人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数(1)2.2对数函数导学案

1、弦.6对数与对数函数基础知识自主学习知识冋顾理消数材I要点梳理1. 对数的概念如果ax= N(a>0且1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= logaN,其中_a_ 叫做对数的底数，_N_叫做真数.2. 对数的性质与运算法则(1) 对数的运算法则如果a>0且1, M>0, N>0，那么 log a(MN )= log?M + log aN : log = log©M log aN;logaMn= nlogaM (n R)； logamMn = logaM.对数的性质alogaN = _N_; logaaN =N (a>0 且 a* 1).(3)对数

2、的重要公式换底公式:logbN =log aN log ab(a, b均大于零且不等于1)；log ab =1log ba，推广 logab log bc log cd = Jog ad.3. 对数函数的图象与性质y = x 对称.(V )(x )(V )(x )(x )(x )( )U>10<(1<1图象呼戶尸叭 W1)y-1 To191 5定义域(1)R值域(2)(0,+&=)性质(3)过定点(0")(4)当 r>0 时,y>l| 当 r<0 时,0<y<l(5)当；：0时,(X1； 当VO时小1(6)在(一a.+oq)二

3、是增函数(7)在(一兀，+8)上是 减函数4反函数指数函数y= ax与对数函数y= logax互为反函数，它们的图象关于直线I夯基释疑1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)若 log2(log3x) = log3(log2y) = 0,则 x+ y= 5.(2) 2log 510 + log50.25 = 5.2 2(3) 已知函数 f(x) = lg x, 若 f(ab)= 1，则 f(a ) + f(b ) = 2.(4) l og2x = 2log2x.(5) 当 x>1 时，logax>0.(6) 当 x>1 时，若 logax>logbx，则

4、a<b.2. (2013 课标全国 n )设 a = log 36, b= log5l0, c= log 714，则A . c>b>aB . b>c>aC. a>c>bD. a>b>c答案 D解析 a = log36=11+ log32=1+13，1 b= log510= 1 + log 52 = 1 +，1_c= log714= 1 + log72 = 1 + ，显然 a>b>c.b2lg(x+y)=2lg x2© y3. (2013浙江)已知x, y为正实数，则 A 2© x+ lg y= 2©

5、 x+ 2© yd2|g(xy)2|g x 2|g y答案 D解析2lg x2lg y2Ig x+lg y-2lg(xy).故选 D.4 .函数f(x)- log5(2x+ 1)的单调增区间是1答案(2,+s )1解析 函数f(x)的定义域为(一-,+ ),令 t = 2x+ 1(t>0).因为y-Iog5t在t (0,+ s)上为增函数,1t- 2x+ 1在(2, + m)上为增函数，1所以函数y= Iog5(2x+ 1)的单调增区间是(2, + m).5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0 , +s )上为增函数,0,则不等式f(log£x)>08的解

6、集为.答案 0, 2 U (2,+s ) 解析/ f(x)是R上的偶函数,它的图象关于y轴对称. f(x)在0 ,+s)上为增函数, f(x)在 (由f1 -由f 3 -1s , 0上为减函数，o，得 f - 30.1 1亠 1 1 -f(log8x)>0? Iog§x< 3或 log§x>31? x>2 或 0<x<-,2， x o, U (2, + s).题型分类深度剖析A."B.5c¥D.44433(2)已知函数log2X, x>0,f( x) x')13 + 1, xw 0,则 f(f(1) +

7、f(log13刁的值是( )A. 5B . 3C.1d-7思维启迪(1)利用对数的定义将x -=log43 化成 4x-3 ；题型一对数式的运算【例1】(1)若x= log43，则(2x 2x)2等于利用分段函数的意义先求f(1)，再求f(f(1);1f(iog 3可利用对数恒等式进行计算.答案(1)D(2)A解析 (1)由 x= log43，得 4x = 3, 即 2x = 3,2-x=¥，所以(2X- 2-X)2= (23)2= |.(2)因为 f(1) = log2l = 0,所以 f(f(1) = f(0) = 2.1 1 1因为 log 3<0,所以 f(log 3)

