函数的奇偶性

1、1.3 函数的基本性质仔细观察仔细观察 与与 的函数图像，它们的函数图像，它们有什么共同特征？有什么共同特征？2yxyx从数值的角度从数值的角度如何刻画函数关于如何刻画函数关于y轴对称？轴对称？(-3,9)(3,9)f(1)f(-1)= 1= 1f(a)f(-a)= a2= a2f(2)f(-2)= 4= 4猜想 : f(-x) _ f(x)=32101239410149x2yx 结论：对于结论：对于定义域定义域内的任意一个内的任意一个x，都有，都有f(-x)=f(x)xP(x,f(x)P/(-x, f(x) )-xP/(-x, f(-x) )f(-x)=f(x)y=f(x)xy0一般地，如果

2、对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的定义域内任意一个一个x，都有，都有f(-x)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做偶函数。偶函数。一个函数是偶函数一个函数是偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称函数函数 是不是偶函数？是不是偶函数？ 偶函数的定义域应该关于原点对称偶函数的定义域应该关于原点对称.2, 3,2yxx 3. 4. 2) 1(1)(xxfxxf)(3. 4. 2.3. 21)(xxf1.函数函数 与函数与函数 图象有什么共同特图象有什么共同特征吗？征吗？从数值的角度从数值的角度如何刻画函数关于原点对称？如何刻画函数关于原点对称？对于定义域内任意

3、的一个x,都有f(-x)=-f(x)xxf)(xxf1)(一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的定义域内任意一个一个x，都有，都有f(-x)=-f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫就叫做奇函数。做奇函数。一个函数是奇函数一个函数是奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 奇函数的定义域要关于原点对称奇函数的定义域要关于原点对称1. 1.2. 2.3. 3.4. 4.有没有既奇又偶的函数？有没有既奇又偶的函数？这样的函数有多少个？这样的函数有多少个？3)(xxfxxf)(xxxf1111)( )2f xx0)(xf1. 先求定义域。看是否关于原点对称。2.判

4、断f(-x)=f(x),或f(-x)=-f(x),是否对于定义域内的任意实数x恒成立。（说明不恒成立只要找到一个不成立即可）3. 下结论。1. 2.3.4.5.6.2( )2, 2,2)f xxx 2) 1()( xxf22)(xxxf11)(xxxfxxxf11)(22( )11f xxx 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y y轴右边的轴右边的图象如下图，画出在图象如下图，画出在y y轴左边的图象轴左边的图象. .xy0相等已知函数y=f(x)是 上的奇函数，它在 上的图象如图所示，画出它在 上的图象。(,0)(0,)(0,)(,0)y0123231（1）若奇函数在原点有定义，原点处函数值等于多少？（2）偶函数在原点的值有没有约束条件？（3）求函数y=f(x)在 上的函数解析式，在 上呢？(0,)(,0)奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定定义义设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D， ,都有都有 .f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)图图像像性性质质关于原点对称关于原点对称关于关于y轴对称轴对称判断判断步骤步骤定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点