直角三角形性质练习15年

1、直角三角形相关性质练习一选择题（共4小题）1（2015广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，2（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A（）2012B（）2013C（）2012D（）20133（2015天水）如图，在四边形ABCD中，BAD=ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）A2B3C4D54（2

2、013泸州）如图，在等腰直角ACB中，ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且DOE=90°，DE交OC于点P则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OPOC其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个二填空题（共2小题）5（2014珠海）如图，在等腰RtOAA1中，OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，则OA6的长度为6（2013铜仁市）如图，已知AOB=45&#

3、176;，A1、A2、A3、在射线OA上，B1、B2、B3、在射线OB上，且A1B1OA，A2B2OA，AnBnOA；A2B1OB，An+1BnOB（n=1，2，3，4，5，6）若OA1=1，则A6B6的长是三解答题（共23小题）7（2012秋永川区期末）如图，ABC中，ACAB，D是BA延长线上一点，点E是CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EFAC于F，EGAD于G（1）求证：EGBEFC；（2）若AB=3，AC=5，求AF的长8（2015秋周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C，若CEB=40°，求EDC的度数9（2013河北

4、模拟）已知：如图1，当ABO和CDO是两个等腰直角三角形，OA与OC，OB与OD，都在同一条直线上，ABO和CDO的角平分线分别交AC于点E和F（1）求证：AC=2（BE+DF）（2）如图2，当ABO和CDO变为两个全等的直角三角形且OA与OC不在同一条直线上时，连接AC与BD交于点G，其余条件都不变，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由10（2013秋武昌区校级期中）已知等腰RtABC和等腰RtEDF，其中D、G分别为斜边AB、EF的中点，连CE，又M为BC中点，N为CE的中点，连MN、MG（1）如图1，当DE恰好过M点时，求证：NMG=45°，且MG=M

5、N；（2）如图2，当等腰RtEDF绕D点旋转一定的度数时，第（1）问中的结论是否仍成立，并证明；（3）如图3，连BF，已知P为BF的中点，连CF与PN，若CF=6，直接写出=11（2012三门县校级三模）已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PEAB，PFBC，垂足分别为E、F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是（2）当MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）如图3，等腰RtABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，RtMPN的边PM与AB的延长线交于点E

6、，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？12（2012海安县模拟）如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，D为AB边上一点（1）求证：ACEBCD；（2）设AC和DE交于点M，若AD=6，BD=8，求ED与AM的长13（2012惠山区校级模拟）（1）等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PEAC于点E设P点运动时间为t当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改

7、变？若不改变，求出DE的值；若改变，请说明理由下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题解：过Q作QF直线AC于点MPEAC于点E，QF直线AC于点MAEP=F=90°（下面请你完成余下的解题过程）当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角ABC”改为“边长为a的等边ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3）若将（2）中的“等边ABC”改为“ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当ABC满足条件时，（2）中的结论仍然成

8、立（直接写出答案，不需要解题过程）14（2012齐齐哈尔模拟）已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACB=ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），连接DM，可得结论：DC=CM将ADE绕点A逆时针旋转，当点D在AC上（如图二）或当点E在BA的延长线上（如图三）时，请你猜想DC与CM有怎样的数量关系，并选择一种情况加以证明15（2012春钟祥市期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在RtABC中，A=90°，BD平分ABC，M为直线AC上一点，MEBC，垂足为E，AME的平分线交直线AB于点F（1）M为边AC上一

9、点，则BD、MF的位置是请你进行证明（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是请你进行证明（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是请你进行证明16（2012秋潮阳区期中）操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90°将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点如图是旋转三角板得到的图形中的3种情况（1）三角板绕点P旋转，当PDAC时，如图，四边形PDCE是正方形，则PD=PE当PD与AC不垂直时，如图、，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论（2）若D、E

