上海2020高三数学一模分类汇编-立体几何(详答版)

1、2020年一模汇编立体几何11、填空题【崇明3】半径为1的球的表面积是 .【答案】4【解析】S 4 R2 R 1S 4【奉贤3】圆锥的底面半径为 1,高为2,则圆锥的侧面积等于 .【答案】- 5【解析】先求得圆锥的母线长为押，再结合侧面积公式求得侧面积为展【杨浦5】已知圆锥曲线的底面半径为 1cm ,侧面积为2 cm2 ,则母线与底面所成角的大 小为.【答案】一3cl【解析】S E（c为底面圆周长，l为母线长），因为c 2所以l 2,所以母线与底面 2所成角的大小为一3【长宁，嘉定，金山 5】若圆锥的侧面面积为 2 ,底面面积为 ，则该圆锥的母线长为【答案】21 _【解析】底面圆面积为，底面半

2、径为1,底面周长为2 ,且侧面面积为2- 1RR 22 22【黄浦6】母线长为3 ,底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 .【答案】红3【解析】由底面半径为1可知圆锥展开图中的弧长为 2 ，展开图中半径为3,由L r【静安6】设 ABC是等腰直角三角形，斜边 AB 2,现将 ABC （及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为 .【答案】3【解析】1 r21 (j2)2 2333【青浦6】已知正四棱柱底面边长为 2衣，体积为32,则此四棱柱的表面积为 【答案】16 32 2由题意得正四棱柱的高h32(2.2)2所以表面积除 2 (2 2)2 4 4 2

3、 2 16 32 2【浦东7】如果圆锥的底面圆半径长为 1 ,母线长为2 ,则该圆锥的侧面积为【解析】依题意知母线长为2 ,底面半径r 1 ,则由圆锥的侧面积公式得 Srl 2【闵行9】如图，在三棱锥D AEF中，A、B1、G分别是DA、DE、DF的中点，B、C分别是AE、AF的中点，设三棱柱 ABC AB1C1的体积为Vi ,三棱锥D AEF的体积为V2,则M ：V2 .1 _11 一【解析】V1 S底-h,V2 -S底h, V1：V2423【虹口 9】已知m、n是平面 外的两条不同直线， 给出三个论断： m n ；n /；m ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题 （论断用序号表示）

4、：【答案】若，则;【解析】由于 m、n是平面 外的两条不同直线，若 n/ , m ，则m n ,故得到论断若，则【宝山10】有一个空心钢球，质量为142g ,测得外直径为5cm,则它的内直径是 cm.【答案】4.5【解析】由题意得，7.93 (2)3 4 x3 1422x 4.5【青浦11如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上,另两个顶点CxD在函数f(x) 21 xx 0的图像上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是PB 工V圆柱V圆柱f (x)f(-)xx1 x211 x(t 0) x4当且仅当t2,x1时等号成立二、选择题【松江13已知l是平面的一条斜线，直线，则（）A存在唯一

5、的一条直线B存在无限多条直线m,使得l mC存在唯一的一条直线m,使得l/mD存在无限多条直线m,使得lm【解析】首先可以找到一个 m与i垂直，那么与 m平行的直线且在内的直线都与i垂直【青浦14】对于两条不同的直线m、n和两个不同的平面,以下结论正确的是（）An /m、n是异面直线，则相交Bn /，则 n /Cn /m、n共面于，则m / nD不平行，则m、n为异面直线A选项面也可以平行；B选项n也可以属于平面；D选项m,n也可以是共面的.【徐汇14】一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）【A】.1:2【B】.1：8LC1. V2

6、：2【D.C：4【答案】C【解析】设截后锥的高度为h ,原锥高为H ,由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平行面所截，且截面面积与底面面积的比为1: 21 =-2 ,所以答案选C22【长宁，嘉定，金山15】已知正方体ABCD AB1C1D1,点P是棱CC1的中点，设直线AB为a ,直线AiDi为b .对于下列两个命题：过点P有且只有一条直线l与a、b都相交;过点P有且只有一条直线l与a、b所成的角都为45 .以下判断正确的是（）A为真命题，为真命题;B为真命题，为假命题;C为假命题，为真命题;D为假命题，为假命题;【答案】B【解析】异面直线夹角问题，a、b夹角为90 ,则过点P与所有角

