等边三角形的培优

1、等边三角形培优讲义1、等边三角形的性质：（1） 等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;（2） 等边三角形每个角的平分线与所对的中线，高线互相垂直;（3） 等边三角形的每条边上的中线、高线以及所对角的平分线相等.2、等边三角形的判定:（1）三条边相等的三角形是等边三角形;（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;（3）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。例题讲解：1.下列三角形：有两个角等于；有一个角等于的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的有（ ） A B C D2.如图，ABC为等边三角形，且BM=CN

2、，AM与BN相交于点P，则APN=（ ）A 70 B 60 C 50 D不确定3.如图，C为线段AB上一点，在AB的同侧作等边ACM和等边BCN，连接AN、BM，若MBN=40°，则ANB的大小是（ ）A 60 B 65 C 70 D 804、如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形ABC和CDE(ACE120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则CPM是( )A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.非等腰三角形5、如图，在ABC中，AB=2，BC=3.6，B=60°，将ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上

3、时，则CD的长为 _ 第二题 第三题6、如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=_7、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，ABD绕点A旋转后得到ACE，则CE的长度为_.8.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是 9.如图，等边ABC的三条角平分线相交于点O，ODAB交BC于D，OEAC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有_个。10.如图，将第一个图（图）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（

4、图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第七个图中，共有_个正三角形11、在等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方坐等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长。12、在等边ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边CDE，使它与ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：（1）CNM为等边三角形；（2）若让CDE绕C旋转，下列结论会发生变化吗？AD=BE；AD与BE交角的度数；三角形CNM为等

5、边三角形。13、已知O是等边ABC内的一点，AOB、BOCAOC的角度之比为6：5：4，求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比14.如图，在等边中，相交于点于点.求证：.15、如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明16、如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且MDN=60°，试探究BM、MN、CN之间的数量

6、关系，并给出证明17、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到OBD（1）AOC沿x轴向右平移得到OBD，则平移的距离是 个单位长度；AOC与BOD关于直线对称，则对称轴是 ；AOC绕原点O顺时针旋转得到DOB，则旋转角度可以是 度；（2）连结AD，交OC于点E，求AEO的度数18.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1,求六边形的周长。 19.如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，求DE的长20、如图，ABC是边长为

7、6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D.（1）当BQD30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.21如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB，ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分DBC，求BDE的度数22.如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整

8、体移动） （1）如图，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由 图图图A·BCDEF···23、（1）操作发现：如图，D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方

9、作等边DCF，连接AF你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论（2）类比猜想：如图，当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论24、阅读与理解：图1是边长分别为a和b（ab）的两个

10、等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）的图形操作与证明：（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；（2）操作：若将图1中的CDE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当为多少度时，线段AD的长度最小是多少？25.基本问题：已知等边ABC，BM=CN。（1）写出BN、AM之间数量关系；（2） 当点M运动到BC延长线上时，其余条件不变，则（1）的结论是否成立？变式问题：1。如图等边ABC和等边CDE，点P为射线BC一动点，APK=60°，PK交直线CD于K。(1)试探索AP、PK之间的数量关系；(2)当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。26已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，