10、两点分别在线段AC和CB上移动时，设BE的长为x，APD的面积为y，求y与x之间的函数关系式（3）三角板绕点P旋转，PEB是否能成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由17（2012春黄陂区校级期中）如图1，在ABC和ADE中，BAC=DAE=90°，AB=AC，AD=AE（1）求证：SABD=SACE；（2）如图2，AM是ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MNBD18（2011秋庐阳区期末）如图，已知ABC中，BAC=90°，AB=ACD为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CEAB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明19（2011

11、春苍南县校级期中）如图1，在RtABC中，AB=AC，BAC=90°，点O是BC的中点，连接OA（1）OA=OB=OC成立吗？请说明理由（2）如图2，若点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动中始终保持AN=BM，OANOBM成立吗？，并说明理由（3）如图3，若点M，N分别在线段BAAC的延长线上移动，在移动中始终保持AN=BM，请判断OMN的形状，并说明理由20（2011秋昌平区校级期中）已知：如图ABC中，A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且EDF=90°（1）求证：DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形AEDF

12、=SBDE+SCDF；（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持EDF=90°，DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由21（2010唐山一模）（1）如图1，以等腰直角ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为；（2）如图2，以任意直角ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为；（3）如图3，以任意非直角ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，试判断DE与AM之间的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若以

13、ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，请直接写出线段DE与AM之间的数量关系22（2015铁岭一模）已知：ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AFAQ23（2015春重庆校级期末）如图1，ABC中，BEAC于点E，ADBC于点D，连接DE（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求ABC的周长；（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图3，若ABBC，AD=BD，将ADC沿着AC翻折得到AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间

14、的数量关系，并证明你的结论24（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北

15、偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离25（2014绍兴）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2）如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，点M，N

16、在边BC上，且MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长26（2013河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60°，点D是

17、角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长27（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明28（2014台湾）如图，O为ABC内部一点，

18、OB=3，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点（1）请指出当ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由（2）承（1）小题，请判断当ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由29（2013北京模拟）已知MAN=120°，AC平分MAN，点B、D分别在AN、AM上（1）如图1，若ABC=ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若ABC+ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由2016

19、年01月18日notic1的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共4小题）1（2015广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，【考点】勾股定理的逆定理菁优网版权所有【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可【解答】解：A、12+2232，不能组成直角三角形，故错误；B、22+3242，不能组成直角三角形，故错误；C、42+5262，不能组成直角三角形，故错误；D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确故选D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理

20、时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断2（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A（）2012B（）2013C（）2012D（）2013【考点】等腰直角三角形；正方形的性质菁优网版权所有【专题】规律型【分析】根据题意可知第2个正方形的边长是，则第3个正方形的边长是，进而可找出规律，第n个正方形的边长是，那么易求S2015的值【解答】解：根据题意：第一个正方形的边

21、长为2；第二个正方形的边长为：；第三个正方形的边长为：，第n个正方形的边长是，所以S2015的值是（）2012，故选C【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理解题的关键是找出第n个正方形的边长3（2015天水）如图，在四边形ABCD中，BAD=ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）A2B3C4D5【考点】等腰直角三角形；点到直线的距离菁优网版权所有【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的

22、最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案【解答】解：过点A作AEBD于E，过点C作CFBD于F，BAD=ADC=90°，AB=AD=2，CD=，ABD=ADB=45°，CDF=90°ADB=45°，sinABD=，AE=ABsinABD=2sin45°=2=2，CF=1所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，故选A【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案4（2013泸州）如图，在等腰直角ACB中，ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边

23、AC、BC上，且DOE=90°，DE交OC于点P则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OPOC其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】结论（1）错误因为图中全等的三角形有3对；结论（2）正确由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断结论（4）正确利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断【解答】解：结

24、论（1）错误理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为AOCBOC，AODCOE，CODBOE由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得AOCBOCOCAB，ODOE，AOD=COE在AOD与COE中，AODCOE（ASA）同理可证：CODBOE结论（2）正确理由如下：AODCOE，SAOD=SCOE，S四边形CDOE=SCOD+SCOE=SCOD+SAOD=SAOC=SABC，即ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍结论（3）正确，理由如下：AODCOE，CE=AD，CD+CE=CD+AD=AC=OA结论（4）正确，理由如下：AODCOE，AD=CE；CODBOE，BE=CD在Rt

