第三章空间向量与立体几何复习大纲

1、 第三章 空间向量与立体几何 复习大纲 姓名： 班级： 座号： 一空间向量及其运算1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算定义：空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量运算一样，运算律：加法交换律： 加法结合律：数乘分配律：运算法则：平行四边形法则、三角形法则、平行六面体法则3. 共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数，使 。

2、（3）三点共线：A、B、C三点共线<=> <=> （4）与共线的单位向量为4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。注：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,不共线，与向量,共面的条件是存在实数x,y使+（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> <=> 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使+若三向量,不共面，我们把,叫做空间的一个基底，,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四

3、点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）（3

4、）空间向量的直角坐标运算律：若，则 若，则 。若，则AB的中点坐标为 ，三角形重心P坐标为 （4）模长公式：若，则 ， （5）夹角公式： 。（6）两点间的距离公式：若，则 7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。注：向量夹角要求同起点。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即 。（4）空间向量数量积的性质： 。 。（5）空间向量数量积运算律：。 （交换律）。（分配律）。 不满足乘法结合率：二空间向量

5、与立体几何直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为1、线与线的位置关系与夹角（1）ó （2）ó （3）与的夹角： 2、线与平面的位置关系与夹角（1）ó （2）ó （3）与的夹角： 3、平面与平面的位置关系与夹角（1）ó （2）ó （3）与的夹角：先求，根据图形判断（此时）还是（此时）4、距离（1）点到直线的距离d：A为直线上一点，先求直线的方向向量与的夹角，再求，故（2）点到平面的距离 ：A为平面内一点，是平面的法向量，则（3）线面距离（线面平行）：转化为点面距离（4）面面距离（面面平行）：转化为点面距离复习

6、参考题考点1 空间向量的基本运算例1.1 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）； （2）； （3）。例1.2 已知空间四边形OABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为线段BC的中点，则A.B. C. D. 例1.3 （*）已知平行六面体中，求的长。例1.4 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值。例1.5 在空间直角坐标系中，点是点关于坐标平面的对称点，则 例1.6 （*）若两点A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19 B C. D.例1.7 （*）若向量，且与的夹角余弦为，则等于A4 B-4 C D

7、例1.8 在ABC中，已知，则 考点2 空间向量的位置关系：平行，垂直，共线，共面例2.1 （*）若向量a，b，c是空间的一个基底，则一定可以与向量p2ab，q2ab构成空间的另一个基底的向量是()AaBbCcDab例2.2 若向量与向量共线，且，则向量 例2.3 （*）已知向量（1）若，求y的值（2）若A、B、C、D四点共面，求y的值例2.4 已知空间三点A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。求以向量为一组邻边的平行四边形的第四个顶点D坐标以及面积S；若向量分别与向量垂直，且|，求向量的坐标。考点3 利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题例3.1 根据下列条件，判断相应的位置

8、关系：（1）直线的方向向量分别为，（2）平面的法向量分别为（3）直线l的方向向量为，平面的法向量为例3.2 例 已知，求平面ABC的一个法向量例3.3 （*）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，ABADAA1124.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF平面A1ED；例3.4 （*）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论例3.5 (*)如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AE=a，D、C关于AE成轴对称，将三角形DAE沿AE翻折得到,(1)若a=1，求证：平面平面(2)若直线与平面所成角小于30°，求a的取值范围。例3.6 （*）如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中