高中数学(人教版)无穷小与无穷大课件

1、第四讲 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较一、无穷小一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较定义定义 如果函数如果函数f( (x) )在某过程中的极限为零，在某过程中的极限为零，那么称函数那么称函数f( (x) )为该过程中的无穷小为该过程中的无穷小. .u例例0sinlim0 xxxsin是是0 x中的无穷小中的无穷小. .01limxxx1是是x中的无穷小中的无穷小. .

2、01lim21xx12 x是是1x中的无穷小中的无穷小. .0lim0 xxx是是0 x中的无穷小中的无穷小. .l注注1.1.必须指明自变量的变化过程必须指明自变量的变化过程2.2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外）除外）无穷小：（函数的绝对值）无限变小无穷小：（函数的绝对值）无限变小定理：定理：函数函数f( (x) )在某过程中以在某过程中以A为极限的充要条件是：为极限的充要条件是：即：即：AxfAxf)()(lim为同一过程中的无穷小为同一过程中的无穷小无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系函数函数f f( (x) )可以表示为可以表示为A

3、与该过程中的无穷小之和与该过程中的无穷小之和. .一、无穷小一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较一、无穷小一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较性质性质1同一过程中的有限个无穷小之和同一过程中的有限个无穷小之和仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .性质性质2某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .推论推论1常量与某过程中的无穷小之积常量与某过程中的无穷小之积仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .推论推论2同一过程中的有限个无穷小之积同一过程

4、中的有限个无穷小之积仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .推论推论3某过程中的无穷小的正整数次乘幂某过程中的无穷小的正整数次乘幂仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .一、无穷小一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较一、无穷小一、无穷小（一）无穷小的概念（二）无穷小的性质（三）无穷小的比较同一过程中的两个无穷小之和、差、积同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .同一过程中的两个无穷小之商是否同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中的无穷小？仍为该过程中的无穷小？u例例xxx3,2都是都是0 x中的无穷小中的无穷小

5、, ,0limlim020 xxxxx313lim0 xxx问题问题同一过程中的两个无穷小之和、差、积同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .同一过程中的两个无穷小之商是否同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中的无穷小？仍为该过程中的无穷小？u例例xxx3,2都是都是0 x中的无穷小中的无穷小. .0limlim020 xxxxx313lim0 xxx问题问题同一过程中的两个无穷小之和、差、积同一过程中的两个无穷小之和、差、积仍为该过程中的无穷小仍为该过程中的无穷小. .同一过程中的两个无穷小之商是否同一过程中的两个无穷小之商是否仍为该过程中的无穷小

6、？仍为该过程中的无穷小？u例例xxx3,2都是都是0 x中的无穷小中的无穷小. .0limlim020 xxxxx313lim0 xxx问题问题定义定义设设, ,是同一过程中的两个无穷小，且是同一过程中的两个无穷小，且00如果如果lim 0那么就说那么就说是比是比高阶的无穷小，高阶的无穷小，是比是比低阶的无穷小，低阶的无穷小，记作记作( )o 如果如果limC 0那么就说那么就说与与是同阶无穷小；是同阶无穷小；如果如果lim 1那么就说那么就说与与是等价无穷小，是等价无穷小，记作记作如果如果lim,kCk 00那么就说那么就说是是的的k阶无穷小；阶无穷小；（1）（2）（3） 无穷小与无穷大无穷

7、小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系二、无穷大二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较二、无穷大二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较定义定义1 如果函数如果函数f( (x) )在某过程中绝对值无限增大，在某过程中绝对值无限增大，则称函数则称函数f( (x) )为该过程中的无穷大为该过程中的无穷大. .定义定义2Mxf)()(limxf注注1.1.必须指明自变量的变化过程必须指明自变量的变化过程2.2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆不要把无穷大和一个很大

8、的数相混淆无穷大：（函数的绝对值）无限变大无穷大：（函数的绝对值）无限变大函数函数f( (x) )为某过程中的无穷大是指：为某过程中的无穷大是指：,0 M存在存在“一个时刻一个时刻”，使得在该使得在该“时刻以后时刻以后”恒有：恒有：记作：记作：. .不要把无穷大和极限相混淆不要把无穷大和极限相混淆定义定义)()(limxfu例例1 1记作：记作：xoyxx1lim0 xx1lim0 xx1lim0把定义中的把定义中的Mxf)(换成换成)()(MxfMxf就可得到函数就可得到函数f( (x) )为某过程中的正无穷大为某过程中的正无穷大（负无穷大）的定义（负无穷大）的定义u例例2xoyxxelim

9、0limxxeu例例3xxe10lim0lim10 xxe二、无穷大二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较二、无穷大二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较性质性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和同一过程中的有界函数与无穷大之和仍为该过程中的无穷大仍为该过程中的无穷大. .性质性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积某过程中的有限个无穷大的乘积仍为该过程中的无穷大仍为该过程中的无穷大. .二、无穷大二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较二、无穷大二、无穷大（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小二、