7、为45的有两条.【普陀15】已知两个不同平面，和三条不重合的直线 a, b,c则下列命题中正确的 （）【A】若a/, I b则a/ bB若a,b在平面内，且c1a,cb ,则CCl若a, b,c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a,b,c都相交【D】若，分别经过两异面直线 a,b,且I c,则c必a与b相交【答案】D【解析】本题考察的是立体几何，需要学生具有一定的空间思维【宝山15】已知平面 ，两两垂直，直线a,b,c满足a ,b ,c ，则直线a,b,c不可能满足的是（）【A】两两垂直 【B】两两平行【C】两两相交【D】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型【闵行15】在正四面体

8、 A BCD中，点P为 BCD所在平面上的动点，若 AP与AB所成角为定值 ，（0,）,则动点P的轨迹是（）4A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B【解析】由题，顶点A在底面BCD的射影O是底面三角形BCD的中心，则以OB为x轴,OA为z轴，建立空间直角坐标系。设 AB V3，则A 0,0,72 ,B 1,0,0 ,P x, y,0AP与AB所成角为定值 ，（0,一）4uuuAP ABx 2cos uur uur /=AP ABxxy2 2 V33cos21 x2 3cos2 y2 4x 6cos24 02c 2223cos y 4x 6cos3cos +12x2故为椭圆。【虹口 16正

9、四面体 ABCD的体积为1, O为其中心，正四面体EFGH与正四面体 ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A 1B -C2D 33234【答案】B【解析】正四面体 ABCD旋转过后，我们只需要观察一角，上面的一角，点。为其中心, 3 一 1我们可以推出点 O把正四面体的高分为了 3的关系，因此上面露出的体积为 -,由于正四1811面体为中心对称图形，因此没有重叠的体积4 一,因此公共部分的体积为 一82三、解答题【普陀17如图所示三棱锥 P ABC的三条棱PA,AB,AC两两互相垂直，AB AC 2PA 2 ,点D在葭AC上，且AD0t 1(1)当 二鼻时，求异面直线

10、PD与BC所成角的大小;(2)当三棱锥D PBC的体积为工时，求 的值.【答案】(1) 3(2)【解析】(1)本题需用空间向量解决立体几何，如图建立空间直角坐标系A xyz,uuu则 P 0,0,1 , D 0,1,0 , B 2,0,0 ,C 0,2,0 ,所以 PD 0,1, 1uurBC 2,2,0 ,uur uuin 所以 cos PD, BCuur umr. PD BC tttf-uur PD BC22 2.21二一故而异面直线PD与BC所成角为一239(2)因为PA, AB, AC两两互相垂直，所以 AB 平面PAC ,1 一- 22 _ 一_则 Vc PAB AP SAABC ,

11、又 Vd PBC =一,所以 Vd PBC =3Va PBC ,那么 AC 3DC , 339故而=2 3【闵行17如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为 4, AB、CD是底面的两条直径，且AB 4,AB CD,圆柱与圆锥的公共点 F恰好为其所在母线 PA的中点，点O是底面的圆心.【答案】(1) 23(2：【解析】(1)由题意可知:r/柱=23arccos4%二A圆柱的底面半径为圆锥的一半/电二二=1, M= V3(1)求圆柱的侧面积；(2)求异面直线 OF和PC所成的角的大小S 斯*2 13=2 3(2)设PD与圆柱的交点为

12、E ,连接OE ,可知异面直线OF和PC所成的角的大小为EOF或其补角。OF OE 2,EF 24 4 2 3cos EOF 一2 2 2 43异面直线OF和PC所成的角的大小为 arccos一。4【静安17如图，在正六棱锥 P ABCDEF中，已知底边为(1)求该六棱锥的体积 V ; (2)求证：PA CE(1) 12； (2)见解析.(1)解：设底面中心为O ,联结PO,AO . (1分)Q PO底面 ABCDEF ,2,侧棱与底面所成角为 60 .PAO为侧棱与底面所成的角 60 .(2分)ABCDEF是正六边形，AO AB 2.在 Rt AOP 中，OP AOtan60 273. (1

