第一次课$2.1-2.2数列极限-函数极限

1、 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续第二章第二章 极限与连续极限与连续第二节第二节 函数的极限函数的极限第七节第七节 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限第一节第一节 数列的极限数列的极限第三节第三节 变量的极限变量的极限第六节第六节 两个重要极限两个重要极限第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量第八节第八节 函数的连续性函数的连续性第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限第第 一一 节节数列的极限数列的极限二、数列的极限二、数列的极限一、数列的定义一、数列的定义三、收敛数列的性质三、收敛数

2、列的性质一、数列的定义一、数列的定义 （P51） 2,4,8,2 ,n1 1 11,2 4 82n2n21n例如例如11, 1,1,( 1),n )1(1 n11 4( 1)2,2 3nnn )1(1nnn 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限

3、.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极

4、限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二

5、、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn二、数列的极限二、数列的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限问题问题: 当当

6、无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值是否无限接近于某一确定的数值?1( 1)1nn n. 1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它？如何用数学语言刻划它？1nx 111( 1)nnn 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限,1001给给定定,10011 n由由,100时时只只要要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有

7、, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx1( 1)lim 11nnn 此时，称数列有此时，称数列有极限，记作极限，记作 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-1 数列的极限数列的极限如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.如果一个数列有极限，我们就称这个数列是如果一个数列有极限，我们就称这个数列是收敛收敛的的.注意：注意：1. ;nnyAyA 不不等等式式刻刻划划了了与与 的的无无限限接接近近2. .N 与与任任意意给给定定的的正正数数有有关关.Ay，Aynn收收敛敛于于亦亦称称为为极极限限以以P53 第第 二二 章章 极限与连续极限与

8、连续 2-1 数列的极限数列的极限三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质 （书上未列）（书上未列） 1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 .例如例如, 1( 1 )n 虽有界但不收敛虽有界但不收敛 .数列数列3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.lim,nnxa 若若且且0a N ,N 则则nN 当当(0), 时时, 有有0nx (0). 推论推论: 若数列从某项起若数列从某项起0nx lim,nnxa 且且(0) 0a 则则(0). 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子

9、数列收敛于同一极限 .第第 二二 节节函数的极限函数的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限二、函数极限的性质二、函数极限的性质一、函数极限的定义一、函数极限的定义 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限函数函数( )yf x 随着随着 x 变化变化 f (x) 在变化在变化,x 的变化形式更复杂的变化形式更复杂.有六种不同的形式有六种不同的形式.x x x 0 xx0 xx 0 xx x 沿沿 x 轴的正方向无限变大轴的正方向无限变大.-x 沿沿 x 轴的正方向无限变大轴的正方向无限变大.x 无限接近无限接近 x0 .x 00

10、 xx x 从从 x0 的左侧无限接近的左侧无限接近 x0 .0 xx x 从从 x0 的右侧无限接近的右侧无限接近 x0 .0 xx arctanyx 1yx 1,0( )0, 01,0 xxf xxxx xysin 例子例子返回返回;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf ()xMx 正正数数 表表示示的的过过程程. .问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限1、当、当 时函数时函数 f (x) 的极限的极限x （x 沿沿 x 轴的正方向无限变大轴的正方向无限变大.） ,( ) ,x

11、f xA 当时无限接近于一个确定的常数当时无限接近于一个确定的常数 ,( ) .xf xA 则则称称时时以以 为为极极限限lim( )xf xA 记记作作例例1limxxlim arctanxx lim sinxx0 2 不存在不存在几何解释几何解释:A A MA 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限直线直线 y = A 为曲线为曲线( )yf x 的水平渐近线。的水平渐近线。 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限2、当、当 时函数时函数 f (x) 的极限的极限x （-x 沿沿 x 轴的正方向无限变大轴的正方向无限变大.） ,(

12、 ) ,xf xA 当时无限接近于一个确定的常数当时无限接近于一个确定的常数 ,( ) .xf xA 则则称称时时以以 为为极极限限lim( )xf xA 记记作作例例1limxxlim arctanxx lim sinxx0 2 不存在不存在 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限3、当、当 时函数时函数 f (x) 的极限的极限x ,( ) ,xf xA 当当时时无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数 ,( ) .xf xA 则则称称时时以以 为为极极限限lim( )xf xA 记记作作例例1limxxlimarctanxx limsinxx0 不存

