2020中考数学专题4—几何模型之隐圆问题(含答案)

1、 2020中考专题4几何模型之隐圆问题 班级 _ 姓名 _ 【模型讲解】 常见的隐E1模型有：（1）动点到定点的距凄为定长：2）四点共圜：（3）定边对定至（专题3）等. ZBAC 十 ZBDC=130 【例題分析】例1底 例299 M3 例2.在矩形ABCD中，己知肋 2沏，BC - 3cm ,现有一根长为2c加的木棒 F索贴着矩形的边 （即两个端点姑终落在矩形的边上儿 按逆时针方向滑动一間.则木燈刃的中点P在运动过程 中所围成的SS形的面祝为 _ cm2. 例3 如图，定饪弦CD在以肋为直径的OO上滑动（点C. D与点人3不重含 M是CD的中 点，过点C作CP丄43于点”若AB=8,则PM的

2、最大值是 _ 例4 如图，点/与点B的坐标分别是（1, 0）, C5, 0）点P是该直您坐标系内的一个动点 例 1如图，AB=AC=AD9 ZCBD=2ZBDC, ZBAC=W , 则ACAD的麦数为 AD=AC=AB （1使Z*PB=30的点P有 _个$ （2若点P在y轴上，且ZAPB=3Q,求漓足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时.PB 是否存在最大值？若存在.求点P的坐标：若不存在.请说 明理由- 【巩固训练 1 如图1,矩形BCD中，4B.2, AD3，点 E. F分别 Q、DC边上的点，且 F-2,点G 为EF的中点点P为BC 上一动点.则P4 + PG的最小值为 _ 2

3、 如图2,在矩形/BCD中，AB4 , AD6f 是肋边的中点.F是找段BC边上的动点，将 A5SF沿 F所左直线折叠得到 EBT,连BD .则FD的最小值是 3在平面直角坐标系中，点/的坐标为（3,0）,点为栢正半粧上的一点.点C是第一象P5内一 点，KXC-2 .设tanZBOC-w j则加的取范團是 _ 4 如图 3.往 RtAABC 中,ZC = 90 , C = 6, BC = 8,点 F 在边 AC 9 并且 CF = 2,点E为 边3C的动点，将ACEF沿直线M和折，点C落在点P处，则点P到边距蘆的最小值 是 _ 5 如0 4,四边形 ABCD 中，DC/iAB 9 5C-1,

4、ABACADl.则加的长为 _ . 6如图 5.在四边形 ABCD 中，4B=/C=XZX 若ZBAC=259 , ZCAD=759 则ZBDC=_ ZDBC= _ 7定球射门.不考虑其他因素,仅考虑射点到球门肿的张介犬小时.张角越大， 射门越好如图6 的正方形网格中，点A9 BC9 D9 E均在格点上，球员帝球沿CQ方向进攻，最好的射点在（ ） B.点 D 或点 E C线段DE （异于毘点）上一点 D线段CD （异于端点）上一点 &如GE7.己知。的査径，PQ是0的弦，PQ与不平行.R是PQ的中点.作PSI AB, QTLAB,垂足分别为S、T （SHE,芥且ZS2?r=60，则孕的

5、值磚于_ 图2 1 图4 AB 9.如图 & 若 PA=PB ZAPB=2Z*CB,AC 与 PB 交于点 D,且 PB=4PD=3,则 AD DC= 10左平页直角坐标系中.己知点 H (4, OX B (一6, 0点C是y箱上的一个动点.当ZBCA = 43。时，点C的坐标为 _ . 11,如图9, RtaBC中，ZC=90 , XC=3, BC=4,点 D在血边上，点E 是 BC 边上一点(不 与点以C重合)，且 DA=DE,则 3 的取值范匡是 _ 12如图10,在平面直角坐标系的第一象很内有一魚 B,坐标为 w) 过点作AByfe9 BC 丄x辭，垂足分别为儿C,若点P在线段

