高中数学必修(二)期中考试试卷

1、期中检测试卷（时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1 .已知向量。=（1, m）,向量力=（一1,艰），若。力，则，等于（）A.小 B.一小 C.¥ D.乎42 .已知i为虚数单位，z=j，则复数z的虚部为（）A-2i B.2i C.2 D.-23 .已知边长为2的正方形ABC。中，E为AQ的中点，连接8旦 则星成等于（）A.-2 B.-l C.l D.24 .（2019淮北、宿州模拟）已知i为虚数单位，在复平而内，复数十的共筑复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5 .在长方形A8CO中，E为CO的中点

2、，F为AE的中点，设油=a, AD=b,则际等于（ ）3 L Bq”一手n 1.d.尹+肚6 .在ABC中，NA=120。，AB AC=2,则I肪的最小值是（）A.2 B.4 C2 小 D.127 .已知向量。=（cos e-2, sin 6）,其中6£R,则hl的最小值为（）A.l B.2 C.y/5 D.38,已知点。是ABC内一点，满足万1 + 2励=小沆，则实数机为（）A.2 B.-2 C.4 D.-4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分）9 .在ABC中，若siiFA+siMBvsiMC,则A3C的形状不可

3、能是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C钝角三角形D.等边三角形10 .设z是复数，则下列命题中的真命题是（）A.若z22。,则z是实数B.若/0,则z是虚数C.若z是虚数，则D.若z是纯虚数，则/<011 .在ABC 中，若 lga-lgc=lgsinB=-lg，la8£（0,野，则ABC 的形状可能是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形12 .定义两个非零平面向量的一种新运算咖sin S, b）,其中（a, b）表示m力的夹 角，则对于两个非零平面向量。，b,下列结论一定成立的有（）A。在力上的投影向量为osin （a, b）B.（a*b 尸+（。/

4、）2=0|2 族 pC.M（i*b）=aa）*bD.若。*。=0,则。与白平行三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1 3.i是虚数单位，则复数色=,其实部为.（本题第一空3分，第二空2分）14,已知向量。，力的夹角为仇 且匕1=2,协1=小,。力=3,贝IJ 8=.竺方 -o奈615 .（2019南宁模拟）在正方形A8CQ中，E为线段力。的中点，若沅=疝）+属，则2+ =16 .（2019.宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘 密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点

5、C, D,测得CQ=80, NAO8=135。，NBDC=/DCA = 15% ZACB= 120%则A, 8两点间的距离为.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17 .(10分)已知复数z=3+?i (,£R),且(1 +3i)z为纯虚数.求复数z；(2)若z=(2i)边，求复数w的模I.18 .(12 分)已知向量 g=(1,2), 1=(-3,4).(1)求。+力与ab的夹角；(2)若。满足c_L(a+力)，(c+o)力，求c的坐标.19 .(12分)在A8C中，设A, B,。的对边分别为小b, c,已知。=用，c=小,求ABC 周长的取值范围.20 .(12 分)设复数 z

6、】=2aiQWR),及=4-3i.(1)若Z1+Z2是实数，求Z12；(2)若日是纯虚数，求z1的共规复数.21 .(12分)已知01=2,则=4，m + 功)8一3。)=9.(1)求。与力的夹角6：(2)在ABC中，若Q="，AC=b,求3c边的长度.22 .(12 分)在ABC 中，己知 cos B4-(cos A-2sin A)cos C=0.(D求角。的余弦值：(2)若BC=小,AB边上的中线。=媳，求八4BC的面积.期中检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1 10题只有一项符合题目要求；第

7、1113题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选 对但不全的得2分，有选错的不得分)1 .已知向量g=(1,向量力=(一1,檎,若。力，则加等于()A.-3 Bl小 C.坐 D.一半答案B解析 由题意得1)= 0,=-y/3.2 .已知i为虚数单位，2=之，则复数z的虚部为()A.-2i B.2i C.2 D.-2答案D44(1 -i)4(1 -i)解析z =-=一 二 2-2i,故虚部为一2.1+i (l+i)(l -i)23已知边长为2的正方形ABC。中，E为A。的中点，连接5E,则法.或等于()A.-2 B.-l C.l D.2答案B解析 以A为原点，AB所在直线为x轴4。所在直线为