13、 分)Q Sabcdef6 12 2 673 ,(1 分)22VPABCDEF 3 6%/3 OP 12. （1 分）（2）证明：Q PO 底面 ABCDE ,PO CE .Q AO CE ,又Q POI AO O ,CE 面 PAO . （5 分）又 PA在平面PAO上，PA CE . （1 分）【浦东17如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD，平面ABCDSD AD a,点E是线段SD上任意一点.(1)求证：AC BE;(2)试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30 .【解析】解法一：(1)证明：联结BD ,因为四边形 ABCD为正方形，所以，AC BD ,又因为SD

14、，平面ABCD, AC 平面ABCD ,所以AC SD .AC BD由 AC SD AC 平面 SBD.BD SD D又因为BE 平面SED ,所以AC BE .t近a.3(2)设ED t,因为SD，平面ABCD , 所以BE与平面ABCD所成角为 EBD .在 Rt EDB 中，由 tan EBD tan 302 2a所以，当ED f6a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30. 3解法二：(1)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.D 0,0,0 , Aa,0,0 , Ba,a,0 , C0,a,0 .设 DE t ,则 E(0,0,t) 则AC a,a,0，BE a, a,t 因为而 BE

15、 a2 a2 0 0，所以AC BE(2)取平面ABCD的一个法向量为n 0,0,1因为BE a, a,t ,可知直线BE的一个方向向量为 d a, a,t 设BE与平面ABCD所成角为 ，由题意知30 . d与n所成的角为 ，则cos解得,1t万所以后a2 jd nt= i 22,因为 sin cosnJa2 a2 t266.t a.当ED Ja时，BE与平面ABCD所成角的大小为30 33【宝山17】在直四棱柱 ABCD AB1CQ1中，底面四边形 ABCD是边长为2的菱形,BAD 600,DDi 3 , E是AB的中点.(1)求四棱锥C1 EBCD的体积；(2)求异面直线CiE和AD所成

16、角的大小(结果用反三角函数值表示).【答案】(1) V”(2)25 arccos8【解析】(1)sbcde 2V3 冬叵 V22-迪3晅；(2)取CD中点为M , 322连接MC1，CEM即为所求【崇明17】在直三棱柱 ABC AB1G中,ABC 90 , AB(1)求异面直线B1G与AC所成角的大小;(2)求点B与平面A1BC的距离.【答案】(1)异面直线B1C1与AC所成角的大小是.6 arccos 6BC 1 , BB1 2.h毡5【解析】（1）因为BC/B1C1 ,所以 ACB就是异面直线BG与AC所成的角或补角在 VAiCB 中 BC 1, BA175, AC 展一 66222BC

17、CA) AB 所以 cos ACB12BC CA所以 A1CB arccos6 6所以异面直线 BiCi与AiC所成角的大小是6 arccos 617因为BC BBi, BC BA ,所以BC 平面ABBA所以VC BBAC BB1 A)1s3 JBBiAiBC设点B,与平面ABC的距离为h ,则VB1 BCA11S3 OVBCA,由Vc BBiAiVB1 BCAi ， 得：h2.5【黄浦i7】在三棱锥P ABC中，已知PA、PB、PC两两垂直，PB 3, PC 4,且三棱锥P ABC的体积为i0.（i）求点A到直线BC的距离；（2）若D是棱BC的中点，求异面直线 PB、AD所成角大小（结果用

18、反三角函数值表示）【答案】（i）也69（2）arccos35525【解析】（i）因为PA PB, PA PC, PB PC P,所以AP平面PBC,i分,i i由 Vpabc _（ 3 4） AP i0,可得 AP 5. 3 分3 2过P作PE BC于E ,连AE ,由AP 平面PBC ,可得AP PE, AP BC ,由 BC PE, BC AP,可知 BC 平面 APE,故 BC AE,又 PE = 12 ,所以 AE J52(12)2 叵于，5,55所以点A到直线BC的距离为W769. 6分5(2)设F为棱PC的中点，连DF,AF ,由D,F分别是棱BC,PC的中点，可得DF / PB,

19、所以AD与DF的夹角即为异面直线 PB与AD所成的角. 8分4分因为AP 平面PBC ,所以AP PD,一13 又 FD 2PB 2，AF JAP2 +PF2 29，AD2 + DF 2 AF23 5所以 cos ADF ，2AD DF 25AD JAP2+PD 2,52 勺 12分故异面直线PB,AD所成的角为3. 5 arccos- -14分4 ,点M是棱CiDi(结果用反三角函数【答案】(1) ; ( 2)arcsin 22 33【解析】(1)因为长方体 ABCD ABiCQi中有DDi 平面ABM因为A1B1与D1C1平行，所以点 M到线段ABi的距离等于BiCi 4所以S A1B1M

