l3与 C的交点，求 M的极径 .3225已知函数 f x x3

8、ax2 bx c，过曲线 y f x 上的点 P 1, f 1 处的切线方 程为 y 3x 1 （1）若函数 f x 在 x 2 处有极值，求 f x 的解析式；（2）在（ 1）的条件下，求函数 y f x 在区间 3,1 上的最大值 uuur uuur26在 ABC中，内角 A，B， C的对边 a，b，c，且 a c ，已知 BA BC 2，cosB ， b 3 ，求： 3（1）a和 c的值；（2） cos（B C） 的值.参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析： A【解析】【分析】基本事件总数 n C53C22 10，他第 2次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数2

9、 1 2m C22C13C22 3 ，由此能求出他第 2次，第 3次两次均命中的概率，得到答案【详解】由题意某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中， 2 次未命中， 因为基本事件总数 n C53C22 10 ，2 1 2他第 2 次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m C22C13C22 3 ， 所以他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率是 p m 3 n 10故选： A【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2 次、第 3 次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基

10、础题2B解析： B【解析】试题分析： M N 1,2,6) .故选 B.考点：集合的运算 .3A解析： A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 2 种，由排列组合的知识可得，不 同的放法总数是： 2C63 40 种 .本题选择 A选项 .4A解析： A【解析】【分析】 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐 一分析可得出结果 .【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位 良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩， 又甲、丁的成绩中一

11、位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩 . 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选： A.【点睛】 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的 思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题 .5B解析： B【解析】【分析】先求出函数 y=g(x) 的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点 P(x,y)是函数 y g x 图像上的任意一点，则点 Q( x ,y)在函数 y=f(x) 的图像4上，y sin2(-x+ )42sin2x g(x) ，对于选项 A,函数 y=g(x) 的最大值为 1，但是 g( ) 0 1 ，所

12、以图象不关于直线 x 对 22 称，所以该选项是错误的；对于选项 B, g( x)g(x) ，所以函数 g(x) 是奇函数，解 2k 2x 2k + 得22k x k + ，(k Z) ,所以函数在 0, 上单调递减，所以该选项是正确的；4 4 43对于选项 C,由前面分析得函数 y=g(x) 的增区间为 k + ,k (k Z), 且函数 y=g(x)44 不是偶函数，故该选项是错误；k对于选项 D,函数的周期为 ，解 2x k , x , 所以函数图像的对称中心为2k,0)(k Z) ,所以该选项是错误的 .2故选： B【点睛】 本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意

13、在考查学生对这些知 识的理解掌握水平和分析推理能力 .6D解析： D【解析】【分析】 设目前该教师的退休金为 x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可【详解】设目前该教师的退休金为 x 元，则由题意得： 6000×15% x×10%100解得 x 8000 故选 D 【点睛】 本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题7D解析： D【解析】【分析】用向量的加法和数乘法则运算。【详解】由题意：点 E是 DC的中点，点 F是 BC的一个三等分点，uuur uuur uuur uuur uuur1uuur uuur uuur 1uuur 1uuur 2uu

14、ur EF ED DA AB BFAB AD AB ADAB AD 。2 3 2 3故选： D 。【点睛】 本题考查向量的线性运算，解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量 的数乘运算即可得。8B解析： B【解析】【分析】【详解】当 a=0 时，如果 b=0，此时 a bi 0 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi 已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0 ，因此是必要条件，故选B【考点定位】 本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查 的是纯虚数的定义9C解析： C【解析】【分析】11根据题意，解不等式 2x2-

15、5x-30可得 x- 或 x3，题目可以转化为找 x- 或 x3的必要22 不充分条件条件，依次分析选项即可得答案【详解】11根据题意，解不等式 2x 2-5x- 30可得 x- 或 x3，则 2x2-5x- 30? x 或 x3 ，所以 221可以转化为找 x- 或 x3的必要不充分条件；21依次选项可得： x 1或 x 4 是 x或 x3成立的充分不必要条件；21x 0或 x 2 是 x 或 x 3成立的既不充分也不必要条件21x 0或 x 2是 x或 x3成立的必要不充分条件；211x - 或 x3是 x或 x 3成立的充要条件；22故选 C【点睛】 本题考查了充分必要条件，涉及一元二次

16、不等式的解答，关键是正确解不等式2x2-5x-3010C 解析： C 【解析】试题分析：先求得 M（2, 3 ，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM 53 ，故选C考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用 点评：简单题，应用公式计算11D解析： D【解析】【分析】详解】 试题分析： A 项中两直线 a，b 还可能相交或异面 ,错误；B 项中两直线 a，b 还可能相交或异面 ,错误；C 项两平面 ， 还可能是相交平面，错误； 故选 D.12C解析： C【解析】【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的 半径，从而求出球的表