8、y轴，建立直角坐标系，则A(0.0),8(2,0)玫0,1),法二(-2,1)，例工(0 , - 1) , BE EA= - 1.4.(2019淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数十的共筑复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D11+i1 1解析由题意可得二二八.二5十»1 - 1 (1 - 1)(1 +1) 2 2则其共辗复数为3,对应的点6，-9位于第四象限.5.在长方形ABC。中，E为CO的中点，/为AE的中点，设耘=m AD=b,则就等于（ ）A.-D.%+%答案A解析 如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得标-AF

9、 - AB-恭二;6 .在ABC中，若电一检。=怆力】8=16且8£（0,之），则ABC的形状是（）B.等腰三角形D.直角三角形A.等边三角形C.等腰直角三角形答案C 解析 1g </ - 1g c = lg sin B = - lg，5 ,4 . D 一二 sin B =七.c2阳0周,吟,a2 + c2 - b2 a2 + (yflcij2 - b2'cos3二一2= 2a.(&= 2 '，cr-ljr,贝a = h , C.A = B = r712,，2BC为等腰直角三角形.7.在ABC中，N4=120。，AB AC=2,则I肪的最小值是（）A.2

10、答案B.4 C2小 D.12 C一， >> » - A1 > 解析AB AC= L4BIL4ClcosA= - BILACI=-2=>IABIlAa = 4 ,IBCI = L4C - AB=>BC2 = AC-AB2=L4C12 + AB2 + 4>2L4BIL4CI + 4= 12 ,当且仅当扇I二成I时取等号，所以I成仔2艰.8 .已知向量。=(1,小)，方=(一:，芈)，则。+力在力上的投影为()A.2 B.4 C.l D.-1答案A解析力在力上的投影为(a+b) b a b+b2 ( 2 + + 1-= b =1 二 29 .已知向量。=

11、(cos 6-2, sin6),其中6WR,则卬的最小值为()A.l B.2 C.小 D.3答案A解析因为 a = (cos 6 - 2 , sin 0) r所以=(cos 6- 2)2 + si/6 = N1 4cos 6 + 4 =由-4cos 8 ,因为 6£R ,所以-IWcosJWI ,故的最小值为67=i.10 .已知点。是A3。内一点，满足晶+ 2为=加无，3"=4，则实数】为( 3人8C /A.2 B.-2 C.4 D.-4答案D解析 由0A + 20B 二加0。导;04 += yOC ,tSyOC = 0D ,则;0A += OD ,t B , D三点共线

12、rV沆与丽反向共线，.OD mcb m-3' Saaob _ I。_ m _ 4SdABC |日）| ？ - 3 7解得m = - 4.11 .在ABC中，若sin2A+sin25<sin2C,则aABC的形状不可能是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案ABD解析 由正弦定理知，sin A二/，sin 8=治，sin C二去.： sin2A + sin2B<sin2C 可化为a2 + b2<c2 ,。2 十尻一，、2<0a2 + b2 - c2角C为钝角，A/1BC为钝角三角形.12.设z是复数，则下列命题中的真命题是（）A.若z22

13、。,则z是实数B.若&0,则z是虚数C.若z是虚数,则ED.若z是纯虚数,则z2Vo答案ABD解析 设 z =。十 bi /。，b£R , z2 - ci2 - b2 + 2xibi ,对于A ： z20f则=0 ,所以z是实数,真命题；对于B ： z2<0，则a=0 ,且工0 ,可得z是虚数,所以B为真命题；对于C ： z是虚数，则W0 ,所以/也可能是虚数，不能匕限大小，所以C是假命题；对于D ： Z是纯虚数，则4=0 ,所以z2<0 ,所以D是真命题.13.定义两个非零平面向量的一种新运算。初=3族Isin S, b),其中(a, b)表示跖I的夹 角，则对

14、于两个非零平而向量。，b,下列结论一定成立的有()A.”在力上的投影向量为“sin (.a, b)B.(a*b)2+(ab)2=laF 族户C%a*b)=CG*bD.若a*b=O,则。与力平行答案BD解析 由投影向量的定义可知，A显然不成立；(切户 + (a b)2 = lal2lftl2sin2 a r b) + kiPlZF-cos2 a r b) = a2b2,故 B 成立；，(。切)二幺族Isin a t b t (2a)b = Uallftlsin a r b),当 2<0 时不成立,故 C 不成立；由a*b=0 ,得sin (a , b) =0 ,即两向量平行z故D成立二、填

