利用空间向量求空间角

1、利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的火角范围：两条异面直线所成的火角的取值范围是 0 <90向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其火角为8 ,假设a与b的火角为锐角,那么6 =cosa,b,假设a与b的火角为钝角那么6 =兀-a,b),所以有cose = coSa, b)练习 在正方体ABCD-AiCiD中,M是AB的中点,那么对角线DB与CM所成角的余 弦值为.(2) 直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.范围：直线和平面所火角的取值范围是 0、e <90 =o向量求法：假设n是平面a的法向量,AB是直线L的方向向量,那

2、么L与a所成的角6= - (AB,或20 = <AB,n)兰,所以 Sin 0 = cosAB ,n2练习：1:正方体 ABCAAiBCD中,E,F分别是AB,CD的中点,求 AiBi与平面AEF所成的2:在三棱锥 P OCB中,POJ.平面 OCB,O乩OC OB=OC=2 ,PC=4, D为PC的中点,求 OD与平面PBC所成的角3二面角二面角的取值范围是0的6 <180 ：0二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,那么这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；方法二：设n1 , n2分别是两个面的法向量,那么向量 叶与n2的火角或其补角即 为所求二面角的

3、平面角的大小.4点到平面的距离A为平面a外一点如图,n为平面a的法向量,过A作平面a的斜线 AB及垂线AH.,斜线AB与平面a的夹角为6| AH |=|AB| 虹-| AB | |cos ： AB,n |=|AB| |AB n| | AB | |n|=| AB n |典题赏析题目1:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面侧棱 PA_L底面 ABCD , AB=V3 , BC=1 , PA = 2 ,E为PD的中点.I 求直线AC与PB所成角的余弦值；皿在侧面PAB内找一点N ,使NE _L面PAC , 并求出点N到AB和AP的距离.解：I建立如下图的空间直角坐标系,那么 A,B,C,D,P,E 的

4、坐标为 A0,0,0、b、3,o,o、c、3,i,0、d0,i,0、1P(0,0,2)、E(0,1), 2从而 AC =( 3,1,0),PB =( .3,0,-2).设Ac与PB的火角为e , WJ AC PB 337cos 7 =:=,| AC | | PB |2v71437AC与PB所成角的余弦值为 .14(II)由丁 N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),那么1NE =(x, ,1 z),由 NE_L面 PAC 可得,2NE AP =0,NE AC =0.1(x, ,1z) (0,0,2) =0,即. 2化简得1厂(x,】z) 331,0)=0.z 1 = 0,八 1-、

5、3x = 0.23即N点的坐标为(,0,1),从而N点到AB和AP的距离分别为6题目2.正方体ABCD -AB1C1D1的棱长为a.求点G到平面AB1D1的距离;(2)求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角余弦值解(1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐BR为 A(0,0,0)、D1O a, a)、B(a, 0, a) 、C1(a, a, a) , 向 量GA = (a,a,a),AD1 =(0,a,a),AB =(a,0,a).设n=(x,y, z)是平面AB1D1的法向量,丁是,有n AD10八,即 Fy+az=°n AB1 = 0 ax az = o令z

6、 = -1,得x=1, y=1 .丁是平面ABiDi的一个法向量是n=(1, 1, -1).因此,Ci到平面ABiDi的距离房a n后d = - = a .n 3 由 知,平面ABiDi的一个法向量是n = (1,1,-1) 乂因AD _1平面CDDiCi, 故平面CDDiCi的一个法向量是 勇= (0,1,0).设所求二面角的平面角为e (结合图形可知二面角是锐角,即6为锐角),那么n n1题目3.如图,四棱锥P - ABCD中,PA_L*面ABCD,底面ABCD是直角梯形,且 AB/CD ,NBAD =90 « PA=AD=DC=2 , AB =4.(1)求证：BC_LPC ;(2)求点A到平面PBC的距离.解:.(1)如图建系,那么 B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2)BC =(2, 一2,0) , PC =(2,2, 一2),BC PC = 2 2+(-2) 2=0,故 BC 上 PC .(2 )兄=(0,4,-2),PC=(2,2,-2),设平面 PBC 的法向量为一n = (a ,