不等式及其性质

1、一、不等式及其性质【学习目标】1. 了解不等式的意义,熟悉不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2. 理解不等式的三条根本性质,并会简单应用；3. 理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地,用“v、">、y或 写表示大小关系的式子,叫做不等式.用“乒表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释： 不等号“V或表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.(2) 五种不等号的读法及其意义：符号读法意义读作“不等于它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪 个大,哪个小“V读作“小于表示左边的重比右边的重小读作“大于表示左边的量比右边

2、的量大读作“小于或等 于即“不大于,表示左边的量不大于右边的量“A读作“大于或等 于即“不小于,表示左边的量不小于右边的量 有些不等式中不含未知数,如 3V 4, -1 >-2 ;有些不等式中含有未知数,如 2x>5中, x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合 不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否那么,不等式不成立.类型一、不等式的概念例1.判断以下各式哪些是等式,哪些是不等式.(1) 4V 5;(2) x2+1>0;(3) x v 2x-5 ;(4) x=2x+3;(5) 3a2+a;(6) a2+2aA4a-2 .变式练习

3、:1. (2021春？城关区校级期末)贵阳市今年5月份的最高气温为 27C,最低气温为18C,某一天的气温为tC,那么下面表示气温之间的不等关系正确的选项是()A. 18V t V 27B. 18< t V 27C. 18v t < 27D. 18< t < 272. (2021春？未央区校级月考)以下式子：a+b=b+&-2 > -5 ;x > -1 ;1-y-4 v 1;2伦n；2x -3,其中不等式有()3A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. (2021春？南山区校级月考)下面给出了 6个式子：3> 0;x+3y >0;x=

4、3;x-1 ;x+2<3;2丰0；其中不等式有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. (2021春？太原期中)学校组织同学们春游,租用 45座和30座两种型号的客车,假设租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,那么不等式“ 45x+30yA 500表示的实际意义是()A. 两种客车总的载客量不少于500人B. 两种客车总的载客量不超过500人C. 两种客车总的载客量缺乏500人D. 两种客车总的载客量恰好等于500人5. 有理数 m, n的位置在数轴上如下图,用不等号填空.(1) n-m L; (2)m+n 0 ;(3)m-n 0;(4)n+10; (5)m? n 0;(6)

5、m+1 0 .例2.用不等式表示：(1) x与-3的和是负数；(2) x与5的和的28%不大于-6;(3) m除以4的商加上3至多为5.举一反三：【变式】的值- -定是().A.大于零 B. 小于零 C. 不大于零 D.不小于零例3.以下表达：a是非负数那么a> 0;"a可表示为a2+b2 > 0 .其中正确的个数是().个 个 个 D. 4 个要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数, 未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如, 是一个一元一次不等式.要点诠释： 一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)； 只含有一个未知数； 未知数的

6、最高次数为 1. 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1, “左边和“右边都是整式.减去10不大于2可表示为a2-10 v 2;"x的倒数超过10"可表示为10;"a, b两数的平方和为正数"不同点：一元一次不等式表示不等关系,由不等号“V、“V、“A或连接, 不等号有方向；一元一次方程表示相等关系,由等号"=连接,等号没有方向.例1. (2021春？沧州期末)以下各式中,一元一次不等式是()A. x 5 B . 2x > 1-x2C. x+2y < 1 D . 2x+1&

7、lt; 3xx变式练习2. (2021春？平川区校级期中)以下是一元一次不等式的是()1A.x 1 B . x2-2 v 1 C . 3x+2 D . 2vx-2x3. (2021春？永丰县期中)假设不等式2xav 1是关于x的一元一次不等式, 那么a符合(A. a乒 1B. a=04. 假设(m+1 x|m|+2> 0是关于x的一元A. ±1B. 15. 以下不等式中,是一元一次不等式的有(x> -3 ;xy A1；x 2< 3;-A. 1B. 2C. a=1D. a=2次不等式,那么 m=()C. -1D. 0)个.1 ; J 1 ;xC. 3D. 4要点三、不

8、等式的根本性质不等式的根本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或整式),不等号的方向不变. 用式子表示：如果 a>b,那么a±c>b±c .不等式的根本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.用式子表示：如果 a> b, c>0,那么ac> bc(或).不等式的根本性质 3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用式子表示：如果 a>b, cv0,那么acv bc(或).例1.判断以下各题的结论是否正确(对的打“/,错的打“X).(1) 假设 b - 3av 0,那么 bv 3a; (2) 如果-5