25、CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，AD2+BE2=DE2AODCOE，OD=OE，又ODOE，DOE为等腰直角三角形，DE2=2OE2，DEO=45°DEO=OCE=45°，COE=COE，OEPOCE，即OPOC=OE2DE2=2OE2=2OPOC，AD2+BE2=2OPOC综上所述，正确的结论有3个，故选：C【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点难点在于结论（4）的判断，其中对于“OPOC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题二填空题（共2小题）5（2014珠海）如图，在等腰RtOAA1中，O

26、AA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，则OA6的长度为8【考点】等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案【解答】解：OAA1为等腰直角三角形，OA=1，AA1=OA=1，OA1=OA=；OA1A2为等腰直角三角形，A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；OA2A3为等腰直角三角形，A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；OA3A4为等腰直角三角形，A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4OA4A5为等腰直角三角形，A4A5=OA4=4，O

27、A5=OA4=4OA5A6为等腰直角三角形，A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8故答案为：8【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键6（2013铜仁市）如图，已知AOB=45°，A1、A2、A3、在射线OA上，B1、B2、B3、在射线OB上，且A1B1OA，A2B2OA，AnBnOA；A2B1OB，An+1BnOB（n=1，2，3，4，5，6）若OA1=1，则A6B6的长是32【考点】等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】仔细观察图形，分析其中的规律，得到AnBn的规律性公式，然后求得n=6时的值【解答】解：由题意

28、，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=，A3B3=A3A4=4，从中发现规律为AnBn=2An1Bn1，其中A1B1=1，AnBn=2n1当n=6时，A6B6=261=25=32故答案为：32【点评】本题考查图形的规律性本题的图形是由一系列有规律的等腰直角三角形所组成，仔细观察图形，发现其中的规律，是解决本题的关键三解答题（共23小题）7（2012秋永川区期末）如图，ABC中，ACAB，D是BA延长线上一点，点E是CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EFAC于F，EGAD于G（1）求证：

29、EGBEFC；（2）若AB=3，AC=5，求AF的长【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有【分析】（1）求出EFC=EGB=90°，EF=EG，根据HL推出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得出GB=FC，根据勾股定理求出AF=AG，求出AG，即可得出答案【解答】证明：（1）AE平分DAC，EFAC，EGAD，EFC=EGB=90°，EF=EG，在RtEGB和RtEFC中，RtEGBRtEFC（HL）；（2）解：EGBEFC，GB=FC，EG=EF，在RtEGA和RtEFA中，RtEGARtEFAAF=AG，AG+AB=ACAF，AF+AB=

30、ACAF，2AF=ACAB=53=2，AF=1【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关键是推出EGBEFC和RtEGARtEFA是解题关键8（2015秋周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C，若CEB=40°，求EDC的度数【考点】直角三角形的性质；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】由图形翻折变换的性质得出CED=DEC'，再解答即可【解答】解：由题意得DECDEC'，CED=DEC'，CEB=40°，CED=DEC'=，EDC=90°7

31、0°=20°【点评】本题考查的是角的计算，熟知矩形的性质及图形翻折不变性的性质是解答此题的关键9（2013河北模拟）已知：如图1，当ABO和CDO是两个等腰直角三角形，OA与OC，OB与OD，都在同一条直线上，ABO和CDO的角平分线分别交AC于点E和F（1）求证：AC=2（BE+DF）（2）如图2，当ABO和CDO变为两个全等的直角三角形且OA与OC不在同一条直线上时，连接AC与BD交于点G，其余条件都不变，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由【考点】等腰直角三角形；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】证