13、在不存在不存在不存在x 包括包括x x 问题问题:lim( )xf xA lim( )xf xA lim( )xf xA 结论结论几何解释几何解释 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限4、当、当 时函数时函数 f (x) 的极限的极限0 ,( ) ,xxf xA当当时时无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数0 ,( ) .xxf xA则则称称时时以以 为为极极限限0lim( )xxf xA 记记作作例例2limsinxx01limxx0lim( )xf x1 不存在不存在0 xx00 xx 1,0( )0, 01,0 xxf xxxx x以任何方以任何

14、方式接近式接近x0不不存存在在几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界这表明这表明: 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限5、当、当 时函数时函数 f (x) 的极限的极限例例2lim sinxx 01limxx 0lim( )xf x 1 不存在不存在0 xx 1,0( )0, 01,0 xxf xxxx 0( ) f xx称为在点的左极限,称为在点的左极限,0().f x 记记为为1 0lim(1)xx x 从从 x0 的左侧无限

15、接近的左侧无限接近 x0 .0 xx 0 ,( ) ,xxf xA 当当时时无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数0 ,( ) .xxf xA 则则称称时时以以 为为极极限限0lim( )xxf xA 记记作作 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限6、当、当 时函数时函数 f (x) 的极限的极限例例2lim sinxx 01limxx 0lim( )xf x 1 不存在不存在0 xx 1,0( )0, 01,0 xxf xxxx 0( ) f xx称为在点的右极限,称为在点的右极限,0().f x 记记为为1 0lim(1)xx x 从从 x0 的右

16、侧无限接近的右侧无限接近 x0 .0 xx 0 ,( ) ,xxf xA 当当时时无无限限接接近近于于一一个个确确定定的的常常数数0 ,( ) .xxf xA 则则称称时时以以 为为极极限限0lim( )xxf xA 记记作作 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限问题问题1:0lim( )xxf xA 0lim( )xxf xA 0lim( )xxf xA 结论结论求其极限值。求其极限值。例例1 研究当研究当 时，下列函数的极限是否存在？若存在，时，下列函数的极限是否存在？若存在，1x ln , 1(1) ( )1,1xxf xxx 2,1(2) ( )0, 1

17、xxg xx 解解：(1)1lim( )xf x 1limlnxx 1lim( )xf x 1lim(1)xx 0 0 1 lim( )0 xf x 所以所以(2)1lim( )xg x 21limxx 1lim( )xg x 1lim0 x 0 1 11 lim( )lim( )xxg xg x 因因为为1 lim ( ) xg x所所以以不不存存在在. . 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例2证证0li

18、m( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim11x 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限问题问题2:0lim( )xxf x与与 f (x) 在在 x0 点有无定义有关吗？点有无定义有关吗？无关无关问题问题3:21,1( )10, 1xxf xxx 能说能说 f (x) 有极限或无极限吗？有极限或无极限吗？不能不能1lim( )xf x211lim1xxx 1lim(1)2xx (1)0f 例例1lim0 xx 例例01limxx 11lim1xx 问题问题4:函数在某变化过程中如果有极限，极限值唯一吗？函数在某变化过程中如果有极限，极限值唯一吗？ 唯

19、一唯一函数极限的性质函数极限的性质（P61-62）定理定理2.2 如果如果 ，而且，而且 （或（或 ），）， 则总存在一个正数则总存在一个正数 ，使当，使当 时，时， （或（或 ）。）。0lim( )xxf xA 0A 0A 00 xx ( )0f x ( )0f x 定理定理2.3 如果如果 且且 （或（或 ），）， 则则 （或（或 ）。）。0lim( )xxf xA 0A 0A ( )0f x ( )0f x 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限思考与练习思考与练习1. 若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数

20、设函数)(xf且且)(lim1xfx存在存在, 则则. a3是否一定有是否一定有1, 121,2xxxxa？ 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限总结总结1、数列的极限、数列的极限2、函数的极限、函数的极限3、三个结论、三个结论lim,nnxa lim( )xf xA lim( )xf xA lim( )xf xA 0lim( )xxf xA 0lim( )xxf xA 0lim( )xxf xA lim( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA 000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 0lim( )xxf

21、x与与 f (x) 在在 x0 点有无定义无关。点有无定义无关。会用此会用此结论求结论求分段函分段函数的分数的分段点的段点的极限极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 作业作业P90 3（3） 5 6 13数列极限数列极限左右极限左右极限几何解释几何解释: 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限直线直线 y = A 为曲线为曲线( )yf x 的水平渐近线。的水平渐近线。XXAAoxy)(xfy A返回返回.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限 第第 二二 章章 极限与连续极限与连续 2-2 函数的极限函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限