9、x>20,那么 x>- 4; (3) 假设 a>b,贝U ac2>bc2; (4) 假设 ac2>bc2,贝U a>b; (5) 假设 a>b,那么 a (c2+1) > b (c2+1) . (6) 假设 a>b>0,那么v. .【答案与解析】解：(1)假设由b - 3av 0,移项即可得到 bv 3a,故正确；(2) 如果-5x > 20,两边同除以-5不等号方向改变,故错误；(3) 假设a> b,当c=0时那么ac 2> bc2错误,故错误；(4) 由 ac2>bc2得 c2>0,故正确；222(5

10、) 右 a>b,根据 c +1,贝U a (c+1) > b (c+1)正确.(6) 假设 a>b>0,如 a=2, b=1,那么v正确.故答案为：v7、X、x.【总结升华】此题考查了不等式的性质,两边同乘以或除以一个不为零的负数,不等号方向改变.例4. 2021?青浦区一模 a>b,以下关系式中一定正确的选项是A. a2v b2B . 2av 2b C . a+2v b+2D . - av - b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断.【答案】D.【解析】解：A, a2v b2,错误,例如：2>- 1,那么 22> - 1 2;8假设a>b,那么

11、2a>2b,故本选项错误；G假设a>b,贝U a+2>b+2,故本选项错误；以假设a> b,那么-av - b,故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据.关键要注意不等号的方向.性质1和性质2类似于等式的性质但性质 3中,当不等式两边乘以或除以同一个负数时, 不等号的 方向要改变.举一反三：【变式】根据不等式的根本性质,将“mk3变形为“x>,那么m的取值范围是 .【答案】m< 0.解：.将“mx：3变形为“x>,'m的取值范围是RK 0.故答案为：RK 0.【稳固练习】一、选择题1. 2021春？北京期末在式子- 3v 0

12、, x>2, x=a , x2- 2x, x乒3, x+1 >y中,是不等式的有A. 2个B. 3个 C. 4个 D . 5个2. 以下不等式表示正确的选项是 .A . a不是负数表不'为 a>0B. x不大于5可表不'为x> 5C . x与1的和是非负数可表示为 x+1 > 0 D . m与4的差是负数可表示为 m-4v 03. 式子“x+y=1 ;x > y ;x+2y ;x-y > 1 :x v 0 "属于不等式的有A. 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个4. av b,那么以下不等式一定成立的是 A . a

13、+3> b+3 B . 2a>2b C . -a v -b D . a-b v 05 .假设图示的两架夭平都保持平衡,那么对a、b、c三种物体的重量判断正确的 是.>c <c <b <c6. 以下变形中,错误的选项是.A .假设 3a+5>2,贝U 3a>2-5 B .假设,贝UC .假设,贝U x > -5 D .假设,贝U二、填空题7. (2021秋？太仓市校级期末) 如果av b,那么-3a- 3b (用">或“v填空).8 .用不等式表示“x 与a的平方差不是正数为 .9. 在-1 , , 0, , 2中,能使不等式

14、 5x> 3x+3成立的x的值是; 是不等 式-x > 0的解.10. 假设a>b,请用或“V填空(1)a-1 b-1 ;(2)2a 2b ;(3) ;(4)a+1 b+1.11. a>b,且c乒0,用或“v填空.(1)2a a+b (2)(3)c-a c-b (4)-a|c|-b|c|12. k的值大于-1且不大于3,那么用不等式表示k的取值范围是.(使用 形如a < x < b的类似式子填空.)三、解做题13. 现有不等式的性质： 在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变； 在不等式的两边都乘以同一个数(或整式),乘的数(或整式)为正时

15、不等号的方向不变,乘的数(或整式)为负时不等式的方向改变.请解决以下两个问题：(1) 利用性质比拟 2a与a的大小(a乒0);(2) 利用性质比拟 2a与a的大小(a乒0).14.当a=3 , b=5时用不等式表示a 用a、b的其他值检验你的猜测15.xvy,比拟以下各对数的大小.(1)8x-3 和 8y-3 ;(2) 和； (3) x-2 和 y-1 .【答案与解析】一、选择题 【答案】C;【解析】解：-3< 0是不等式,xA2是不等式,x=a是等式,x - 2x是代数式,x乒3是不等式,x+1> y是不等式.不等式共有 4个.应选C. 【答案】D;【解析】a不是负数应表示为 a

16、>0,故A错误；x不大于5应表示为x<5,故B错误； x与1的和是非负数应表示为 x+1>0,故C错误；m与4的差是负数应表示为 m-4v 0,故D正确. 【答案】B. 【答案】D;【解析】从不等式 av b入手,由不等式的性质 1,不等式avb的两边都加上3后,不等 设 a=5 , b=3 ,那么 a2+b2=34 , 2ab=30 ,所以 a2+b2> 2ab ,+b2与2ab的大小是 当a=-3 , b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是 当a=1 , b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是 根据上述数学实验你猜测a2+b2与2ab的大小关系号的方

17、向不变,得 a+3v b+3,应选项A不成立；由不等式的性质2,不等式av b的两边都乘以2后,不等号的方向不变,得 2av 2b,应选项B不成立；由不等式的性质3,不等式av b的两边都乘以-1后,不等号的方向改变,得-a >-b ,应选项C也不成立；由不等式的性质1,不等式av b的两边都减去b后,不等号的方向不变,得a-b v 0.故应选D.5. 【答案】A.6. 【答案】B;【解析】B错误,应改为：,两边同除以,可得：.二、填空题7. 【答案】> .【解析】在avb的两边同时乘以-3,得：-3a>- 3b,两边同时加上,得：-3a>- 3b.故答案为：>.

