《离散型随机变量分布》重点习题(详解)——精品文档

1、高中数学精品文档i是虚数单位，则m ni ()C. 2 iD. 2 ixB. x (0,), e x 1离散型随机变量分布重点习题1 .已知-m- 1 ni ,其中m, n是实数, 1 iA. 1 2i B. 1 2i2 .下列命题中的真命题是()A. x R,使得 sin x cosx 1.52C.x (,0) , 2x3xx (0, ),sin x cosx3.若(1 2x)5 a0 a1x a2*2 a3x3_4_5a4xa5x ,贝u aoa a3a5A.122B.123C.243D.2444 . （2019年高考数学湖北卷理科14）某射手射击所得环数 4的分布列如下:已知匕的期望曜=

2、以9 ,则y的值为.5 （2012衡阳市一中高三第一次月考）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种.（用数字作答）6. 某单位举办2010年上海世博会宣传活动，进行现场抽奖，盒中有9张大小相同的精美图片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则均为不获奖.卡片用后放回盒中，下一位参加者继续重复进行（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人回答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 ,求抽奖者获

3、奖的概率.18（n）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及E ,D 的值.7.（广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素 x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据:编R12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y满足x175,且y75时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产 的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5件产品中，随机抽取 2件，求抽取的2件产品中

4、优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。高中数学精品文档0. 5,购买乙种保险但不购买X的期望。8.(全国大纲理18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 甲种保险的概率为 0. 3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(n) X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求9. (2019年高考江西卷理科18)(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3 小时返回

5、智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令4表示走出迷宫所需的时间.(1)求 4 的分布列；(2)求 4 的数学期望.10. (2019年高考天津卷理科18)2(I)假设这名射手射击 (n)假设这名射手射击 (出)假设这名射手射击某射手每次射击击中目标的概率是百，且各次射击的结果互不影响。5次，求恰有2次击中目标的概率：5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率：3次，每次射击，击中目标得 1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记E为射手射击3次后的总得分数, 求E的分

6、布列。3高中数学精品文档参考答案1.【答案】C2.【答案】b3答案B 解析二W+口工+个一口二+能十强3 令；两式相减可得=3, - 1 = 2（a） + 十%一二3一力十%十% = 1十4.（【答案】0.4【解析】由表.格可知：工+口+ 口 3*N = g, 7xq-8x0.1 + &xC.3-klOxj =8.9【答累】306.解析：（I）c5设“世博会会徽”卡有 n张，由 eC9【解析】利用间接法= ? 一C： =35 14=5a,得n 5,故“海宝”卡有 4张，抽奖者获奖18C2的概率为-4C92_1B（4,一）的分布列为P（64 k-(k 0,1,2,3,4)；01234P0 / 1

7、 0/ 54C4() ()66C4(6)1(5)32 12 5 2C4(1) (5) 663 1 3 5 1C，丹)4 1 4 5 0C4(6) (6)(n)k)C4k12115E 4 ,D 4 (1)一63669【点评】此题第二问的关键分析出满足二项分布，从而化解计算.体现在期望和方差的计算987,5 7 357.解：(1) 14,即乙厂生产的产品数量为35件。（2）易见只有编号为2的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品故乙厂生产有大约(3)的取值为0352。p（C；0) C514（件）优等品,i)c3c2C523C；15，P(2) Ct W012P361101010所以的分布列为33

8、14的均值为E 01324.故1051058 .解析：(I) P(A)0.51(B) 03c A B,P(C) P(A B) P(A) P(B) 0.8.(II)D C, P(D) 1 P(C) 1 0.8 0.2,X B(100,0.2),即x服从二项分布所以期望EX 100 0.2 20.9 .解：(1)4的所有可能取值为：1, 3, 4, 6年=1) = 3) = 1 =4) = 1JO港所以小布列为:41346P3J661372 (小时)= 1x1+3x1+ 4 X 1+6x1 =一 -310 .【解析】（1）解：设 X为射手在5次射击中击中目标的次数，则.在5次射击中，恰有2次击中目