6、肋上滑动(点P可以与点/、重合)，发现使得Z0PC =45-的位置有两个，则加的取直范圈为 _ 13.左锐坤肋C中9AB=49BC=5f ZACB=45Qf将肋C绕点B按逆时针方甸贡转得到A0C. (1如图11-1,当点C：在线段C4的延长线上时，求ZCC凶的度数； (2如图1卜2,连接心“ CC若如L的面积为4,求(?：的面枳富 (3如图1卜3,点E为线段肋中点，点P是线段AC1.的动点，在3C 绕点3技逆时针方向 旋转过程中，点P的对应点是点P：,求线段 P：长度的最犬值与最小值. ? 3 14 如刃，抛物线歹=一；分一：工十3与x帕交于人B两点（点 4在点B的左侧，与y轻交于点 C. （

7、1）求点A. B的坐标； （2）若直线/过点E（4, 0）, M为直线/上的动点，当以*、B、M为顶点所作的直角三角形 有且只有三个时，求直线/的解析式. 15.5QS,直线j=-|x+3与x轴、轴分别交于B、4两点，点P是线段OB上的一动点，若能 在斜边肋上找到一点G 使ZOCP=90,设点P的坐标为 g 0）,求加的取值范囲 例 1【解AB=AC=AD9 :B, C, Z）在以.4为21心,AB为半径的圆上, :乙 CAD=2 厶 CBD.厶 BAC=2/BDC、 : ZCBD=2ZBDC, ZBAC=449 , ZCAD=2ZB&C=8 丁 . 故答案为：88- 例2【解答】解：

8、如图所示：由题亘根克直角三角形斜边上的中线尊于斜边的一半，得出P到刃点 距凄始终为1. 则木棒EF的中点P左运动过程中的轨迹为分别以乂，B, C, D为回心，15!为半径的弧， 故所围成的图形的面积为：矩形面积-4个型形面积= 6-4x驾;=0一才（心）. 故答案为：6-穴 例3【解苔】解：连按CO9 A/O, VZCPO=ZCW=90, AC, M O9 P9四点共Eh且CO为直径（E为圆心九 连按 PM 则PM为0E的一条弦，当为直経时PM最大.所以 PM=CO=4时PJ/最大.即PJ=4 例4【解答】解：（1）以肋为访，在第一象頃内作尊边三角形肋C, 以点C为圆心，SC为半径作0G 交y

9、抽于点Pi. 在优弧 APiB 上任取一点 P,如GE1,则ZAPB=丄Z-4CS=lx609 =30* 2 2 便Z加=30的点P有无歎个.畝答案为，无数. （2）当点P在*的正半粕上时， 过点C作QG 丄 A3,垂足为G如03 1. 点4（L 0）,点 B （5, 0）, .*.04=1, OB=5. :.AB=4. 点 C 为国1 心.CGI AB. :.AG=BG=AB=2. 2 ：.OG=OAAG=3. ABC是等边三角形MC=BC=肋=4. CG=VAC2-AG2=V42-22=2A- 点C的坐标为/3. VPB P： 0C 与）轴的交点，:ZAPiB=ZAP：B=30. CP 尸

10、 CA=A, CD=39 ADP2=J42.32=V7.2020中考几何模型之隐圆问题参考答案 点 C 为圆心，CQ丄PiPh :.PiD=PiD=/7. :p、（o, 2V3 西.Pi（0, 2V3W7）. 当点P在y轴的负半轴上时， 同渥可得：P3（0, 23 听 Pa （0, -2VW7）. 综上所述：满足条件的点P的坐标有： （0, 23 衙人（0, 2、/5十听入（0,2/3听.（0, 2岳听. （3）当过点X. 的0E与p紬相切于点P时，ZAPB最大. 理由：可证：/APB=ZAEH,当Z加最大时，ZAEH 最犬. 屡小即M最小时.厶最大所以当图与艳相切时，Z加最大 当点P在轴的正