8、= 3 - log32 + 1=3log32 + 1 = 2+ 1= 3.1所以 f(f(1) + f(log3) = 2+ 3= 5.换底公思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式.If1 X X4跟踪训练1已知函数f(x)=$ '2尸 ' 则f(2+ log23)的值为.、f(x+ 1 ) x<4,1答案1解析因为2+ log23<4 ,所以 f(2 + log23) = f(3 + log23),而 3 + log23>4 ,1 1 1所以 f(3 + log2

9、3)=(刁3+ log23=()log 23=亠丄=丄8324.题型二对数函数的图象和性质【例2】(1)函数y = 2log 4(1 - x)的图象大致是(2= f(log47),( )已知f(x)是定义在( 8,+ )上的偶函数，且在(汽 0上是增函数，设a b= f(log 1 3), c= f(0.2 °"),贝U a, b, c 的大小关系是A. c<a<bB. c<b<aC. b<c<aD. a<b<c思维启迪结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中

10、间值可达到目的.答案(1)C(2)B解析 (1)函数y= 2log4(1 x)的定义域为(一a, 1)，排除A、B ;又函数y= 2log4(1 x)在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log 1 3= log 23 = log49,2b= f(log ! 3) = f( log49) = f(log 49),2Iog47<log49,0.2一0.6 = g 一|= >32= 2>log49,又f(x)是定义在(a,+m )上的偶函数，且在(a, 0上是增函数，故f(x)在0，+ a)上是单调递减的，0 6 f(0.2- . )<f(log 1 3)<f(lo

11、g47)，即 c<b<a.2思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的 思想.七(1)已知 a= 21.2, b= 1 0.8, c= 2logi2，则 a, b, c 的大小关系为()A . c<b<aB . c<a<bC. b<a<cD. b<c<a(2)已知函数 f(x) = loga(x+ b) (a>0 且 a 1)的图象过两点(一1, 0)和(0,1)，则 a=b=.答案(1)A(2)22解析(1

12、)b=-0.8 = 20.8<21.2= a,c= 2logi2= logi22<logil= 1<20.8 = b,故 c<b<a.(2)f(x)的图象过两点(一1,0)和(0,1).则 f( 1) = loga( 1 + b) = 0 且 f(0) = loga(0 + b)= 1,b 1 = 1b= 2，即彳.b= aa= 2题型三对数函数的应用例 3 已知函数 f(x)= loga(3- ax).(1) 当x 0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数 a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1?如果存

13、在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手.解 / a>0 且 1,设 t(x)= 3 ax,则t(x) = 3 ax为减函数，x 0,2时，t(x)最小值为 3 2a,当x 0,2时，f(x)恒有意义， 即x 0,2时，3 ax>0恒成立.33 2a>0a<2又 a>0 且 1, a (0,1) U 1, | .(2)t(x) = 3 ax, / a>0 , 函数 t(x)为减函数， f(x)在区间1,2上为减函数，二y= logat为增函数，3a<2 a&

14、gt;1 , x 1,2时，t(x)最小值为 3 2a, f(x)最大值为 f(1) = loga(3 a),，即3 2a>03a= 2lloga 3 a = 1故不存在这样的实数 a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1. 思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a (0,1)，还是a (1, +);确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义 域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.乐金门 W已知 f(x) = log4(4x 1).(1) 求f

15、(x)的定义域；(2) 讨论f(x)的单调性；1求f(x)在区间2, 2上的值域.解(1)由 4x 1>0 ,解得 x>0,因此f(x)的定义域为(0,+ a).(2)设 0<X1<X2,则 0<4* 1<4X2 1,因此 Iog4(4x1 1)<log4(4x2 1)，即 f(X1)<f(x2),故f(x)在(0 ,+s )上递增.1(3)f(x)在区间£, 2上递增, 又 f(1) = 0, f(2) = log4l5,1 因此f(x)在【2, 2上的值域为0, log 415.鼻频小善点1禾U用函数性质比较幕、对数的大小典例：(1