9、标的概率,2、140243“射手在5次射击中，有3次连续击中目（n）解：设“第1次射击击中目标”为事件40 = 12,3,4,5）；标，另外2次未击中目标”为事件 乂，则户口）-也44444）斗旦4444出）+气44旦44）(出)解：由题意可知，的所有可能取值为2Ty6MV 1尸e=o)=网44与心=有F&= 1)=尸0月区)+中但&+P口44)2 12dF0= 2)= yX-x- = -但YixfiY 气”习一拓)+产。区村)=以W =272丫 3产=6)=汽出=27所以看的分布列是401236P127294278278例3、2018唐山第一次模拟考试】某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的

10、问题进行了民意调查，右表是在某单位得到的数据(人数)：(I)能否有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(n)进一步调查：(i)从赞同“男女同龄退休”的16人中选出3人进行陈述性发言，求事件“男士的女士各至少有1人发言的概率”；(ii )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X,求X的分布列和均值.赞同反对合计男15611女11314合计16925附表:0.250.15 0, 101 *13232.0722.7062Ac)(口+6)(。+期 n+d)解:2 25X(5 X 3 6X 11)(I)K2= “ c -772-93 2.932 2.706 16X

11、9X11X14由此可知，有90%勺把握认为对这一问题的看法与性别有关.(n) ( i )记题设事件为 A,则所求概率为：p(A)C15c211C2C1111C361616根据题意,尤服从超几何分布，产(户削=不一，L 3 3.，的分布列为X0123p5211523314184耳15q1工的始值三 21281484例6、【2019哈尔滨六中一模】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组：第1组75,80),第2组80,85),第3组85,90),第4组90,95),第5组95,100得到的 频率分布直方图如图所示(1)分别求第3, 4, 5组的频率；(2)

12、若该校决定在第 3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取 6名学生进入第二轮面试，已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率;学校决定在这 6名学生中随机抽取 2名学生接受考官 D的面试，第4组中有 名学生被考官 D面试,求的分布列和数学期望.解析：(1)第3组的频率为 0.06 5第5组的频率为 0.02 5 0.10.3 ;第4组的频率为 0.04 5 0.2 ;(1)按分层抽样的方法在第 3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。 第3组共有0.3 100 30,设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件C1P(A) C8C301，学生甲和学生乙同时进入第

13、二轮面试的概率为145145可取彳1为0,1,2P( 0)C4C6615P(1)理二P( 2) C2C：15C6215的分布列为0681P2 151510151515156 015例9 (安徽理20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人 10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p，p，p，假设p，p，p互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.(I)如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后

14、顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？(n)若按某指定顺序派人， 这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q,其中q,q,q是P,P,P的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数字期望)EX ；(出)假定 p p p ,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小。解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂 情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意 识.解：(I)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1 p1)(1 p2)(1 P3)

15、,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于1 (1 P1)(1P2)(1P3)P1P2P3P1P2P2P3P3P1P1P2P3.(II )当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布列为X123Pq1(1 q1)q2(1 。)(1q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是EX 。2(1。曲 3(1 q1)(1 q2) 3 2q q? qq.(III )(方法一)由(II )的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,EX 3 2piP2P1P2.根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值下面证明：对于 P1

16、，P2, P3的任意排列q1，q2，q3,者B有3 2q q2 qq?3 2% P2 P1P2,(*)事实上 (3 2qi q2 q1q2) (3 2% P2 P1P2)2(Pi0)(P2q2)P1P2 q1q22(Piqi)(P2q2)(Pi q)P2qi(P2q2)(2 P2)(Pi qi) (1 qi)( P2 q2)(1 qi)( PiP2) (qi q2)0.即(*)成立.（方法二）（i ）可将（II ）中所求的EX改写为3 （qi q2）qiq2 qi,若交换前两人的派出顺序,则变为3 （q q2） qiq2 qi，.由此可见，当q2 qi时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii

