一线三等角典型例题

1、“ 一线三等角模型在初中数学中的应用一、“一线三等角模型的提炼例1、2021年山东德州卷1问题：如图1 ,在 四边形 ABCD中,点 P为 AB上一点,/ DPC= A=Z B=90° .求证： AD BC=AP BP. 探究：如图2,在四边形 ABCD中,点P为AB上一点,当Z DPC=A=Z B=0时,上述结论是否依 然成立？说明理由. 应用：请利用1、 获得的经验解决问题：如图 3,在ABD中,AB=6 AD=BD=5点P以每秒1 个单位长度的速度,由点 A出发,沿边AB向点B运动,且满足/ DPC=A.设点P的运动时间为t 秒,当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的

2、值.变式1 2021 年烟台1问题探究如图6,分别以 ABC的边AC与边BC为边,向 ABC外作正方形 ACDE 和正方形BCGE,过点C作直线KH交直线AB于点H,使Z AHK = / ACD .作 DM ± KH, D2N ± KH,垂足分别为点 M N.试探究线段DM与线段以N的数量关系,并加以证实. 2拓展延伸1 如图7,假设将“问题探究中的正方形改为正三角形,过点 C作直线KH,KH,分别交直线 AB 于点 H、吒,使 ZAHK = / BHK = / ACD . 作 DM L K1H1, C2NJX K2H2,垂足 分别为点M N. D1M = D2N是否仍成立

3、？假设成立,给出证实；假设不成立,说明理由.2 如图8,假设将中的“正三角形改为“正五边形,其他条件不变.D1M = D2N是否仍成立？要求：在图8中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证实 二、添加辅助线后运用根本图形例1、在zABC中,AB =2, Z B = 45 °,以点 A为直角顶点作等腰R t ADM点D在BC上,点E 在AC上,假设CE=5求CD的长.例2、 2021 年海淀区一模22题最后一问如图,11、12、13是同一平面内的三条平行线,11、12 之间的距离是21/5 , 12、13之间的距离是21/10,等边zABC的三个顶点分别在11、12、13上,求 AB

4、C的边长.例3、 如图,在矩形纸片ABCD中,AB = 5, BC = 4,在AB 边上取点G ,现将纸片沿E G 翻折,使点A落在CD边上的点F处,当AE=3时,求BG 的长.三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5,在 三角形ABC中,AB=AC,以BC的中点,以D为顶点作/ MDN= B. 如图5,当射线DN经过A时,DM咬AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与三角形 ADE相似的 三角形. 如图6,将/ MD幽点D逆时针方向旋转,DM,Dg别交线段AC,AB于E,F点,E和A点不重合, 不添加辅助线,写出图中所有相似的三角形,并证实. 在图6中,假设AB=AC=10

5、 BC=12当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时,求线段EF的长.例2、如图8,在Rt/ABC中,AB = AC =2 , Z A = 90 ° ,现取一块等腰直角三角板,将 45°角的 顶点放在BC中点O处,三角板的直角边与线段 AB AC分别交于点E、F,设BE =x, CF = y, Z BOE=a ( 45 0 < a < 90 ° ).(1) 试求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围；(2) 试判断/ BEO与Z OEF的大小关系？并说明理由；(3) 在三角板绕.点旋转的过程中,/ OEF能否成为等腰三角形？假设能,求出对应 x的值

6、；假设不能,请说明理由.【例3】(2021四川成都卷)如图, ABC和 DEF两个全等的等腰直角三角形, ZBAC EDF=90 , DEF的顶点EAABC的斜边BC的中点重合.将 DEF绕点E旋转,旋转过程 中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q(1) 如图,当点 Q在线段AC上,且AP=AQ寸,求证： BPEACQE(2) (2)如图,当点 Q在线段CA的延长线上时,求证： BPEACEQ并求当BP=a CQ=9a/2时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)6、(东城一模 24.) 等边 ABC长为6, P为BC边上一点,Z MPN60° ,且PM P

7、N分别于边 AB AC交于点E、F.(1) 如图1,当点P为BC的三等分点,且 PdAB时,判断 EPF的形状；(2) 如图2,假设点P在BC边上运动,且保持 P= AB设BP=x,四边形AEPF®积的y,求y与x的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；(3) 如图3,假设点P在BC边上运动,且Z MP圈点P旋转,当CFAE= 2时,求PE的长.2、四边形中的一线三等角例1、如图,正方形ABCD的边长为1cm M N分别是BG CD上两个动点,且始终保持AM ± MN设BM的长为x cm, CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值例3、如图,在等腰梯形 A

8、BCD中,AD/ BC BC = 4AD = 4 2 , Z B = 45 ° ,点E、F分别在边BG CD 上移动,且/ AEF = 45° ,那么点E移动过程中,线段AF长 的最小值是例4.如图,在梯形ABCD中,AD / BC , AB DC AD 6 , ABC 60o,点E, F分别在线段AD, DC上(点E与点A, D不重合),且BEF求V与x的函数表达式；120°,设 AEDF V 当x为何值时,y有最大值,最大值是多少？例 4、如图,在直角梯形 ABCM, AD/ BC / B=90° , AB=8,tan CAD43 , CA=CD E、F分别是线段 AD AC上的动点(点 E与点A、D不重合),且Z FEGZ ACB设DE=x CF=y(1) 求A密日AD的长；(2) 求y与x的函数关系式；(3) 当 EFC为等腰三角形时,求 x的值.3、函数问题中的一线三等角.例1、在直角坐标系中,点 A是抛物线y= x2在第二象限上的点,连结 OA过点O作OB ± OA,交抛 物线丁点B,以OA OB为边构造矩形AOBC如图,当点A的横坐标为一1/2时,求点B的坐标.例2、如图,直线y = kx与抛物线y = - 4/27