11、半轴上时. 连按E4,作 EH 丄x轻，垂足为H.如图2 V0与j；轴相切于点P,:PE 丄 OP :EH丄肋.OP丄OH, ： ZEPO= ZPOH= ZEHO=9y . 囚边形 OPEH 是矩形.:OP=EH, PE=OH=3:.EA=3. VZEHA=909 , AH=2瓦4=3. A /=VEA2-AH2=V32-22=5 AOP=V5 :P（0, V5）. 当点p在紿的负半轴上时， 同淫可得:P （0, - V5）. 渥由，若点P在結的正半轴上. 左）轴的正半轴上任取一点（不与点P重合， 连按A纽沏，交OE于点N.连按 NA,如區2所示. V ZANB 是MMV 的外角， ANB Z

12、AB. 厶 APB=ZANB, :厶 APB 厶 ASiB 若点P在轴的负半轴上， 间理可证得：ZAPBZAXfB 塚上所述：当点P在J轴上移动时.厶 APB有绘大值， 此时点P的坐标为（0, V5）和（0, - V5）. 【巩固训练】答案 1解:v F-2点G为EF的中点DG“, G是以D为圆心.以1为半径的21弧上的点， 作虫关于BC的对称点4,连按AD9交BC于P,交以D为E1心. 1为半径的圆于G,此时PAtPG的值最小，最小值为才G的长I AB 2 9 AD - 3 9 AA9 4 ArD 5 9 :.MG才 D-DG5-】4： /. PA * PG的最小值为4： 故答案为4. 2解

13、：如国所示点在以E为圆心以为半径的图上运动，当B E关线时时.此时FD的 值*小.由smZ如违得：当血 图2 DChAB 9 万？: DFCB. BF2+24 根据折直的性质，SEBF 釜 4EBE . Eff 丄 BfF , :EB = EB, E是M边的中点，肋=4, :.AE = EB = 2 9 AD = 6 , :.DE = j6=，=2 顶， .BR = 2 顶-2. 3解：C在以4为E1心，以2为半径作K1周上，只有当0C与314相切（即到C点）时，ABOC 绘 小 AC29 0A3f由勾股定理得：0C-V5 , 7 ZBOA = XACO = 90 , Z50C +厶OC-90

14、S ZC.4O +厶OC90S ABOC = AOAC , tan ZBOC = tan Z.OAC oc Vs = I AC 2 随着C的移动，OC越来越大， c在第一象限， :C不到汇轴爲 即级C.taOC耳,故答案为, 75 2 4解,如图所示,当PE/AB. 左RtlABC中，v ZC -90 , FC6, BC8 由期折的性质可知：PFFC2, Z.FPE - ZC - 906. : PEHAB /. ZPDB - 90 . 由垂线段最短可知此时有最小值. 又朋为定值， :PD有最小值. 又厶ZACBADF 9 :.MFD5MBC. PD DF-FP3 22L2 5解，以川为圆心，/

15、1B长为半包作HI,延长BA 交 64于F,连按DF. FB 是0/的直径，DB = 9Q 二 BD = dBF、-DF=屈 6.【解答】解：法一：9：AB=AC=AD9 :.ZADB=ABD9 ZACB=ZABC9 ZADC=ZACD, ZA4C=25,ZCAD=159 , :ZACB= C180* - 25* )2=77.5* , ZDAB= ZDAC+ZCAB=g , ZADC= ZACD= (180s 75 ) 4-2=52.5* , A ZADB= C180* 100，)十2=40* , :ZBDC=ZADC /ADB=525。 40 =12.5 , ZDCB= ZDCA+ZACB=

16、525 +77.5 * =130, A ZZ3C= 1803 ZDCB ZBDC=8L - 130s - 12.5 =37.59 DC=25,ZDBC=3. 7.【解答】解：连BCf ACf BD, AD, AEf BEf 己知儿B. D E四点共圆，同弧所对的圆亶角相等，mZADB=ZAEB9然后KI同孤对应的 “31内危“大于13周理圆外角“小于01周角，因而射门点在皿上时介最九 射门点在D点 右上方或点E左下方时角度则会更小. 故选，C. 8【解签】锌，连结OP, OQ9 OR,如05, TA是P0的中点:OR丄P0 ：OP=OQ, ZPOR=ZQQR, TPS丄肋.ZPSO=ZPRO=