17、面积公式【详解】其中 OA OB OC 1， SO 平面 ABC，SAC 底面 ABC，高为其外接球的球心在 SO上，设球心为 M， OM x ，根据 SM=MB 得到：在三角形 MOB中， MB= 1 x2，SM3 x， 1 x23 x，解得 x3 ，3外接球的半径为 R 3三棱锥外接球的表面积为3 2 3163故选： C【点睛】 本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问 题，是中档题一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的 性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆 心，过圆心且垂直于多边形所在

18、平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同 样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样 两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底 面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂 直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球 .二、填空题138【解析】 函数（且）的图象恒过定点 A当时又点 A在一次函数的 图象上其中 又（当且仅当时取）故答案为 8 点睛：本题主要考查了基本 不等式基本不等式求最值应注意的问题 （1）使用基本不等式求最值其失误 解析： 8【解析】函数 y loga（

19、x 1） 1 （ a>0 ，且 a 1）的图象恒过定点 A，当 x 2时， y 1， A 2，1 ，又点 A 在一次函数 y mx n 的图象上，其中mn 0 ， 2m n 1，又 mn 0 ，1212n4mm 0， n 0， （ ） 2m n 4 8 ，（当且仅当 mnmnmn1n 2 m时取“ ”），故答案为 8.2点睛：本题主要考查了基本不等式 .基本不等式求最值应注意的问题 （1）使用基本不等式求最 值，其失误的真正原因是对其前提 “一正、二定、三相等 ”的忽视要利用基本不等式求最 值，这三个条件缺一不可 （2）在运用基本不等式时，要特别注意 “拆”拼“”凑“ ”等技巧，使 其满

20、足基本不等式中 “正”“定”等“ ”的条件143【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点 A（13）与原点连线的斜率最大故 yx 的最大 值为 3 考点：线性规划解法解析】是可行域内一点与原点连线的斜的最大值为3.作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，考点：线性规划解法15【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以 【点睛】（ 1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析： 1 2【解析】x2 y 2, xcos , y s

21、in【详解】因为 2 x22y , xcos , ysin由 cossina(a 0) ，得xy由 2cos，得2=2 cos，即2 x因为直线与圆相切，所以 1 a1，a【点睛】根据 2根据圆心到直线距离等于半径解出 a .将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再a（a 0） ，2 2 2y2=2x，即 （x 1）2 y2 1，1 2，Q a 0， a 1 2.【分析】解析： 10cos 及 y sin 直接代入并2cos , sin , 的形式，（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 进行整体代换 .其中方程的两边同

22、乘以 （或同除以 ） 及方程两边平方是常用的变形方法 .但对 方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验 .16【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公 式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念 与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和解析】分析：由 z 1 i ，可得 z，代入 1 z z ，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可详解：因为 z 1i ，所以 zi，1zz3i10 ，故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题解题时一定要注意 i 21和 a b

23、i c di ac bd ad bc i 17【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得又为三角形的内角或又于是由余弦定理得即解得故故答案为【点睛】正余弦定理 解析： 7 2【解析】【分析】bcosC 由ccosB1 cos2C 及三角变换可得 sinB1 cos2B sin CcosC，故 sin2B sin2C ，于是得到 cosBB C或 B出 b c【详解】1C ，再根据 cosA 可得 B C ，从而 b c ，然后根据余弦定理可求 2321，于是可得所求三角形的面积bcosC 由ccosB1 cos2C ，得

24、1 cos2 BsinBcosCsinCcosB22cos2 C ，2，2cos2 BcosC0,cos BsinBcosCsinCcosBsin2Bsin2C ，又 B,C 为三角形的内角，0， B C或B C1又 cosA ，3 B C ，于 由余弦定理得 a 2是bc2bcosA,2即 2 7b2 b2解得 b 21 ，故 c23b2，3 211 1 2 2S ABC 1 bcsinA 1 21 21 2 2 7 2.ABC 2 2 3故答案为 7 2 【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意 合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查

25、综合运用知识解决问题的能力，属 于中档题18【解析】【分析】【详解】平面向量与的夹角为故答案为点睛： 求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式 (2) 常用来求向量的模 解析： 2 3【解析】【分析】【详解】r r r r平面向量 a与 b 的夹角为 600， a 2，b 1rrr)故答案为 2 3.点睛： (1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) ar19【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立 根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得 到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的1 解析：8【解析】【分析】由

26、函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到a x 2x2 在 0, 上恒成立，利用二次函数的性质求得 x 2x2 的最大值，进而得到结 果.【详解】2Q 函数 f x x2 x 1 alnx 在 0, 上单调递增af x 2x 1 0在 0, 上恒成立 a x 2x2 在 0, 上恒成立x令 g x x 2x2 ， x 0根据二次函数的性质可知：当1x 14 时，max11 a ，故实数 a 的最小值是881本题正确结果：8【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数 的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最

