金融的数学模型与方法试题A评分标准

1、莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准20102011学年 第1学期(A)卷课程名称：金融的数学模型与方法适用年级/专业08金融试卷类别：开卷()闭卷(V)学历层次:本科 考试用时： 120 分钟考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分一、填空题(每小题3分，共12分)1. 一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约2. Ct Ke a" pt St3. 在相反方向交易份额的原生资产S,使得构成的投资组合:V S 4. dr (b ar)dt dB ,dB dB dt,其中a,b,为正常数，B(t)表示标准的Brown运动，为风险的市场价格。二、计算题

2、(30分)1、(15分)设今日为1月1日，现股价为70元，无风险利率为4%,若在三个月 期间，每一个月股价有两种可能：或上升 5%或下降5%.若购买一张3月31日到期的 敲定价为70元的看跌期权，如按合约规定，第2个月月底持有人有权提前实施期权， 问期权金为多少？解：依题意得，u 1 5% 1.05,d 1 5% 0.95, t 工年，1 r t 1.0033, So 70,K 70,12dup 0.53, 1 p0.47u du d令 SnSoun d ,V n V(Sn ,tn)(0 n 3,0 n) 5 分试卷第1页共6页(K S3) , (n 3,03)V 2 max 1 pV 3 (

3、1 p)V 2 3 1 ,(K2)22V11 pV (1 p)V 1 , (n 1,0S 2)1),(n 2,0Vo01 pVo1 (1 p)V1110分经计算可得，Vo0 2.352、(15分)若随机过程Xt,Yt分别适合随机微分方程:其中,1,运动。解：由dXt 1dt2表示相应的期望回报率,求 d(Xt) ?YtItO?公式可得,d(Xt)Yt1 dXtYt14 dY YtYtYtXt1dWt,dYt2dt2dWt,2表示相应的波动率，dWt表示标准的BrownLdXtdYt £ dYtXt 22dX YdXtXtdYtXt 221 2Yt证：在 t(t T) 时刻构造两个投资

4、组合2 p(K )1 p(K1) (1) p(K2),试卷第 2 页 共 6 页在期权的到期日t T,Vt(1)(K1St)(1)(K2 St) ,Vt( 2) (KSt)当StKi 时，Vt(1) Vt(2) 0；StKi 时,Vt( i)(K1St)0 Vt( 2)；当K2StK 时,Vt( 1)(K1 St),Vt(2)(kSt)(K1St)(1)(K2St)，即Vt(1) Vt( 2)；当StK2 时，Vt( 1)(K1St)(1)(K2St)StVt( 2)；因此在 t T,Vt( i) Vt( 2)而 prob Vt( 1)Vt( 2)probK2StK10.由无套利原理立得，Vt

5、( 1) Vt( 2)02、(15分)设cN h(r,q,K)是利率为r ,红利率为q,敲定价为K的欧式看涨期权价格，这里t (N h) t(0 h N),S SN h S0uN h d(0N h)。证明：当r1r2时，cN h(r”q,K) cNh(r2,q,K)。证：记1 1r1t, 21 H 1一 d uP1 ,1u d1 2 t,当h 0时,cN当h 1时,d u 一P1 , P2u d,1 u dP2(1,q,K) (N (2,q,K)试卷第3页共6页cN1（r,q,K）_! PiCN（ri,q,K） （1 pi）c N i（ri,q,K）1 1PiCN（2,q,K） （1 Pi）c

6、N i（2,q, K）1_d_u1,N1N1c （r2,q,K） c 1（r2,q, K）ududN 1N 1c （r1,q,K） c （2,q,K）11 dcN（r2,q,K） ucN 1（r2,q,K）u d 2111 N 1 N 1N 1 N 1ud 二一1c 1（S 1 ,Kd） c 1（S 1, Ku）由于r12,则1 0,又根据看涨期权关于敲定价格递减，可知10分21cN1（SN；,Kd） cN1（SN/,Ku） 0,即 cN1（r，q,K） cN1（r2,q,K）。假设当 h m 时，cN m（q,K） cN m（2,q,K）成立，则当 h m 1 时，N m 11 N mN m

7、c（r1,q,K） Pc （1,q,K） （1 P1）c 1 （jq,K）1P1cN m（2,q,K） （1 p1）cN 1m（2,q,K）二且_u1.N m1N m,1c 1 （2,q, K） c 1 （2,q,K） u dud试卷第 9 页 共 6 页cNm1（q,K） cN111u d -2 - 1m 1（2,q,K）dN m（2,q,K）ucN 1m（2,q,K）m11（SN1m1,Kd）N m 1 /ON1m 1 .c 1 （S , Ku） 0即由归纳法，可证命题成立四、综合题（共28分）1、（12分）若股票S不付红利，对于美式看跌股票期权，试说明股价下跌到 一定程度，提前实施是必要

8、的原因？答：若在时刻t, StK（1 er（Tt）,那么持有人必须提前实施。 4分因为持有人在期权到期日的收益在任何情况下一定不会超过K 。但若在 t 时刻提前实施，当时获益K S K K（1 er（Tt） Ker（Tt）,把这个收益存入银行， 它在的总收入将超过Ko因此此时提前实施是必要的。 8分2、 （16分） 叙述认股权证的定义以及与欧式看涨期权的异同点，并建立认股权证的数学模型。答： 认股权证的定义：持有人在确定的时间，按确定的价格按规定的股数买入一特定公司的股票。与欧式看涨期权的异同点：共同点：两者均保证持有人有权在未来确定时刻购买股票不同点：（ 1）认股权证所买入的股票是上市公司所

9、发行的新股票，而欧式看涨期权所购买的股票不一定是新发行的；（ 2）认股权证有效期一般为几年，而看涨期权有效期一般为几个月 6分认股权证的数学模型： 基本假定：（ 1）假定公司有N 股普通股股票和n 份已发行的认股权证W；（ 2）认股权证的有效期为T ，且每份认股权证授权持有者以 E 元购买一股股票；（ 3）假定公司资产价值过程 Vt演化服从几何Brown运动，dVtVtdt VtdBt这里，0表示期望收益率，0表示波动率，Bt为标准的Brown运动过程在t时刻，构造投资组合险的。由Itc?公式，可知选取方程为认股权证W(V,t)(0 V ,0 t T)数学模型:(1)当t T时，由于执行认股权证，公司总价值为 V nE,股票的数量为N n,每份股票的价值为V-E ,因此当VE E时，W(V,T) V-E E,而当 N nN nN nV-E E 时，W(V,T) 0,即当 t T 时，W(V,T) V nE E 。.N nN n(2)当 0 V ,0 t T 时，W V，选取适当的 使得在(t,t dt)内， 是无风W使得 是无风险的，并推得 W(V,t)满足的偏微分V_WtrV W rWV因此W(V,t)在定解区域0 V,0 t T上所满足的定解问题为W 1-r 2W(V,T)