18、8. 【答案】x2- a2v 0;9. 【答案】2; -1、【解析】一一代入验证.10. 【答案】(1) > (2) > (3) V (4)>11. 【答案】(1) > (2) > (3) V (4) V;【解析】利用不等式的性质进行判断.12. 【答案】-1 v k < 3 .三、解做题13. 【解析】解：(1) a>0 时,a+a>a+0,即 2a>a,av 0 时,a+av a+0,即 2ava;(2) a> 0 时,2> 1,得 2? a> 1? a,即 2a>a;av 0 时,2> 1,得 2? av

19、 1? a,即 2av a.14. 【解析】解：当a=3 , b=5时,a2+b2=34 , 2ab=30 ,. 34 > 30 , a2+b2> 2ab ; 当a=-3 , b=5时,a2+b2=34 , 2ab=-30 ,. 34 > -30 , a2+b2> 2ab ; 当a=1 , b=1时a2+b2=2, 2ab=2 ,. 1=1 ,a2+b2=2ab ; 综合得出结论：a2+b2> 2ab ( a=b时,取"=).证实：(a-b ) 2> 0 ( a=b 时,取"=),a2+b2-2ab > 0 , a2+b2>

20、2ab . 设a=2 , b=2 ,那么a2+b2=2ab=8 ,上述结论正确；综上所述,15.【解析】 解：(1)a +b > 2 ab a=b 丰 0 时,取"="正确.vy . 8x < 8y, 二 8x-3 < 8y-3 .vy,x v y, . x-2 v y-2,而 y-2 v y-1 , x-2 v y-1 .拓展：类型一、不等式的概念1.有数颗等重的糖果和数个大、小石去码,其中大石去码皆为5克、小石去码皆为1克,且以下图是将糖果与缺码放在等臂天平上的两种情形.判断以下正确的情形是().【思路点拨】 根据图示可知1个糖果的质量 5克,3个糖果

21、的质量V 16克,依此求出1个 糖果的质量取值范围,再在 4个选项中找出情形正确的.【答案】D.【解析】解：由图(1)知,每一个糖果的重量大于 5克,由图 知：3个糖果的重量小于16克,即 每一个糖果的重量小于克. 故A选项错；两个糖果的重量小于克故 B选项错；三个糖果的重 量大于15克小于16克故C选项错,四个糖果的重量小于克故 D选项对.【总结升华】 观察图示,确定大小.此题涉及的知识点是不等式,涉及的数学思想是数形结合思想,解决问题的根本思路是根据图示信息列出不等式.举一反三：【变式】设" 、" 、" 分别表示三种不问的物体,现用天平秤两次,情况如下图,那么

22、、这三种物体按质量从大到小排列应为(). .、B. 、C. 、D. 、【答案】C.类型二、不等式的根本性质2.卜面四个命题：(1),贝U; ( 2),那么；(3)假设,那么；(4)假设,贝U .其中正确的个数是().A. 1个 个C. 3 个D. 4 个【答案】B.【解析】(1)由得,由于0,所以,正确；(2) 由于,当时,所以错误；(3) 由于,当时,没有意义,而当时,所以错误；(4) 由于,所以,正确.【总结升华】不等式的根本性质是不等式变形的主要依据,要认真弄清楚不等式的根本性质与等式的根本性质的异问点,特别是不等式两边问时乘以(或除以)问一个数时, 不仅要考虑这个数不等于0,而且先必须

23、确定这个数是正数还是负数举一反三：【变式1】a、b是有理数,以下各式中成立的是 ()A.假设 a>b,贝Ua2> b2;B.假设 a2>b2,贝Ua> bC.假设a乒b,贝U| a |乒|b|D.假设| a |乒|b|,那么a乒b【答案】D.【变式2】假设点P (1 - m m在第一象限,贝"(m- 1) x> 1 - m的解集为【答案】xv - 1.解：,点P (1- m m)在第一象限,1 m> 0,即 m- 1 v 0；. .不等式(m- 1) x> 1 - m,( m 1) x> ( m 1),不等式两边同时除以 m-1,得：x

