含参不等式恒成立问题中-求参数取值范围一般方法

1、学习必备欢迎下载含参不等式包成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式 中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。 下面介绍 几种常用的处理方法。一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 af(x)包成立，只须求出f (x max ,则a之f (x max ；若a w f (x y叵成立，只须求出f (x濡，则a E f (x焉，转化为函数求最值。例1、已知函数f (x )=lg 1 x +- -2 I,若对任意xw 12,+ )何有f (x)>0 ,试确定 xa的取值范围。解：根据题

2、意得：x+?-2 >1在xw 12,收)上包成立，x3 _W；+9* 24即：a ax2+3x在x w 12,收)上恒成立，设 f (x )= -x2 +3x ,则 f (x )= -当 x=2时，f(xax=2 所以 a>2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f(a户g(x)恒成立，只须求出g X由耿，则f (a )> g( xmax ,然后解不等式求出参数a的取值范围；若f(a)<g(xy!U：, 只须求出g (x min ,则f (a )<g(x)min ,然后解不等式求出参数a的取值范围，问 题还是转

3、化为函数求最值。例2、已知xj3,l 时，不等式1+2x+(a-a2>4x >0包成立，求a的取值范围,t 1斛：令2 =t , *xw(-°°,1 ，tw(0,2 所以原不等式可化为：a-a<-p-, 要使上式在tw (0,2上包成立，只须求出f(t)=* 在t J0,2】上的最小值即可。t2“十1臼十”2=I I 十一=l1一十一u 1 二 't 一2,32313f t min = f 2 = a _a 4- 2 ： a 2学习必备欢迎下载二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边, 则可利用分类讨论的思想来解

4、决。例3、若xw-2,2时，不等式x2+ax+3之a恒成立，求a的取值范围 解：设f (x )=x2+ax + 3-a ,则问题转化为当xw-2,2时，f(x)的最小值非负a -7(1) 当<2即：a>4 时，f(xMn =f (2)=7 3a±0a<-Xa>4 所以2mn3a不存在；(2)当2EaE2 即2-4 < a < 4 时，f x -二3-a-_0min 24,-6<a <2 又-4MaM44<a < 2a(3) 当万 >2 即：a<4 时，f( xm i = f2)= 7 + a0a 之7 又a -4

5、 - 7 < a -4综上所得：-7 m a m 2三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元(未知数)，而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把 已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题 过程。例4、若不等式2x-1 >m(x2 -1 K寸满足m E2的所有m都成立，求x的取值范围解：设 f(m)=m(x2 -1)-(2x-1),对满足 m<2 的 m, f(m)<0 包成立,f -2 :0一2 x2 一1 一 2x-1 :0 的衿-1 、.71.3:°角毕得：< x &

6、lt;f 2 ：二02 x -1 - 2x-1 ：二 022四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之 间的包含关系来求解，即：m,nk |_f (a ), g(a )1,则f (aAm且g(a)之n ,不 等式的解即为实数a的取值范围。例5、当xjU,3 |时，logax<1恒成立，求实数a的取值范围。13 J 1解：-1 ：二 10g a x ：二 1(1)t 1 , ，1) ，1)当a >1时，1<x<a,则问题转化为二,39.；aa13 ， la ，a-31 < 1a 3a -3学习必备欢迎下载1(2)当

7、0<a<1 时，a <x<1 a、1，则问题转化为1,3aJ31 .综上所得：0<2<-或2之33五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函 数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的 不等式。例6、若不等式3x2 -log a x <0在xwlo,1 i内包成立，求实数a的取值范围。 ,3在函数y =3x2图象的下方，所以不成立;由图可知,y =loga x的图象必须过点11则，loga 二 3 3综上得：1 a 一a -1271271a 27在解题过程中，要灵活运用上面介绍了含参不等式

