第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点

1、复变函数教案 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 河北民族师范学院数计系第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 上一章主要介绍了函数在解析点的邻域(圆)内，可以展开成通常的幂级数,但在奇点的领域内则不能，例如函数 在点 ，现在我们考虑挖去了奇点的圆环，并讨论在圆环内解析函数的级数展开。这样将得到推广的幂级数Laurent（罗朗）级数。它既可以是函数在孤立奇点去心领域内的Laurent展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。Taylor级数与Laurent级数都是研究解析函数的有力工具。第一节 解析函数的罗朗展式教学课题：第一节 解析函数的洛朗展式教学目的：1、了解

2、双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点：掌握洛朗级数的展开方法教学难点：掌握洛朗级数的展开方法教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程：1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数其中是复常数。此级数可以看成变量的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R。如果，那么不难看出，此级数在内绝对收敛并

3、且内闭一致收敛，在内发散。同样，如果，那么此级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在内收敛于一个解析函数。2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数 这里 是复常数。当级数都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。设上式中第一个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别及在内解析。又设，那么这两个级数都在圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个

4、解析函数。我们称级数为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，我们也有定理5.1 （洛朗定理）设函数f(z)在圆环：内解析，那么在D内其中，是圆是一个满足的任何数。证明：设z是圆环D内任一点，在D内作圆环，使得，这里。用分别表示圆。由于在闭圆环上解析，根据柯西定理，有，其中积分分别是沿关于它们所围成圆盘的正向取的。当时，级数一致收敛；而当时，级数一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式其中，由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解1、由于函数f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式不能写成：注解2、我们称为f(

5、z)的解析部分，而称为其主要部分。注解3、我们称为f(z)的洛朗展式。定理5.2 设洛朗级数在圆环中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在D内的洛朗展式：证明：现在把系数用g(z)计算出来。在D内任取一圆，用乘以定理中展式的两边，然后沿求积分。由于所讨论的级数在上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有这里因为上式中求和记号后各项只有在n=k时不为零，因此定理的结论成立。注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，g(z)在D内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：推论5.1 在定理5.1的假设下，

6、f(z)在D的洛朗展式式唯一的。例1、 求函数分别在圆环1<|z|<2及内的洛朗级数展式。解：如果1<|z|<2，那么利用当时的幂级数展式我们得如果，那么同样，我们有例2、 及在内的洛朗级数展式是：例3、在内的洛朗级数展式是：。例4、求函数在圆环1<|z|<3内的洛朗级数展式。解：由于1<|z|<3，那么利用当时的幂级数展式我们得，而 所以，有第二节 解析函数的孤立奇点教学课题：第二节 解析函数的孤立奇点教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4、充分理解关于本性奇点的两大定理。教学重点

7、：孤立奇点的三种类型教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗级数为工具，研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。教学过程：1、解析函数的孤立奇点：设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式其中是圆。为f(z)的正则部分，为f(z)的主要部分。例如，0是的孤立奇点。一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：2、可去奇点 如果当时n=-1,-2,

8、-3,，那么我们说是f(z)的可去奇点，或者说f(z)在有可去奇点。这是因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)。例如，0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。定理5.3 函数f(z)在内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，其中是一个复数。证明：（必要性） 由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着。（充分性） 设在内，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数M及，使得在内，那么取，使得，我们有当n=-1,-2,-3,时，在上式中令趋近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇点。推论5.3

9、设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。3.席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数在单位圆内解析，并且满足条件则在单位圆内恒有如果上述等式成立或在圆内一点出前一式等号成立则当且仅当。4.极点 下面研究极点的特征。如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么我们说是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n<-m时，那么我们是f(z)的m阶极点。按照m=1或m>1，我们也称是f(z)的单极点或m重极点。设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么在内，f(z)有洛朗展式：在这里。于是在内在这里是一个在内解析的函数，

10、并且。反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。定理5.4 设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的极点的必要与充分条件是：。证明：必要性是显然的，我们只证明充分性。在定理的假设下，存在着某个正数，使得在内，于是在内解析，不等于零，而且。因此是F(z)的一个可去奇点，从而在内，有洛朗级数展式：我们有。由于在内，由定理5.1，可以设。由此得，其中在内解析，并且不等于零。于是在内，在这里，在内解析，。因此是f(z)的m阶极点。推论5.4 设函数f(z)在内解析，那么是f(z)的m阶极点的必要与充分条件是：，在这里m是一个正整数

