利用基本不等式求最值的类型及方法

1、学习好资料欢迎下载利用基本不等式求最值的类型及方法x-1 x-1-33 22_22(x-1)+1号1咚、几个重要的基本不等式:G 22-a2 b2 , a +b 2 2abu ab <(a、2bwR）,当且仅当a = b时，"=l成立;bwR）当且仅当a = b时，"力成立x - 1当且仅当t-I_222(x-1)25（x>1）即x=2时，=”号成立，故此函数最小值是 上。2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。类型n：求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最

2、大值：3. 33.33a b c a b c _3abc：= abc-33-(a、b、c± r4）,当且仅当a = b = c时，"号成立;小23 y = x (3 - 2x)(0 ： x ： )2公, 2 y = sin xcosx(0 : x ：)小3-Q+b+c'3 ， a +b +c >3Vabc u abc < « (a、,33解析：.0<x<,：3 2x>0,2注： 注意运用均值不等式求最值时的条件:2 熟悉一个重要的不等式链：-T11 a bb/一、函数 f(x) =ax (a xb>0）图象及性质b、c=

3、 R4），当且仅当a = b = c时，”号成立.,3y = x2(3-2x)(0 :二 x :二-)=2x x (3 - 2x) < x x (3- 2x)正”、等”;当且仅当x = 3-2x即x = 1时，=”号成立，故此函数最大值是函数f(x)= ax+2 (a、xb >0 ）图象如图:(2)函数 f (x)= ax+- (a、xb>0 )性质:值域:(-°0,-2Vab U2VOb产)；单调递增区间：（，+无）；单调递减区间：（0,2,2a b。222埼；b a0b-2 ab 工 a，0 < x < 一 ,. sin x a 0,cos x a

4、0 ,则 y a 0 ,欲求 y 的最大值, 2.242 . 2. 22y = sin x cos x = sin x sin x cos x =.2 .可先求y的最大值。12221 sin2 x sin2x 2coS; x-(sin x sin x 2cosx) -(当且仅当 sin2x=2co$x (0cxe )= tanx = &, IP x= arc tan/2 时2 2 3此函数最大值是红。9=”号成立，故b。.评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。类型出：用均值不等式求

5、最值等号不成立。4.例 3、右 x、yt R，求 f（x）=x + （0<xW1）的最小值。x通常要b -解法一：（单倜性法）由函数 f（x） = ax+（a、b>0）图象及性质知，当 好（0,1时，函数x三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。.4 1,一一，f（x）= x十一是减函数。证明：任取 x1,x2= （0,1且0< x1< x241 ,则 x例1、求函数y = x ,2(x-1)2（x A 1）的最小值。f (x1)- f (x2) = (x1 - x2)(-Xix24x2 - x1x1x2 - 4一)二(x1 - x2) 4 =

6、 (x1 - x2)xx2XiX2'解析：y = x2(x-1)2(x 1) =(x -1)2(x-1)2x -1 x -111(x > 三方1(x 1)一x 区 一 41 0< x1 < x2 1 ,x1 - x2 < 0, < 0 ,则 f (x1)一 f (x2) A 0= f (x1)A f (x2),x1x2欢迎下载学习好资料rr4 . 一 . -4 . .即f(x)=x + 在(0,1h是减函数。故当 x = 1时，f(x)=x+ 在(0,1上有最小值5。82 一 2 一 2 一 2 ._ . .2._2 一 2贝U： x 2y =2- 2-

7、= 8csc x 2sec x= 8(1 cot x) 2(1 tan x) = 10 8cot x 2tan x sin x cos x解法二：(配方法)因 0<xE1,则有 f (x) =x+f =(3_ Jx)2+4, x x10+2j(8cof x) (2tan2x) >18,易求得x=12，此时y=3时=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:易知当0<xw1时，=-x .0且单调递减，则f(x)=号而+4在(0,1上也是减函数,8 18 1 x + 2y = (-+-)(x + 2y)>2/-

8、 - Jx-2y = 8°原因就是等号成立的条件不一致。x y x y类型V:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数x、y满足xy = x十y+3 ,试求xy、x+ y的范围。4 .-4 . .一一即f(x) = x+ 在(0,1比是减函数，当 x=1时，f(x)=x+ 在(0,1比有最小值5。xx当且仅当x=1时"二号成立，故此函数最小值是5。解法三：(拆分法)f(x)=x+f (0<x<1) =(x+1)+3 >2jx -1评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。类型I

9、V：条件最值问题。8 1例4、已知正数x、y满足2十一 =1 ,求x + 2y的最小值。解法一：由 x a 0, y> 0 ,则 xy=x+ y+3= xy- 3= x+ y至 2,rxy ,即(Jxy)2 _2xy + 3至 0 解得 0rxy E 1(舍)或折至 3 ,当且仅当x= y且xy= x+y + 3即x= y=3时取="号，故xy的取值范围是9,y)。一x- y 22又 x + y + 3= xy<(-)=(x+ y) 4(x+ y)12之 0= x+ yE -2(舍)或x+ y 之 6 ,2当且仅当x= y且xy= x+y+3即x= y= 3时取=&quo

10、t;号，故x+y的取值范围是6,十厘)。解法一：(利用均值不等式)x 2y =(8 1)(x 2y) =10 - - _10 2. x16y =18,x解法二：由 x>0, y>0, xy=x+y + 3= (* 1)丫=*十3知乂#1,81I十当且仅当 x y二1即x=12,y =3时=”号成立，故此函数最小值是一. x 3 x 3则：y= ,由 y>0= >0= x>1 , x-1x-118。x 16yy x则:x 3 x2 3xxy = x二x-1x-1J52 21)4=(x-1)-5 .x-1x-14|(x1)T1 "=9,81xx一一斛法一：(