32、明题【分析】（1）推出等腰直角三角形ABE、OBE、ODF、CDF，推出BE=AE=OE，DF=OF=CF即可；（2）根据全等三角形性质推出AOB=OCD，OA=OC，根据等腰三角形性质推出GAO=GCO，求出AGB=GCD，GCD=DGC求出DGC=GCD=45°，AGB=BAG即可【解答】解：（1）证明：AOB和ODC是等腰直角三角形，BE平分直角ABO，DF平分直角ODC，A=AOB=45°，DOC=C=45°，ABE=OBE=ODF=CDF=45°，ABE，OBE，ODF，CDF都是等腰直角三角形，BE=AE=OE，DF=OF=CF，则BE=（A

33、E+OE）=AO，DF=（CF+OF）=OC，AC=2（BE+DF）（2）结论成立，理由如下：RtABORtCDO，AOB=OCD，OA=OC，OA=OC，GAO=GCO，AGB=GAO+AOB，GCD=GCO+OCD，AGB=GCD，AGB=DGC，GCD=DGCGDC=90°，DGC=GCD=45°，RtGCD是等腰直角三角形，同理可证RtABG也是等腰直角三角形，这满足了（1）中所有条件，根据（1）就有相同的结论【点评】本题综合考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，此题

34、有一定难度，但题型较好10（2013秋武昌区校级期中）已知等腰RtABC和等腰RtEDF，其中D、G分别为斜边AB、EF的中点，连CE，又M为BC中点，N为CE的中点，连MN、MG（1）如图1，当DE恰好过M点时，求证：NMG=45°，且MG=MN；（2）如图2，当等腰RtEDF绕D点旋转一定的度数时，第（1）问中的结论是否仍成立，并证明；（3）如图3，连BF，已知P为BF的中点，连CF与PN，若CF=6，直接写出=【考点】等腰直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（1）连接NG、CF，由题意可得CE=CF，易证MCGE四点共圆，即MN=N

35、G，根据圆周角和圆心角的关系，可得MNG=90，即可证得；（2）连接CF，CD，BE，NG，易证BDECDF，则BE=CF，根据三角形中位线的性质，可得MN=NG，GNC+MNC=90°，即MNG是等腰直角三角形，即可证得；（3）连接PD，DM，PD为三角形ABF中位线，PD平行AF，PD=AF，在三角形ABC中，DM为中位线，DM=AC，MN=BE=CF，D，M，N共线，DN=（BC+CF），BC=AC，DP=DN，三角形DPN是等腰直角三角形，PN/CF=（+1）【解答】解：（1）连接CF、NG，如图，D、C、G三点共线，CE=CF，DEBC，MN是直角三角形CME斜边上的中线，

36、MN=CE，又NG是三角形CEF的中位线，NG=CF，NG=NM；MCGE四点共圆，又MEG=45°，MNG=90，即三角形MNG为等腰直角三角形，NMG=NGM=45，MG=MN （2）连接CF，CD，BE，NG，如图，ABC是等腰直角三角形，CD是底边中线，CDAB，ADC=90°，又EDF=90°，BDE=CDF，在BDE和CDF中，BDECDF（SAS），BE=CF，BED=DFC，在CBE中，MN是中线，MNC=BEC，MN=BE，延长EC交DF于P，在ECF中，GN是中线，GN=CF，CNG=PCF，MNC+CNG=BEC+PCF，=（BED+DEP）

37、+（DPEPFC），=DFC+DEP+DPEDFC，=DEP+DPE，RtEDF中，EDF=90°，DEP+DPE=180°90°=90°，MNG=90°，MNG是直角三角形，又BE=CF，MN=NG，MNG是等腰直角三角形，NMG=NGM=45°，MG=MN；（3）【点评】本题主要考查了等腰直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定和性质，要熟练掌握等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质，要注意根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，借助辅助线来解答11（2012三门县校级

38、三模）已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PEAB，PFBC，垂足分别为E、F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是相等且垂直（2）当MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）如图3，等腰RtABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，RtMPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】应用题【分析】（1）根据题意及