27、值之间的关系问题20【解析】因为 4cos2 1 2(2cos2 1)12cos2 1所 以cos2 又是第四象限角所以 sin2 tan2 点睛：三角函数求值常用方 法：异名三角函数化为同3解析： 3 4【解析】因为sin3sinsin 2sinsin2 cos cos2 sinsin2sin cos22cos2 1 sinsin 4sin cos2sinsin4cos2 1 2（2 cos2 1） 1 2cos 211354所以 cos 2 .533又 是第四象限角，所以 sin 2 ， tan2 .54 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化 为同

28、次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化三、解答题21（1） 5 （2） m 0,n 1.解析】分析】1)根据题意求出 z1 z2 1 2i 1 i 2 i ，即可得到模长；（2）根据 z1z22 ，化简得 m2i【详解】（1）当m1， n 1 时 z11 2i所以 z1z21 2i 1 i2（2）若z1z2 ，则 m 2i1 ni所以 m2i1 n2 2ni ，所以【点睛】21 n2 2ni ，列方程组即可求解z2 1 i ，所以z1 z222 1 2 5212n解得m 0,2 2nn 1.此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围33222 （1） A= （2）

29、AC边上的高为3【解析】形面积公式两种表示形式列方程1 absinC21 hb ，再利用诱导公式以及两角和正弦公式2求 sinC ，解得 AC 边上的高详解：解：（ 1）在 ABC 中， cosB=1 7 B （ 2），sinB= 1 cos2 B4 3 a由正弦定理得7sinAsinB87 = 4 3 ， sinAsinA= 3 B 2（2）在 ABC 中， sinC=sin（ A+B）311=sinAcosB+sinBcosA=272， ）， A 2 A= 34 3 =3 37 14如图所示，在 ABC 中， sinC= hBC， h= BC sinC =7 3 314333 3 ， AC

30、 边上的高2分析：（ 1）先根据平方关系求 sinB ,再根据正弦定理求 sinA ，即得 A；（ 2）根据三角点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件 灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .23 ()详见解析()【解析】【分析】 ()由矩形 ABCD 和菱形 ABEF 所在的平面相互垂直， AD AB ，进而证得 AD 平面 ABEF ，证得 AD AG ，再根菱形 ABEF的性质，证得 AG AF ，利用线面垂直的 判定定理，即可证得 AG 平面 ADF.() 由()可知 AD ， AF ， AG两两垂直，以 A为原点， AG为x轴， A

31、F为y轴， AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面 ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解 .【详解】()证明：矩形 ABCD 和菱形 ABEF所在的平面相互垂直， AD AB ，矩形ABCD 菱形 ABEFAB ， AD 平面 ABEF ，AG平面 ABEF ， ADAG ，菱形ABEF 中，ABE60 ，G为BE 的中点，AG BE， AG AF，ADAF A ，AG平面 ADF .() 由()可知 AD ， AF ， AG两两垂直，以 A为原点， AG为x轴， AF为y轴， AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， AB3，BC 1，则 AD1 ， AG，3

32、 ，1 ，2故 A 0，0，0 ，C 3 ，D 0，0，1 ， A3 ，0，0 ，222uuur3，3，1uuuruuur3则 AC2， AD0，0，1 ， AG，0，0 ，22uruuur ur 3AC·n1x13 y z 0y1 z1 0设平面ACD 的法向量 n1x1， y1， z1 ，则1 2 1uuur ur2 1 1 ，AD·n1z1 0取 y13 ，得 n1 1， 3，0uuur uur 33uurAC·n2x2y2 1z2 0设平面ACG 的法向量 n2x2，y2，z2 ，则22uuur uurAG·n23x2 022取 y2uur2 ，

33、得 n2 0，2， 3ur uuur|unr1?nu2ur|2 3 21ur uurn1 ·n22 7 7由图可知 为钝角，所以二面角D CA G 的余弦值为7点睛】设二面角 D CA G 的平面角为 ，则 cos本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在 考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往 往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解 24 （1） x2 y2 4 y 0 （2） 5【解析】（1）消去参数 t得 l1的普通方程 l1:y k x 2 ；消去参数m得 l2 的普通方程l2:y1 x 2 .kykx2设Px,y ,由题设得12，消去k得 x2y2 4y 0 .yxk所以C 的普通方程为2 x2 y4y0.（2）C 的极坐标方程为22 cos2 sin402,.2 2 2cos sin 4,联立 得 cos sin 2 cos sincos sin20故 tan13，从而 cos代入 29,sin1022cos sin110 .24得 2 5