24、v 1,故答案为：x< - 1 .3.设 a > 0 > b > c,且 a+b+c=-1 ,假设 M= , N= , P=,试比拟M N、P的大小.【答案与解析】a+b+c=-1 ,-b+c=-1-a ,M=- 1 -,同理可得N=-1- , P=- 1-；又a > 0 > b > c ,> 0 > > ,-1 - V - 1< -1 - V - 1-即 Mv Pv N.【总结升华】 此题考 查不等式的根本性质,关键是 M N、P的等价变形,利用了 整体思想消元,转化为a、b、c的大小关系. 2021春？唐河县期中【提出问题】

25、 x-y=2,且x >1, y v 0,试确定x+y的取值 范围.【分析问题】先根据条件用一个量如 y取表示另一个量如 x,然后根据题中量 x的 取值范围,构建另一量 y的不等式,从而确定该量 y的取值范围,同法再确定另一未知量 x 的取值范围,最后利用不等式性质即可获解.【解决问题】解：x - y=2, - x=y+2 .又. x> 1, . y+2 > 1, .y>- 1.又, yv 0, . . - 1 v yv 0, 同理得1 v xv 2由+得-1+1 v y+xv 0+2.-x+y的取值范围是 0v x+y v 2.【尝试应用】 x-y= - 3,且xv -

26、 1, y> 1,求x+y的取值范围.【思路点拨】先根据条件用一个量如 y取表示另一个量如 x,然后根据题中量 x的取值范围,构建另一量 y的不等式,从而确定该量 y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式性质即可获解.【答案与解析】解：x- y= - 3,x=y 3.又xv - 1,y - 3 v - 1,y v 2.又. y> 1,1 v y v 2, 同理得-2v xv - 1由 +得 1 - 2 v y+x v 2 - 1.-x+y的取值范围是-1 v x+y v 1.【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的根本性质1不等式的两边同时乘以或除以同一个

27、正数,不等号的方向不变；2不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变；3不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的 式子,不等号的方向不变.【稳固练习】一、选择题1. 以下不等式中,一定成立的有.5>-2 ;； x+3 >2; +1> 1;.A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个2. 假设a+b > 0,且b v 0,贝U a, b, -a , -b的大小关系为.A. -a v -b v b< a B. -a < b< -b < a C. -a < b< a< -bD. b< -a &

28、lt; -b < a3. 假设av b,那么以下不等式：；.其中成立的有.A.1个B. 2个C.3个 D . 0个4. 假设0 V xv 1,贝U x, , x2的大小关系是.A .B.C .D.5. a、b、c、d都是正实数,且 <,给出以下四个不等式：；其中不等式正确的选项是().A. B. C. D.6. (2021春？丰台区期末)以下不等式变形正确的选项是()A.由 a>b,得 a 2v b- 2 B.由 a>b,得av bC.由 a>b,得D.由 a>b,得 ac>bc二、填空题7. 在行驶中的汽车上,我们会看到一些不同的交通标志图形,它们有

29、着不同的意义,如图所示,如果汽车的宽度为x m,那么用不等式表示图中标志的意义为 .8. (1)假设,贝U a b;(2)假设 mK 0, mu mb,贝U a b.9. ,假设yv 0,贝U m.10. 关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6) 的解是负数,贝U a的取值范围是 .11. (2021春？济南校级期末)以下判断中,正确的序号为 .假设一a>b>0,那么 abv 0;假设 ab>0,贝U a>0, b>0;假设 a>b, c乒0,贝U ac>bc;假设 a>b, c乒0,贝U ac2> bc2;假设 a> b,

30、 c乒0,那么一a cv b c.12 .如果不等式 3x-m< 0的正整数解有且只有 3个,那么m的取值范围是 .三、解做题13.用不等式表示：(1)某工人5月份方案生产零件198个,前16天平均每天生产6个,后来改良技术,提前 3 天,并超额完成任务,设他 16天之后平均每天生产零件 x个,请写出满足条件的 x的关系 式；今年,小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年,小明年龄的 3倍与小强年龄的6倍之和 大于爷爷的年龄.14.假设a>b,讨论ac与bc的大小关系.15. 根据等式和不等式的根本性质,我们可以得到比拟两数大小的方法.假设A-B > 0,贝U A>B;假设A-B= 0,那么A= B;假设A-BV 0,那么Av B.这种比拟大小的方法称为“作差法比拟大 小,请运用这种方法尝试解决以下问题.(1) 比拟 3a2-2b+1 与 5+3a2-2b+b 2 的大小；(2) 比拟a+b与a-b的大小；比拟3a+2b与2a+3b的大小.【答案与解析】-、选择题1. 【答案】B;【解析】一定成立的是：；2. 【答案】B.3. 【答案】A ;【解析】根据