17、9Q, 点 P、S. 6 R四点在以OP为直径的a ,:ZPSR=ZPOR, 同理可得ZQTR=ZQOR, :乙 PSR= ZQTR. :. ZRST= ZRTS9 而ZSRT=609 , :.HRST为等边三角形.ZRST=60 ZRTS=609 9 : ZRPO= ZRSO=6W , ZRQO=ZRTO=6W，:M)PQ 为等边三箱形， :PQ=OP. :.AB=2PQ9 匹=丄故答案为丄. AB 2 2 9解析：本超主更考査三点共01判定和相交弦定理. 由刃=PB, PB=2 乙 ACB,可知，A, B, C三点芜固，E)心为P半径为PB由梅交弦定理 可知* AD DC= (PBPD)

18、(PB-PD)=7 10【解答】解，设线段B4的中点为E T点戏(4. 0人 B 6. 0), :.AB=1Q. E ( 1. 0). （1）如答图1所示，过点E在第二象刀作EP丄04且刃=丄 43=5,则易知“PBd 为垂素直 2 角三角形Z朋4=90 , PA=PB= 5/2； 以点P为引心，PA （或P5）长为半径作G）P,与y牠的正半璀文于点C, V ZBCA为。P的E1局走，ZBC4=丄Z8刃=45,即则点C即为所求 2 过点P作PF丄丁雜于点F, OF=PE=5, PF=1, 在 RtAPFC 中，PF=1, PC= &/2,由勾股定瑾得：CF=7PC2TPP=7 :.OC

19、=OF+CF= 5+7=12, 点C坐标为（0, 12）： C2）如答B32所示，在第3至踐可以參觅（1）作同样探作，同理求得）扮负半轴上的虑 O 坐 标为（0,12）. 综上所述，点C坐标为（0, 12）或（0,12）. 故答案为* （0. 12或（612. 11【解答】7RIA4BC 中，NC=90,AC=3, BC=4, A=AC2+BC2=5,以Z）为El心,AD的长为半径甄0D 如图1,当OD与万Ctfl切时，DE丄BC时， 设 AD=X9 则 DE= AD=X9 BD=AB AD=5 心 : ZBED=ZC=9Q,ZB 是公共角， BDEs朋 型史匕 9 解險 x=-i AB AC

20、 5 3 8 如图2.当OD与0C相交时.若文点为B或C,贝UD=Q的取值范圈是守W :s 丄 A41=4. SCBCX =-: 4 (3)如图1,过点作3D丄XC, D为垂足, :WBC为锐矩三角形点D在线段AC9 在 RtASCD 申.5D=5CXsin45t = 当卩在AC 1.运动.3P与/C垂直的时候.AABC 绕点B媒捷，使点P的对圧点P】在线段肋 上时.EPi 聂小,最小值为：EPi=BPBE=BDBE= 当P在XC上运动至点C, HABC绕点B贯转，便点P的灯应点Pi在线段AB的延上銭上时. EPL最大,12.【解答】輕： 如医3于 VOC=2, :OK=KC=近, 当EK=K

21、C=y/2f以K为圜心，KC为半径的卿与13.【整.ZCCi5=ZCiC5=459 , .ZCCiAi = ZCCiBZACiB=459 +45，=90f (2) 厶磁空如BC】， BA=BA, BC=BC“ /ABC= ZABC“ BA BA】 ZABC+乙ABCI = /KBCbZABCx BC BC ZABAi = ZCBCf :.LABAxSAADA SACBC g) -2： 最大值为* EP 产 BCBE=2+5 = 1. KI 14.解答】韬(1)令y=0,即上孑上 3=0, 8 4 解得口=4, X2=2, 、3 点的坐标为/! -4, OX B (2, 0). (2)抛物线y= 丄/x+3的对称粧是直线K= =1, 8 4 2X(峙) 即D点的横坐标杲 1, S土 CB=45 QC=9, 2 在Rtd4OC 中，C=0A2f0C2=42+32=5, 设C刀中ACL上的高为儿 则有C讪=9,解得*=垒 2