整理高数积分总结

1、句题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程,一、. b2 u积分正义：j f (x px =lm £ f 泠i 土b计算方法：f x px =F b J-F a 兀定积分%几何意义：连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何?平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程 旋转曲面的面积*用物理水压力、质量与引力、边际本钱元不定积分：解决定积分的计算问题,将积分问题与求导问题联系起来重积分d；=rdrd向题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：JJf xy db =1如£ f、Di=1

2、计算方法：关键问题是定限,在直角坐标下db=dxdy,在极坐标下 重积分几何意义：以D为底,f x, y片曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何求平面图形的面积ffddD应用物理伺题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：川1 f x, y, zdv=回£ f G ,r,乌加计算方法：直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标 x = r co出,y = r sin,z = z,dv=rdrd8dz!球面坐标 x = r sin甲cos, y =r sinsine,z = r cos,dv=r2 sin单drdBd甲定限的方法参考二重积分几何意义、物理意义 应用几何应用物理对弧长的

3、曲线积分(第一型曲线积分)间题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：Jf (x, y ps =l眺£ f 7 声,Jf (x, y, z ds=l虺£ f (M,% G /L打？ i义L打？ J计算方法：用路径函数L化简f (x, y )化为一元定积分弧长元素ds=(dx2 hy2Jl+"(x) dx ds=寸1+ x,(y )1 dyds=对面积的曲面积分(第一型曲面积分ds= (%)+业)牌ds= r (& )j + 一瑚寸 d6几何意义、物理意义应用(几何)应用(物理)何题引例：曲面不均匀薄片的质量n积分定义：£f (x,y,z卜=蚂

4、3;门£,七4簪计算方法：厂、投影,2、代入,3、转换I_,JJ f (x, y, z )dS = 口 f' x, y, z( x, y )jl + z*2 +zy2 dxdy£切 -应用(几何y计算曲面面积应用(物理)问题引例:积分定义:对坐标的曲线积分(第二型曲线积分)计算方法:两种曲线积分的关系：,|Pdx dy = jj(Pco QcosG )dsfdx dy +Rdz =?Pco弘 +QcosP +Rcos )ds其中cosx, cosg cos馄曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦Pdx y,一U 一 Pdx 妇：；|： y)" =Q见

5、笔记n变力沿曲线作功 W =li m匚|P i, i ,x Q i, i .'WinLP x,y dx =l旷 P i, i 'X, lQ x,y dy =肺广 Q i, i 为 ,.,i° i 土积分的定义可推广到空间的情况,并可简写成P(x,y px+Q(x,y )dy本质是将其化为一元定积分(用参数方程、将y化为x)全微分方程1、定义：如果一阶微分方程P( x, y )dx 十Q(x, y )dy = 0的左端恰好是某一个二元函数u的全微分,此时方程的通解为u = C,因此全微分方程的关键就是求u2、求解方法：I 不定积分法： 凑微分法 积分因子法：'可

6、题引例：曲面的侧的定义(指明了曲面是有方向的)曲面的投影,流体力学中流量问题中土v dSyn积分定义:l im Z P(=f »&y+Q(=,叫,(；?Sxz+R&叫上?&y = U(Pco四+QcosE+RcosY)dS对坐标的曲面积分(第二型曲面积分nl观 £ P (.,叫,4 汗y +Q (.,叫,5 玲Sxz + R ( 4,叫,5 冷Sxy = " Pdydz +Qdxdz + Rdxdy-0也支第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用柘第二型曲面积分两个式子反响的是一个东西,也就说明了两类曲面积分的联系 计算方

7、法：投影、代入、转换应用：流量的计算格林定理：曲线正向的定义；L Pdx QdyL为D的取正向的边界曲线应用格林公式应注意：岷L必须封闭；2)当、与在D内每点具有一阶连续偏导；3)L为正向曲线 A格林公式曲线积分的路径无关性：概念,积分值只与初始点的坐标有关Pdx+Qdy四个等价命题：在一个单连通区域内,函数P(x,y Q(x,y祚G内有一阶连续偏导那么下面四个命题等价：=;Pdx+Qdy =0;(Pdx+Qdy与路径无关；存在函数 u(x,y)使du=Pdx+Qdy色瑚积分应用归纳几何应用：1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做,用三重积分可做3、曲面的面

8、积：fldS = fdS?牟合方盖的外表积 耳面面积=f x,y ds牟合方盖的外表积 f y,z ds, f x, z dsLLL"柱面以L为准线,母线平行于z轴,介于z=0与曲面z = fx,y 间的局部4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况,用一元定积分可做,用二重积分可做物理应用：1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度x长度y平面曲线杆对弧长的曲线积分'这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分件面面片二重积分面状质量面密度X面积*''I解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分',空间面片对曲

9、面的面积积分 j立体快质量体密度X体积X三重积分：=f P ;M = f P d1.1Q2、质心物理重心质心几何中央形心概念解释：物理重心一一是在重力场中,物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点.规那么而密度均匀物体的重心就是它的几何中央.质心一一质量中央简称质心,指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点.与重心不同的是,质心不一定要在有重力场的系统中.值得注意的是,除非重力场是均匀的,否那么同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上.形心一一面的形心就是截面图形的几何中央,质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的,对于密度均匀的实物体,质心和形心重合质心的计算：引入了静力矩的概念fP(x,y JoHyP(x,y per薄片:x =, y =x, y d." x,y deDDx P(x, y JdsJy p(x, y ds空间曲线杆：x , y =j R(x, y ,sP