39、图示即可得出OE、OF的数量关系：相等，位置关系：垂直；（2）根据题意及图示可证明OEBOFC，故成立；（3）根据题意及图示，还有所给比例关系即可得出答案【解答】解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直故答案为相等且垂直（2）成立，理由如下：MPN是直角三角形，MPN=90°连接OB，OBE=C=45°，ABC，MPN是直角三角形，PEAB，PFBC，ABC=MPN=BEP=BFP=90°，四边形EBFP是矩形，BE=PFPF=CF，BE=CF，OB=OC=AC，在OEB和OFC中，OEBOFC（SAS），故成立，（3）如图，找BC的中点G，连接OG，O是AC中点

40、，OGAB，OG=AB，AB=6，OG=3，OGAB，BHEGOH，EH：HO=2：5，BE：OG=2：5，而OG=AB=3，BE=【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的证明，比例关系等，难度较大12（2012海安县模拟）如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，D为AB边上一点（1）求证：ACEBCD；（2）设AC和DE交于点M，若AD=6，BD=8，求ED与AM的长【考点】等腰直角三角形；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题【分析】（1）根据等腰直角

41、三角形性质求出AC=BC，EC=CD，ACB=DCE=90°，求出ACE=BCD，根据SAS证出即可；（2）根据全等求出AE=BD=8，EAC=B，求出EAD=90°，根据勾股定理求出DE即可；过C作CNED于N，过A作AGDE于G，根据三角形的面积公式求出AG，根据直角三角形性质求出DN，求出NG、CN，根据AGCN得出比例式，求出MG，在AGM中，根据勾股定理求出AM即可【解答】（1）证明：ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90°，AC=BC，EC=CD，ACE=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（2）解：ACEBCD，AE=BD=8，E

42、AC=B，B+BAC=180°90°=90°，EAC+BAC=90°，即EAB=90°，在RtEAD中，由勾股定理得：DE=10，过C作CNED于N，过A作AGDE于G，AGCN，在AED中，由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，AG=，在RtCED中，CE=CD，ECD=90°，CNDE，EN=DN=DE=5，在DGA中，由勾股定理得：DG=，NG=5=，AGCN，=，=，MG=，在RtAGM中，由勾股定理得：AM=，即AM=【点评】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判

43、定等知识点的运用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，有一定的难度13（2012惠山区校级模拟）（1）等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PEAC于点E设P点运动时间为t当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，请说明理由下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题解：过Q作QF直线AC于点MPEAC于点E，QF直线AC于点MAEP=F=90°（下

44、面请你完成余下的解题过程）当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角ABC”改为“边长为a的等边ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3）若将（2）中的“等边ABC”改为“ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当ABC满足A=ACB条件时，（2）中的结论仍然成立（直接写出答案，不需要解题过程）【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例菁优网版权所有【专题】证明题；动点型【分析】（1）求出AC的值，过Q作Q

45、FAC交AC的延长线于F，根据AP=CQ=t和等腰直角三角形求出AE=PE=QF=CF，根据平行线分线段成比例定理求出DE=DF，即可求出答案；根据AAS证APE和CFQ全等，推出CF=AE，推出AC=EF即可；（2）与证法类似求出DE=DF，AE=CF=EF，推出EF=AC，代入求出即可；（3）根据的结论求出只要A=ACB时，就能推出AE=CF，即可求出答案【解答】解：（1）线段DE的长度不变，由勾股定理得：AC=10，过Q作QFAC交AC的延长线于F，QCF=ACB=A=EPA=45°，AP=CQ=t，AE=PE=QF=CF，QFAC，PEAC，QFPE，=，DE=DF=EF=（