15、空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.i是虚数单位，则复数T=，其实部为.1 - 31答案i 0解析3 + i (3 + i)( 1 + 3i)1 - 3i-(l - 3i)(l +3i)3 + 9i + i + 3i210二i,其实部为0.15.己知向量。，力的夹角为6,且dl=2,则=小，a b=3,贝ij 6=答案I 解析 由题意，利用向量的夹角公式，得cos”儒二坐，又由 问。，可，e=j.16.(2019.南宁模拟)在正方形ABC。中，E为线段A。的中点，若沅=汨)+届，则2+=3-2 案 答解析*DEC = ED + DC = AD + AB ,所以2十二;十 1 二;

16、17.（2019.宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘 密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A, B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C, D,测得CQ=80, NAO8=135。，NBDC=/DCA = 15。，NAC8= 120。，则月，8两点间的距离为答案8帖解析 由已知，在AC。中，ZACD= 15。，ZADC= 150。， :.ND4c = 150,由正弦定理，得e嚅患二马二4。加回 在8CQ 中，/BDC = 15。，ZBCD= 135° f:.ZDBC = 30° .由正弦定理，得s

17、inNCBD-sin/BQC，CD-sin ZBDC 80 X sin 150：BC = sin ZCBD 二 T2= 160sinl50 = 40（*>/6-2）；在ZVIBC 中，由余弦定理得 AB2=AC2 + BC2 - 2AC BC cosZACB = 1 600（8 + 4小）十 1 600（8_ 4小）十 2X1 600（福 + 也）X（# -也）x 乙-1 600X 16+ 1 600X4= 1 600X20 ,解得A8二8即，则两目标A , B间的距离为80Vl三、解答题（本大题共6小题，共82分）18.（12分）已知复数z=3+/i （?£R）,且（1 +3

18、i）z为纯虚数.求复数z；若z=（2i）u求复数w的模kd.解 (1)(1 + 3i)(3 + mi) = (3 - 3m) + (9 + m)i ,(1+3ibz是纯虚数，3 - 3机二 0 ,且 9 十 ？ WO , /. /! = 1 f，z = 3 + i.3 + i (3 + i)(2 + i) 5 + 5i(2)w =-7 = 1 + i.2-i (2-i)(2 + i) 5：M = y)2+2 = y2.19.(12 分)已知向量。=(1,2),力=(-3,4).(1)求a+力与a-b的夹角；(2)若。满足 c_L(a+b), (c+a)/b,求 c 的坐标.解(l)Vfl =

19、(l,2) " = (-3,4).a + b = ( - 2,6),-力二(4 , - 2),/. (a + b)-(a - b)= - 20 ,十加二、/(2尸十62二2四,加二、/42十(-2)2二2小.设G十力与的夹角为6,则(a + b) (a - b) -200c°s"/从人力2X2木='2 'y.,e0,句，.,。=奈(2)设 c =(x , y),贝U c 十。二(x + 1 ,)，+ 2),yc±(a+b), (c + a)/b t-2x + 6 v = 0 , < -3(y + 2) -4(a + 1) = 0 ,

20、x= - 2,解得2即。=(-2, -1y 卜二口20 .（14分）在A4BC中，设A, B,。的对边分别为a, b, c,己知。=三，c=小,求ABC 周长的取值范雨.解由正弦定理久聂二荒二薪二2, 则AA8C 的周长为 L = a + b + c = 2(sin A + sin B)十小=2 sin A + sin(g -4)+ /=2(sin A + *cos A - |sin A)十 小= 2sin(A十三)十小.< 0<B = ?J.兀.7127r,.坐<sin(A +.,.ABC周长的取值范围是（2/，2十力.21 .（14 分）设复数 zi=2ai（a£R）, Z2=4-3i.（1）若Z1+Z2是实数，求Z12；（2）若！1是纯虚数，求z1的共貌复数.解（1）、2+Z2 = 6-（3+a）i是实数， /. 3 += 0 , a = - 3 r zi = 2 + 3i z/.ZrZ2 = (2 + 3i)(4 - 3i) = 17 + 6i.7i 2 - ai (2 - ai)(4 + 3i) (8 + 3a) + (6 - 4toi25(2)* =Z2 4-3i (4 - 3i)(4 + 3i)8 十 3a 二 0 r6 -加HO ,Q故4的共辗复数为222.（15分）已知