17、 ）也可将（II ）中所求的 EX改写为3 2qi q2 qiq2,或交换后两人的派出顺序，则变为3 2qi q3 qiq3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3 q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.序综合（i） （ii ）可知，当（qi，q2，q3） （Pi，P2，P3）时，EX达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的例i0 （北京理i7）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X表示。甲组乙组9 Q 0 y 89111。（I）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（

18、n）如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。Xn的平均数）s21XiX2X2X2 III Xn方差n解：（i）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8, 8, 9, i0,所以平均数为8 8 9 i035；方差为21352/Q352G352352111s -(8)(8)(9)(10 )4444416(n)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9, 9, 11, 11;乙组同学的植树棵数是： 9, 8,9, 10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4X4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,

19、18, 19, 20, 21事件“丫=17等价于甲组选出的同学植树 9棵，乙组选出的同学植21.机8棵”所以该事件有 2种可能的结果，因此 P (Y=17) =1681111 P(Y 18) -; P(Y 19) -; P(Y 20) -;P(Y 21)-.同理可得4448所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021P1111184448EY=175 为标准A, XA为标准B,已知甲厂执行标准 A生产该产品，产品的零售价为 6元/件；乙厂执行标准 B生 产该产品，产品的零售价为 4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X156

20、78P0. 4ab0. 1且X1的数字期望EX1=G求a, b的值；(II )为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.(III )在(I)、(II )的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说 明理由.产品的等级系数的数学期望注：(1)产品的“性价比”=产品的零售价；(2) “性价比”大的产品更具可购买性.解：本小题主要

21、考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分 13分。解.()因为 EX1 6,所以 5 0.4 6a 7b 8 0.1 6,即6a 7b 3.2.b 0.11,即a b 0.5.6a 7b 3.2解得0.4aa0.3,b0.2.又由X1的概率分布列得由 a b 0.5.X2345678f0. 30. 20. 20. 10. 10. 1X2的概率分布列如下:(II )由已知得，样本的频率分布表如下:X2345678P0. 30. 20. 20. 10. 10. 1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可

22、得等级系数EX2 3P(X2 3) 4P(X2 4) 5P(X25) 6P(X2 6) 7P(X2 7) 8P(X2 8)所以8 0.13 0.3 4 0.2 5 0.2 6 0.1 7 0.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(III )乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,61.价格为6元/件，所以其性价比为 64.8. c1.2.因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为4据此，乙厂的产品更具可购买性。例13.(辽宁理19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试

23、验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共 2n小块地中，随机选 n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.(I)假设n=4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望；(II )试验时每大块地分成 8小块，即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：附：样本数据X1,X2, ,Xn的的样本方差 解：1(X1 n、2 2x)(X2x)2,(Xn X)，其中X为样本平均数.品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样

24、本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品 种？(I) X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4,且P(X 0)P(X 1)P(X 2)P(X 3)P(X 4)E(X) 01(818c8-1237035353542.701 1C84 70, c4c3 8C；35,2 2C2C4218ZT4C835C43c48-ZT4-Z-C83511C847o.(II )品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:- 1御-(403 397 390 404 388 400 412 406) 400, 8&8(32 ( 3)2 ( 10)2 42 ( 12)2 02 1 22 62 ) 57 2

25、5.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1， /ccc/c/cccccIC、x (419403412418408423400413)412,8_2 1 2_2_2_222_22_SE(72(9)20262 (4)2112( 12)212)56.8由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.26.(全国新课标理 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标

26、值，得到时下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90 , 94)94 , 98)98 , 102)102 , 106)106 , 110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90 , 94)94 , 98)98 , 102)102 , 106)106 , 110频数412423210(I)分别估计用 A配方，B配方生产的产品的优质品率;(II )已知用B配方生产的一种产品利润 y (单位：元)与其质量指标值t的关系式为2,t 94y 2,94 t 1024,t 102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X (单位：元).求X的分布列及数学期望.(以试验结果 中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)解(I)由试验结果知，用 A配方生产的产品中优质的平率为228 co=0.3100所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3 .32 10 0.42由试验结果知，用 B配方生产的产品中优质品的频率为100,所以用B配方生产的产品的优质 品率的估计值为0.42(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94 , 94,102 , 102