46、EC+CF）=（EC+AE）=AC=5成立，理由是：在AEP和CFQ中，AEPCFQ，AE=CF，AC=AE+CE=CF+CE=EF，由知：DE=DF=EF，DE=AC，成立（2）与证法类似：知DE=DF，EF=AC，DE=a（3）当A=ACB时，DCF=ACB=A，在AEP和CFQ中，AEPCFQ，AE=CF，AE+EC=CF+EC，即AC=EF，由知ED=DF，DE=AC，故答案为：A=ACB【点评】本题考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点的运用，主要考查学生运用性质进行推理，能根据证明过程得出证题规律和结果规律是解此题的

47、关键，只要掌握证的规律，此题就能迎刃而解14（2012齐齐哈尔模拟）已知：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACB=ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），连接DM，可得结论：DC=CM将ADE绕点A逆时针旋转，当点D在AC上（如图二）或当点E在BA的延长线上（如图三）时，请你猜想DC与CM有怎样的数量关系，并选择一种情况加以证明【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理菁优网版权所有【分析】（1）延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出DEM=MBC，根据ASA推

48、出EMDBMN，证出BN=AD即可；（2）作BNDE交DM的延长线于N，连接CN，根据平行线的性质求出E=NBM，根据ASA证DCANCB，推出DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出CMD为等腰直角三角形【解答】解：（1）DC=CM如图二，连接DM并延长DM交BC于N，EDA=ACB=90°，DEBC，DEM=MBC，在EMD和BMN中，EMDBMN（ASA），BN=DE=DA，MN=MDBA=BC，CD=CN，DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，CMDM，DDM=DCN=45°=BCM，CMD为等腰直角三角形DC=CM；（2）DC=CM，理由：如

49、图三，连接DM，过点B作BNDE交DM的延长线于N，连接CN，E=MBN=45°点M是BE的中点，EM=BM在EMD和BMN中，EMDBMN（ASA），BN=DE=DA，MN=MD，DAE=BAC=ABC=45°，DAC=NBC=90°在DCA和NCB中，DCANCB（SAS），DCA=NCB，DC=CN，DCN=ACB=90°，DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，CMDM，DCM=DCN=45°=CDM，CMD为等腰直角三角形DC=CM【点评】本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和

50、判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大15（2012春钟祥市期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在RtABC中，A=90°，BD平分ABC，M为直线AC上一点，MEBC，垂足为E，AME的平分线交直线AB于点F（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是BDMF请你进行证明（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是BDMF请你进行证明（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是BDMF请你进行证明【考点】直角三角形的性质；垂线；平行线的判定；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】探究

51、型【分析】（1）根据角平分线的定义与四边形的内角和定理求出ABD+AMF=90°，又AFM+AMF=90°，然后证明得到ABD=AFM，然后根据同位角相等，两直线平行可得BDMF；（2）先证明ABC=AME，再根据角平分线的定义可得ABD=AMF，然后根据ABD+ADB=90°得到AMF+ADB=90°，从而得到BDMF；（3）先证明ABC=AME，再根据角平分线的定义可得ABD=AMF，然后根据AMF+F=90°得到ABD+F=90°，从而得到BDMF【解答】解：（1）BDMF理由如下：A=90°，MEBC，ABC+AME

52、=360°90°×2=180°，BD平分ABC，MF平分AME，ABD=ABC，AMF=AME，ABD+AMF=（ABC+AME）=90°，又AFM+AMF=90°，ABD=AFM，BDMF；（2）BDMF理由如下：A=90°，MEBC，ABC+C=AME+C=90°，ABC=AME，BD平分ABC，MF平分AME，ABD=AMF，ABD+ADB=90°，AMF+ADB=90°，BDMF；（3）BDMF理由如下：A=90°，MEBC，ABC+ACB=AME+ACB=90°，ABC=AME，BD平分ABC，MF平分AME，ABD=AMF，AMF+F=90°，ABD+F=90°，BDMF【点评】本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，平行线的判定，三角形的内角和定理，本题规律性较强，准确识图，准确找出角度之间的关系是解题的关键16（2012秋潮阳区期中）操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90°将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板