11、消兀法)由 一+ =1得丫=,由y > 0=> > 0又xA0= x >8 ,则xyx-8x-8当且仅当x 1 = (x>0)即x = 3,并求得y=3时取"二号，故xy的取值范围是9,十无)。 x-12xx 2y ;x x -82(x-8)162 工xx 乙x -8x-816-16= (x-8)忘 10一2, (x-8) ； 10 = 18。x 3x-1 4444x+ y = x+= x+= x+1= (x 1)+ 2之 &/ (x- 1)+ 2=6,x-1 x-1x-1x-1x-116.一 当且仅当x8=6即x =12,止匕时y =3时=”号

12、成立，故此函数最小值是18。x-8'in解法三：(三角换元法)令x12一 二cos x ,y则有8sin 2 x2cos x当且仅当x 1 = N(x>0)即x = 3,并求得y=3时取="号，故xy的取值范围是9,收)。 x-1评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例1.求函数y=(x + 4Jx+9)的最值。x2碎科 x 4 x 9 x 13x 3636 o 36”错解：y = = =13 x -13 2. x =25xxxx学习好资料欢迎下载当且仅当x = 36即x = ±6时取等号。所以当 x

13、x = ±6时，y的最小值为25,此函数没有最大值。分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。分析：忽视了取最小值时须 Jx2 + 4 =1成立的条件.而此式化解得 x2 4x2 = -3 ,无解，所因为函数y =(x+4Ix+9)的定义域为s 0)U(0, +w %所以须对x的正负加以分类讨论。以原函数y取不到最小值2。正解：1)当x A0时,3636y =13 x 13 2 x 25x. x2.1正解：令t = Jx2+4(t 之 2),则 y = t+： (t 之 2)2)当且仅当x=36即x = 6时取等号。所以当 xx=6时，ymi

14、n =25当x <0时,-x>0, -36>0, (-x)+f-36xx-2 -x 1 36=12 x又因为t之1时,y= t +1是递增的。所以当t = 2 ,即x = 0时,y min36.y =13 -(-x) (-) <13 -12 =1 x当且仅当-x = - 36 ,即x = -6时取等号，所以当 x9 .一 .例2.当x > 0时，求y = 4x + 的取小值。xx=-6 时，Ymax =13-12 = 1.一 一.14例4.已知x, y w r+且一 + 一x y9错解：因为x >0, y =4x + x9-2. 4xx21错解：1 = 一

15、x分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为时成立，故取不到最小值 8.正解：u = (x y)(- -) = 5x y的最小值为8.y ,而这两个式子不能同一 9所以当且仅当4x =)即 xx邛时,；4min=2318。4x当且仅当空=义即x=3, y=6时等号成立.二 x的最小值为9.分析：用均值不等式求和”或枳”的最值时,9中4x与 今的积不是定值，导致错误。x必须分别满足积为定值”或 和为定值”，而上述解法正解：因为x >0, y =4x93二2x 2x_ 3、2x 2xx292 = 33 36 x综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可

16、定：必须满足 和为定值”或 枳为定值”，要凑出 和为定值”或 积为定值”的式子结构，如 果找不出 定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。3 36 片=3时等号成立，所以当2_ 3 36 口 xF 时'ymin=33- 36。技巧一：凑项一 一， 5例1:已知x < ,求函数 y = 4x-2+ 的取大值。44x -5一 一 x2 5例 3.求 y = -x2(xR)的最小值。解：因4x-5<0 ,所以首先要“调整”符号，又 (4x-2)J-不是常数，所以对 4x-2要进行4x- 5x2 5错解：因为y =

17、 x=d=2x 4=Jx2 +4 + j 1x2 4-2.1八一之 2,x +4 .口 =2,所以 ymin =2、x2 4拆、凑项，x<- /r 5-4x> 0，, y= 4x-2+1 = -' 5- 4x+44x- 55 - 4x+ 312+3=1 ,，一 .，1当且仅当5-4x=,即x=1时，上式等号成立，故当 x=1时，ymax=1omax5。4x技巧二：凑系数学习好资料欢迎下载例2.当U 工 4时，求y = x(8-2x)的最大值。解析：由知，8-2工口，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到 2x+(82x) =8为定值，故只需将 y=x(82x)

18、凑上一个系数即可。解：xA0,y>0+9 = 1,y 9x=-10_ 6 10=16x yrn m C / 1 z 2 X + 122* (8- 2x)为一当且仅当当2元=2X，即x=2时取等号 当x= 2时，y =x(82x)的最大值为8。技巧三：分离2x 7x 10例3.求y一2_0(x1)的值域。x 1y 9x一=一时,x y-19.一一,“上式等号成立，又 +?=1,可得x= 4,丫=12时，(x+ y)min = 16。解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。y 2 2(x +1)父一+ 5= 9 (当且仅当x= 1时取"=&

19、quot;号)。 ， x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+ 1,化简原式在分离求最值。(t -1)2 7(t 1)+10 t2 5t 44=t 5ttM：+5 =9 (当 t=2 即 x= 1 时取“=”号)。技巧五：在应用最值定理求最值时,a右遇等方取不到的怕况，应结合函数f (x) = x + 的单调性。x例：求函数y =x2 5x-的值域。x2 4解：令 Jx2 +4 =t(t >2)，贝U y =x2 5x2 4= .x24=t 1(t_2),x2 4 t因t0,t 1=1,但t=；解得t=±1不在区间",M),故等号不成立，考虑单调性。1. . 5因为y=t