20、1 一 1c, A Bi Bi Ci2 4 4223分1_116所以 VD ABM/SAB1MDD 1-4 4333长方体ABCD AB1cl口中7分Ci【奉贤17已知长方体 ABCD ABiGDi中, 上的动点(1)求三棱锥D A1B1M的体积;(2)当点M是棱CiDi上的中点时，求直线AB与平面DAM所成的角值表布)可得AD 4四，DM 旧，AM 历从而 SA1DM 6 /23分过点B1作B1H平面ADM1 c由 VD A1B1MVB1 A1DM 倚 S A1B1MDDiA1DM BiH求得BiHS A1B1MDDiS ADM4 46,22分由 B1H 平面 ADM ,且 AB/A1B1知

21、bah为直线AB与平面DAiM所成的角1分1分点C为棱2的正方形,Rt &HAn如黑V 3夜2 -所以B1A1Harcsin 一 ：:232 一所以直线AB与平面DA1M所成的角的大小为arcsinJ23【虹口 18如图，在圆柱0。1中，它的轴截面ABBA是一个边长为BB的中点，点G为弧AB的中点，求：(1)异面直线OC与ac1所成角的大小；(2)直线CC1与圆柱OQ底面所成角的大小;(3)三棱锥C1 OAC的体积.【答案】1 2 arcsin住【解析】1以OB为y轴,OO为z轴,O联结弧AB中点D, OD为x轴,建立立体空间坐标系. A 0,1,2G 1,0,2LUULTAG1,1,0UUL

22、TO 0,0,0 C 0,1,1 OC 0,1,1cos0 1 0 _11-1=22 C 0,1,1 C1 1,0,2LULUCC11, 1,1 , sin,3 = arcsin一 31-1113 V Sh411 1 3322【青浦17如图所示，在四锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 底面ABCD , E是PC的中点，已知 AB 2, AD 2J2，PA 2,求:（1）三角形PCD的面积;（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.B底面ABCD是矩形，【答案】（1） 2后；7.因为在四棱锥P ABCD中PA 底面 ABCD,DC AD,DC PD.又 AD 2.2, PA2,所以在Rt

23、APD中,PD在 Rt PDC 中，CD2,PD 2 3 S pcd2J3,即三角形 PCD的面积为2.3.（2 ）连接ED,BC / AD,EAD面直线BC与AE所成的角，在EAD 中，AE ED 2, AD 2立cos EAD 22 玄 222 2 2 2EAD 4【松江17如图，圆锥的底面半径OA2,高PO 6,点C是底面直径 AB所对弧的中点，D是母线PA的中点.（1）求圆锥的侧面积和体积;（2）求异面直线CD与AB所成角的大小（结果用反三角函数表示）【答案】（1）侧面积4M ，体积8 ;(2) arctan _ 13.【解析】（1）由OA 2PO 6得：PA . PO2 OA22.1

24、0圆锥的侧面积S rl2 2710 4/；22（2）取PO的中点E ,连接DE,CE ,21则 CDE或其补角即为所求，如图所示;Q AOXEO, AOXCO, AOL 面 ECO又 DEPAO, DE 面 ECO,DE EC, DEC 是 RtV 10分区1 -，由 DE -OA 1, 11分2tan CDE 而13分异面直线CD与AB所成角的大小为 arctan J13 14分【徐汇17 如图所示，圆锥 SO的底面圆半径|OA| 1,母线SA 3.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)过点O在圆锥底面作 OA的垂线交底面圆圆弧于点 P,设线段SO中点为M,求异面直线AM与PS所成角的大小【答案】（1） V ；Sw 3 ;arccos，囱 39【解析】（1）因为|OA| 1,母线SA 3,在 Rt SOAK h SO JSA2 |OA2 272,所以圆锥的体积V 1 r2h 汉2 , 33，-1侧面展开图扇形的面积为S - 2 3 32(2)解法一：以OP、OA、OS所在射线为x轴、y轴、z轴建立坐标系,则 P 1,0,0 , S 0,0, 242 , A 0,1,0 ,M 0,0, , 2uuu是PSuuuu1,0,2 炎,AM0, 1, . 2设向量ps与