16、5 分)(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c= log°.30.2,则 a,b,c 的大小关系是()A. a>b>cB. a<b<cC. b<a<cD. a<c<b巳知円侧A. a>b>cB . b>a>cC. a>c>bD. c>a>b已知函数y= f(x)的图象关于y轴对称，且当 x ( ,0)时，f(x) + xf' (x)<0成立，a =0 2 0 2(2 . ) f(2 . ), b = (log n3) f(log n3), c= (log39) f(l

17、og39)，则 a, b, c 的大小关系是(A . b>a>cc>a>bC . c>b>aD .思维启迪(1)利用幕函数a>c>by = x0.5和对数函数y= logo.3X的单调性，结合中间值比较a, b, c的大小;10化成同底的指数式，只需比较Iog23.4、Iog43.6、 log30.3= logs?的大小即可,可以利用中间值或数形结合进行比较;先判断函数$(x)= xf(x)的单调性，再根据20.2, log n3, log39的大小关系求解.解析 根据幕函数y= x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10

18、.5= 1,即 b<a<1;根据对数函数y= log°.3X的单调性，可得Iog0.30.2>log°.30.3= 1,即所以b<a<c.(2)c=()k*830 3 =5廖 =5却弓.5*方法一在同一坐标系中分别作出函数 y= log2x, y= logsx, y =log4x的图象，如图所示.由图象知：10 log23.4>log3 3 >log43.6.方法二/ log3-；0>log33= 1，且乎<3.4,log3130<iog33.4<log23.4., 10-log43.6<log 44

19、= 1, Iog33>1,.,10-Iog43.6<log 3-3.,10-Iog23.4>log 3§>log436由于=5为增函数，5唏集>51翊詈>5險吧 即尹如>(丄)魄咖>5W故a>c>b.5因为函数y= f（x）关于y轴对称，所以函数 y= xf（x）为奇函数.因为xf(x)' = f(x) + xf' (x),且当 x (8, 0)时, xf(x)' = f(x) + xf' (x)<0,则函数 y= xf(x)在(8, 0)上单调递减；因为y= xf(x)为奇函数，所以当

20、x (0,+ 8)时，函数y= xf(x)单调递减.因为 1<20.2<2,0<log n3<1 , Iog39= 2,0 2所以 0<log n3<2 . <log 39,所以b>a>c,选A.答案(1)C(2)C(3)A温馨提醒（1）比较幕、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法.解题时要根据实际情况来构造相应的函数，禾U用函数单调性进行比较，如果指数相同，而 底数不同则构造幕函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 或1.思想方法感悟提高方法与技巧1.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数

21、必须是大于 0的，所以对数函数 y= logax的定义域应为x|x>0.对数 函数的单调性和 a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论.2 比较幕、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；找中间量结合函数单调性.3.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线 y= 1交点的横坐标进行判定.失误与防范1.在运算性质logaM a= alogaM中，要特别注意条件，在无M > 0的条件下应为logaM a=aog a|M|（ a N + , 且a为偶数）.2 .指数函数y= ax （a>0 ,且a丰1）与对数函数y

22、= logax（a>0,且a丰1）互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.1数的取值练出高分A组专项基础训练一、选择题1 .函数y= 2的定义域是'lg xA. x|0<x<2C. x|O<xW 2答案 DB . x|0<x<1 或 1<x<2D. x|0<x<1 或 1<xW 2了2 x>0解析要使函数有意义只需要x>0lg xm 0解得 0<x<1 或 1<x< 2,定义域为x|0<x<1 或 1<xW 2.2 .函数y= lg|x 1|

23、的图象是答案 Alg(x 1 ) x>1 解析 T y= lg|x 1| =lg(1 x) x<1 A项符合题意.13 .已知 x= In n, y= log52, z = e 2，则A. x<y<zB .z<x<yC. z<y<xD.y<z<x答案 D解析 / x= In n >lne, x>1.ty= Iog52<log5 5, 0<y<；2 111 1 -Z= e = ,e>.4 P，*.综上可得，y<z<x.设函数f (工)4.f logs ? x>0,若Uog|, .T&