8、中包成立问题几种解法， 题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。学习必备欢迎下载包成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法， 归纳总结这类问题的求解策略， 不但可以 让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。一、分离参数一一最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来， 将原问题转化为a>f(x)(或)在给定区间上恒成立 oax皿(或通) 值或最小值问题。例 i 当时，不等式(a-a&

9、#39;)必+2*+ 1乂一a-aS-W-f-解析：因4,所以W 32 fiY (1丫门丫 aa" >-彳-7底-己-L儿，由于一12= - -=- a-aJ时，4)4 ,所以411 、m+2例2设且a-h h-c a-c恒成立，求实m < (a - c)解析：由于a > c，所以a - c3口,于是( ( ii(a-c) -+=(a-b) + e-c) - + - o -o - c2注甘一脑一 b o - c,从而将原问题转化为求函数的最大恒成立，求实数a的取值范围。¥V对ME (-8,1恒成立，即有y)在(一电口上是增函数，所以当区二1=>4a2

10、 -4a- 3 <0 =>- < a <-.22:数m的取值范围。jjg-b b -cj恒成立，因)fb-c a-b)-=1 + 1+ - >2 +Ja-b b- c；(当且仅当= 时取等号)，故m<4 o二、数形结合一一直观化对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。学习必备欢迎下载例3当区20时，恒有(5-a)x?+6x + a+5。成立，求实数a的取值范围。解析：令 f(x)=(5-a)x.6x+a+5,由题意，对xWO,+co)恒成立。(1)当5-a = 0,即a=5时，有6x

11、+ lD)口对M£乩+8)恒成立。(2)当5-aw 0时，结合二次函数的图像,2(5-a) f(O) > 0 5-a>0->02。- a)5-a>0A-36-4(5- a)(a + 5) <0=-5 <a«5或-4 <a<40-5 < a < 5.综合(1)(2)得2鼠-5,51图】k,直线例4设f(x)= (x-2k)(x4小表不区间(及T2k +1),对于任意正整数y=ax与f(x)恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。学习必备欢迎下载解析：作出 f(x)=(x-2k?在区间(2k-L2k + l上的图像，由

12、图像知，直线y=ax只能1-0 _ 1绕原点。从x正半轴旋转到过点 AQk + 1)的范围，直线ao的斜率为2k+1 - 0- 2k + f于是实数a的取值范围是2k +1三、巧妙赋值一一特殊化在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围, 再加以证明，不失为一个好办法。例5是否存在常数c,使得不等式2x + y x+2yx + 2y 2x + y对任意的正实数x, y恒成立？并证明你的结论。2 - 22- KcS- c =.解析：令x = y得33 ,有 3先证反x+2y 3 成立Q证3x(x+2y)+3yQx + y)W2(2x + y)(x + 2y)成立o

13、 证+y，成立，此时显然成立。工+上起再证* + 2y 2P 3成立。O证3x(2x + y) + 3Kx +2y)>2(x+ 2y)(2x + y)成立o证3y”2町成立，此时也 显然成立。故存在常数c,使得原不等式对任意的正实数 x, y恒成立。例6设f(x) = l+2cusx+3sinx。若对于任意xeR,或x) +bf(x-c) =1恒成立，试确定 常数a, b, c。x = 0, -, n解析：取2 分别代入已知等式，2b cose - 3h sin c = l - 3a-b-2bcos c+ 3bsin c = 1 + a- b3bcosc+ 2bsiii c = l-4a

14、-b(i)+( 2)得，a + b =1(4)学习必备欢迎下载由(2) (3) (4)得b-1sin c = 1 cos c = (b * 口)b a = l由皿c+cciJc = l 得b，= (bT)，,解得 从而 2,b-1 ,cosc= - = -1再由1.再a = b = 1 c = 2kit + jfk w 2)将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故飞四、变更主元简单化对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。/ +双 / 2X+1-1_ (_例7对于 河川，不等式12) 恒成立，求实数x的取值范围。八、*，概2s+4-1解析：不等式uJ 不等式9+ax>2x +