不等式知识点总结

1、不等式知识点总结知识点：1. (1)假设 a,b“=2. (1)R,贝a2 b22ab (2)假设a,bR,那么 ab当且仅当a b时取假设a,bR,那么写面假设a,b R,那么a b2届当且仅当a假设a,b2吓当且仅当23.假设x1x1x1x x2 当且仅当x 1时取"=2当且仅当-2 当且仅当a0,那么2 当且仅当当且仅当a b时取"=5.假设 a, b R,22那么史上2当且仅当22注息: 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积 最大.2求最值的条件“一正,二定,三取等3均值定理在求最

2、值、比拟大小、求变量的取值范围、证实不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求以下函数的值域(1) y = 3x 2 +2x 21解：(1)y = 3x 2+ 一2x 21当x V 0时,-2 U 2 , +8)技巧一：凑项1当x>0时,y = x+ x解题技巧例x 4,求函数y 4x解：因4x 5°,1 的最大值.4x 5所以首先要“调整符号,又(4x行拆、凑项,4x0,1y 4x 2 4x 515 4x 5 4x当且仅当5 4x土即x 1时,技巧二：凑系数x = 2 值域为(00,x2)C 不是常数,所以对4x 2要进上式等号成立,故当x 1时,ymax 1.

3、例：当时,解析：由为两个式子积的形式,但其和不是定值.注意到2x (8 凑上一个系数即可.求y x(8 2x)的最大值.s*知,8-如邪|,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题2x) 8为定值,故只需将y x(8 2x)尹"忒8一眼)=:由.(8 -由) <+2" . S当= ,即x = 2时取等号当x= 2时,y x(82x)的最大值为8.变式：设0 x2,求函数y 4x(3 2x)的最大值.解：.x4x(3 2x) 2 2x(3 2x)2c2x32x92 -22当且仅当2x 3 2x,即0修时等号成立.技巧三：别离换元例：求y x2 7x 10 (x

4、 1)的值域. x 1解析一：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有 x + 1的项,再将 其别离.J3 -H7J + 10 了十1尸十5五十n十44 qV = =O 十 1 +* 5x 十 1x 十 1x 1当灯-1,即"1.时,y 2x 15 9 当且仅当x = 1时取"=号.解析二：此题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=X + 1,化简原式在别离求最值.t 12 7t 1+10 t2 5t 4 , 4 ly = t - 5ttt当灯T,即t=x+l邪时,y 2扩 5 9 当t=2即X= 1时取"=号.技巧五：在应用最值定理求最值时,假设遇等

5、号取不到的情况,结合函数fx x三的单调x性.例：求函数y 5的值域.解：令 Jx2 4 tt 2,贝J y x2 5 x2 4t 1t 2x2 4 t因t 0,t ； 1,但t ；解得t 1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性.由于y t 1在区间1,单调递增,所以在其子区间2, 为单调递增函数,故y 5.所以,所求函数的值域为 5,. 2技巧六：整体代换“1的应用屡次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否那么就会出错.例：x 0, y 0 ,且x9 1, y求x y的最小值.错解:Q x 0, y 0 ,且-. .xx y 2巨2习12 故 xyX ¥ min12

6、.错因：解法中两次连用均值不等式,在x y 2jxy等号成立条件是x y ,在-2但等 x y' . xy号成立条件是19即y 9x,取等号的条件的不一致,产生错误.因此,在利用均值不等 x y式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法.6 10 16正解：Qx 0,y 0,1 x当且仅当丝时,y上式等号成立,又1,可得X4, y 12 时,x y min 16.技巧七例：X,2 y为正实数,且x 2 + y2分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab<ox1 + y 2同时还应化简勺1 + y 2中y2前面的系数为34技巧八:即 1

7、 + y 2 =* x1a, b为正头规2b+ab+ a= 3.,求函数v= ab的取小值.是通过消元,转化为一元函分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径, 数问题,再用单调性或根本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的；二是直接用 根本不等式,对此题来说,因条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位 求出最值,考虑用根本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行.30 2b法 ': a=.,b + 130 2b ab =b +1-2 b 2 + 30b2(t + E )+34 t + / tt16L t由 a>0 得,0 v b v 152t 2 + 34t 31令

8、 t = b+1 , 1 v t v 16 , ab = =81 ab<18y>私 当且仅当t = 4,即b = 3, a = 6时,等号成立.法二：由得：30 ab = a+ 2b . a+ 2b >2.2 ab . . 30 ab >/2 ab 令 u = yfib那么 u2 + 22 u 30<0, 5毒 <u<2./aT <3* , ab < 18, . .y = 18点评：此题考查不等式 号 施(a,b R)的应用、不等式的解法及运算水平；如何 由不等式ab a 2b 30(a,b R )出发求得ab的范围,关键是寻找到a b与a

9、b之间的关 系,由此想到不等式 甘(a,b R ),这样将条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.例：求函数y V2x 1 J5 2x(1 x 5)的最大值. 22解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值.y2 (J2x 1 J5 2x)2 4 2j(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8 又 y 0,所以 0 y 242 当且仅当2x 1= 5 2x,即x 3时取等号. 故ymax 2血.22 例： a、b、c R,且 a b c 1.求证：1 1 1 1 - 18a b c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2连乘,又1 1 W J远,可由此变形入手. a a a a解：Qa、b、c R , a b c 1.1 1族卜些.同理1 1匹,1 1痊.a a a ab b c c上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1 1 1 1 1 1 迪瘁淳 8.当且仅当a b c 1时取等号.a b c a b c33例：x 0, y 0且1 - 1 ,求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围 x y解：令 x y k,x 0,y 0,191 , 口次旦1. 10业丝1xykx kykkx ky,10 c 31 2 -kk4例：假设a. k 16 , m,16