11、，是一个不等于0的复数。5.本性奇点 关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：如果有无限个整数n<0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。定理5.6函数f(z)在内解析，那么是f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限。例 0是函数的本性奇点，不难看出不存在。解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于；当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；当z沿虚轴趋近于0时，没有极限。6.毕卡（Picard）定理定理5.7 如果a 为f(z)的本性奇点，则对于任何常熟A 不管它是有限数还是无限数，都有一个收敛于a 的点列，使得 证略第三节 解析函数在无穷远点的性质教学课题：第三节 解析函数在无

12、穷远点的性质教学目的：1、充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态；2、掌握孤立奇点类型的判定定理；教学重点：充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态教学难点：孤立奇点类型的判定定理教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：上一节我们讨论的是孤立奇点为有限的情形，是解析函数中最简单的一种类型，在无穷远点是没有意义的。但我们可以借助上节的理论讨论本节的相关理论。教学过程：定义5.4 设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：其中系数由定理7.1中类似的公式确定。令，按照R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数，其洛朗级

13、数展式是：如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。因此（1）、如果当时n=1,2,3,，那么是f(z)的可去奇点。（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n>m时，那么我们称是f(z)的m阶极点。按照m=1或m>1，我们也称是f(z)的单极点或m重极点。（3）、如果有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。注解1、我们也称分别为级数的解析部分和主要部分。注解2、若为f(z)的可去奇点，我们也说f(z)在无穷远点解析。注解3、上一段的结论都可以推广到

14、无穷远点的情形，我们综合如下：定理5.3 设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：存在着极限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限。推论9.1 设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数，使得f(z)在内有界。定理5.4 的孤立奇点为极点的充要条件是。定理5.5 的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列链条中的任何一条成立：（1）在点 的主要部分有无穷多项正幂不等于零（2）不存在。例 在点 的去心邻域内将函数章程罗朗级数。例 问函数在z=1的去心邻域内能否展开为罗朗级数。第四节 整函数亚纯函数的概念与Schw

15、arz引理教学课题：第四节 整函数与亚纯函数教学目的：1了解整函数的概念与分类；2了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系；教学重点：整函数与亚纯函数教学难点：亚纯函数的概念及其与有理函数的关系教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：根据解析函数的孤立奇点特征，可区分出两种最简单的解析函数族，那就是整函数与亚纯函数。教学过程：1、整函数：如果f(z)在有限复平面C上解析，那么它就称为一个整函数。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。在C上，f(z)围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式：当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；当f(z)是次多项式时，无穷远点是它的n阶

16、极点；在其它情况下，无穷远点是f(z)的本性奇点，而这时称f(z)为一个超越整函数。例如等都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点。由刘维尔定理，我们有代数基本定理：任何次代数方程至少有一个根。证明：设是一个这样的代数方程。我们要证明整函数P(z)至少有一个零点。反证之，假定P(z)没有零点，那么也是一个整函数，因为所以我们有因而在全平面上有界，于是根据刘维尔定理，恒等于0，与所设矛盾，因此P(z)至少有一个零点。定理5.10 设f(z)是一个整函数，按照是可去奇点、阶极点或本性奇点，必须而且只需f(z)是恒等于常数、次多项式或超越整函数。证明：设是f(z)的可去奇点，那么为有限复数，从而f(

17、z)有界，由刘维尔定理，f(z)恒等于一个常数。设是f(z)的极点或本性奇点时，设f(z)在的主要部分是那么是f(z)-g(z)的可去奇点。因此，f(z)=g(z)+C，其中C为一个常数。定理的必要性显然成立。2、亚纯函数 定义5.6 如果函数f(z)在有限平面上除去有极点外，到处解析，那么它就称为一个亚纯函数。亚纯函数是整函数的推广，它可能有无穷多个极点。例如是一个亚纯函数，它有极点。有理函数也是一个亚纯函数，它在有限复平面上有有限个极点，而无穷远点是它的极点（当n>m时）或可去奇点（当时），在这里是复常数，m及n是正整数。定理5.11 如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点或极点，那么是一个有理函数。证明：如果无穷远点是f(z)的可去奇点或极点，那么可找到一个有限的R，使得f(z)在内解析。在上，f(z)只可能有有限