曲面的切平面与法线ppt课件

1、14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线1.假设曲面方程假设曲面方程为为( , , )0F x y z 过曲面上点过曲面上点 恣意作一条在曲面上的恣意作一条在曲面上的曲线曲线 ，(如图如图) 设其方程为设其方程为()( )()( )() ( )0 xyzF x tFy tF z t ( ),( ),( )x xty ytz zt 显然有显然有( ( ), ( ), ( )0F x ty t z t 在上式两端对在上式两端对 求导，得求导，得nTM0000(,)Mxy zlt14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nT 0000000000000, ,xyzMxtytztFxyz

2、FxyzFxyz曲曲线线在在的的切切向向量量为为法法向向量量为为0M14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线000000()( )()( )()( )0 xMyMzMFx tFy tFz t 000000(),(),(), , xMyMzMFFFxtytzt 上上式式说说明明法法向向量量n n与与切切向向量量正正交交。由于由于 的恣意性，可见曲面上过的恣意性，可见曲面上过 的任一条曲线的任一条曲线 在在该点的切线都与该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而点的切平面，而 就是就是切平面的法向

3、量。切平面的法向量。0M0Mnnl在在 点设点设 点对应于参数点对应于参数 有有0tt 0M0M14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线过过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的点的法线，其方程为法线，其方程为0M0M000000()()()xMyMzMXxYyZzFFF 该法线的一组方向数为：该法线的一组方向数为： 000(), (), ()xMyMzMFFF000000()() ()() ()()0 x My Mz MFXxFYyFZz 从而曲面在从而曲面在 点的切平面方程为点的切平面方程为0M14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线综上所

4、述假设曲面方程综上所述假设曲面方程为为( , , )0F x y z 那么该曲面在那么该曲面在 点的切平面方程点的切平面方程为为0M000000()() ()() ()()0 xMyMzMFXxFYyFZz 过过 点的法线方程为点的法线方程为0M000000()()()xMyMzMXxYyZzFFF 14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线设设 分别为曲面在分别为曲面在 点的法线与点的法线与 轴正向之轴正向之间的夹角，那末在间的夹角，那末在 点的法线方向余弦为点的法线方向余弦为, 0M,x y z0000(,)Mxyz000000000000222222222()cos()()()()

5、cos()()()()cos()()()xMxMyMzMyMxMyMzMzMxMyMzMFFFFFFFFFFFF 14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2.假设曲面方程假设曲面方程为为( ,)zf x y 容易把它化成刚刚讨论过的情形：容易把它化成刚刚讨论过的情形：( , , )( , )0F x y zf x yz 0000000(,)()(,)() ()0 xyfx yXxfx yYyZz 0000000(,)(,)1xyXxYyZzfxyfxy 于是曲面在于是曲面在 这里这里 点的切平面点的切平面方程为方程为000(,)xyz000(,)zf xy 法线方程为法线方程为14.5

6、. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线3.假设曲面方程为参数方假设曲面方程为参数方式：式：( , ),( , ),( , )xx u vyy u vzz u v 假设由方程组假设由方程组 可以确定两个函数：可以确定两个函数：( , ),( , )xx u vyy u v( , ),( , )uu x yvv x y 于是可以将于是可以将 看成看成 的函数，从而可以将问题化为的函数，从而可以将问题化为刚刚曾经讨论过的情形。刚刚曾经讨论过的情形。z, x y代入方程代入方程 ，得，得( , )zz u v ( ( , ), ( , )zz u x yv x y 因此需分别计算因此需分别计算 对对

7、 的偏导数。的偏导数。z, x y14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线zxyuuuzxyvzzxyzzxvvy 将将 分别对分别对 求导，留意到求导，留意到 为为 的函数按隐函数求导法那么有的函数按隐函数求导法那么有,u v, x y( ( , ), ( , )zz u x yv x y 解方程组，得解方程组，得( , )( , )( , )( , ),( , )( , )( , )( , )D y zD x yD z xD x yD u vD u vD u vD u vzzxy ,u v14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线法线方程法线方程于是曲面在于是曲面在 点的切平

8、面方程为点的切平面方程为0M000000( , )( ,)(,)( , )( , )( , )MMMXxYyZzD y zD z xD x yD u vD u vD u v 000000( , )( , )( , )()()() 0( , )( , )( , )MMMD y zDz xD x yX xYyZ zDuvDuvDuv 14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线例例 1 求球面求球面 在点在点 的切平面的切平面及法线方程及法线方程.22214xyz (1,2,3)解解222( , , )14F x y zxyz设设2 ,2 ,2xyzFxFyFz 那么(1,2,3)2,(1,2

9、,3)4,(1,2,3)6xyzFFF 所以在点所以在点 处处 球面的切平面方程为球面的切平面方程为(1,2,3)2(1)4(2)6(3)0 xyz 法线方程法线方程123246xyz 14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线4.曲面的夹角曲面的夹角 两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。个曲面在该点的夹角。 假设两个曲面在该点的夹角等于假设两个曲面在该点的夹角等于 90 度，那么称这两个度，那么称这两个曲面在该点正交。假设两曲面在交线的每一点都正交，那曲面在该点正交。假设两曲面在交线的每一点都正交，那么称这两曲

10、面为正交曲面。么称这两曲面为正交曲面。例例 2 证明对恣意常数证明对恣意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。2222xyz , 2222=tgxyz 14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线即即证明证明 球面球面 的法线方向数为的法线方向数为2222( , , )0F x y zxyz 2 ,2 ,2xyz ,xyz锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为2222( , , )tg0G x y zxyz 2,tgxyz 22222000000000(,) (,tg)tgxyzxyzxyz 在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积

11、000(,)xyz因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。000(,)xyz14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线解, 632),(222 zyxzyxF)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(6,4,2zyxn,6,4,2切平面方程为切平面方程为, 0)1(6)1(4)1(2 zyx, 032 zyx法线方程为法线方程为.614121 zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1) 在点632 面3222zyx椭球求例椭球面在给定点的切平面法向量为14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx14.5. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线解解设设 为曲面上的切点为曲面上的