24、lt;0?他)>f(-必则麴询取值觀是A . (- 1,0) U (0,1)B . ( 3 1)U (1 ,+s )C. ( 1,0) U (1 ,+3 )D . ( 3, 1) U (0,1)答案 C解析心)风一小1 或Jogsaj<0td<0?=>logl ( u)>log2 ( a)a>1 或1<a<0.5.函数f(x)= loga(ax 3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是()A . (1 ,+s )B . (0,1)C. 0，D . (3,+ )答案 D解析 由于a>0，且a丰1, u= ax 3为增函数，若函数f(x)为增函

25、数，贝U f(x) = log au必为增函数，因此a>1.又y= ax 3在1,3上恒为正， a 3>0，即即 a>3，故选 D.二、填空题1126 .计算(lg 4 lg 25) 100 2 =.答案 2011 1解析 (lg 4 lg 25)伟0 2 = (lg 而)-101=2 X 10= 20. x + 13 ，x< 0，一7 .已知函数f(x)=则使函数f(x)的图象位于直线y= 1上方的x的取值范围是Qog2X， x>0，答案x 1<xw 0 或 x>2解析 当 XW 0 时，3x+ 1>1? x+ 1>0， 1<XW

26、0；当 x>0 时，Iog2x>1? x>2， x>2.综上所述，x的取值范围为1<x< 0或Q2.答案解析当2a>1时，8 若Iog2a¥<0,则a的取值范围是21 + a log 2a<0= Iog2a1 ,1 + a21 + a2<1. T 1 + a>0,1 + a <1 + a,1 + a2 . .1 a a<0,0<a<1, - - 2<a<1.21 + a当 0<2a<1 时，/ Iog2a<0 = Iog2a1,1 + a2 1 + a . 2>

27、;1. - 1 + a>0,1 + a >1 + a,1 + aa a>0,二a<0或a>1，此时不合题意. 综上所述，a 2 1 .三、解答题9 .已知函数 f(x)= loga(x+ 1) loga(1 x), a>0 且 a* 1.(1) 求f(x)的定义域；判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集.解(1)要使函数f(x)有意义.x+ 1>0,则解得1<x<1.1 x>0,故所求函数f(x)的定义域为x| 1<x<1.(2) 由(1)知f(x)的定义域为x| 1<

28、;x<1,且 f ( x) = log a( x+ 1) log a(1 + x)=log a(x+ 1) loga(1 x) = f(x),故f(x)为奇函数.(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域x| 1<x<1内是增函数，x + 1所以 f(x)>0?>1，解得 0<x<1.1 x所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<1.1 2 110.设 x 2,8时，函数 f(x)= loga(ax) loga(a x)(a>0，且 a* 1)的最大值是 1,最小值是一,求a的值.1解 由题意知 f(x) = 2(loga

29、x+ 1)(logax+ 2)1213 21=2(log ax+ 3log ax+ 2) = 2(log aX + 2) 8.13当f(x)取最小值一8时，logaX= 又 x 2,8 , a (0,1). f(x)是关于log ax的二次函数,函数f(x)的最大值必在x = 2或x= 8时取得.卄 13211右2(loga2 + 2 8 = 1,则 a= 2 3,13M f(工)取得最时山=(2飞)r =2?2,8,舍去.卄 13211右2(loga8+ 2 8 = 1，则 a= 2,13此时f(x)取得最小值时，x=(計3=2 2 2,8，符合题意,a= 2B组专项能力提升1 .设 f(x

30、) = lg+ a是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是A . ( 1,0)B . (0,1)C.(汽 0)D.(汽 0) U (1 ,+ )答案 A解析 由f(x)是奇函数可得a = 1,1 + xf(x)= lg ，定乂域为(1,1).1 x1 + x由 f(x)<0，可得 0<<1 , 1<x<0.1 x2 .设函数f(x)定义在实数集上，f(2 x) = f(x),且当x> 1时，f(x)= ln x,则有()11A. f(3)<f(2)<f(211B. fQ<f(2)<f(3)C. f(<f(3)<f(2)D . f(2)<f(2)<f(3)答案 C2 x + x解析 由f(2 x)= f(x)知f(x)的图象关于直线 x=2= 1对称，又当x> 1时，f(x)= lnx,