人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示教案(4)

1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示教学设计【教学目标】1. 了解平面向量基本定理；2理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达【导入新课】复习引入：1. 实数与向量的积实数入与向量a的积是一个向量，记作： 入a. (1)|入a |=|入| a | ； (2)入0时，入a与a方向相同；入0时，入a与a方向相反；入=0时，入a = 0 .2. 运算定律结合律：入(卩a )=(入口 ) a ；分配律：(入+ 1 )a =入a+口 a , 入(a + b)=入a +入 b .3. 向

2、量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使b =入a.新授课阶段一、 平面向量基本定理：如果e, , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 入1,入2使a = i©+入2e2.探究：(1) 我们把不共线向量 e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a在给出基底ei、e 2的条件下进行分解；基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e , e2唯一确定的数量.二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向

3、相同的两 个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a =xi yjO 1 我们把(x, y)叫做向量a的(直角)坐标，记作ya =(x, y)O 2Oo其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，O2O 式叫做向量的坐标表示与a相等的向量的坐标也为 (x, y).特别地，i =(1,0) , j =(0,1) , 0 =(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA =a，则点A的位置由a唯一确定.设OA二xi yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y) 也就是向量OA的坐标.因此，在平面

4、直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算(1) 若 a =(xi, yj , b =(X2, y2)，则 a b = (xi 畑屮-y2),a - b =(xi -X2,yi - y?).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i、j，则 a b =(灯 y1 j) (x2i y2 j) = (x1 x2)i (yy2) j，即a b =(xX2,yi y?)，同理可得 a b =(为x?, yi - y?).(2) 若 A(xi, yi) , B(X2, y2)，则 AB = x? _y? _ yi .一个向量的坐标等 于表示此

5、向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y2) -(x 1, y1)= (x 2一 x1, y2y 1).(3)若 a = (x, y)和实数，则 a = (' x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原.来向量的相应坐标.Yj彳6 十 /设基底为i、j，则砧=人(xi + yj)=扎xi +切，即/-a =( &,扎y).D°*7例 1 已知 A(xi, yi), B(X2, y2)，求 AB 的坐标.IIIIIIII例 2 已知 a =(2, i), b =(-3, 4)，求 a+b, a-b, 3a + 4b的坐标.例

6、3已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1) , B(_1, 3) , C(3 , 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点 解：当平行四边形为 ABCD寸，由AB = DC，得Di=(2，2).»(4 , 6)，当平行四边形为 DACB寸，得D3=(_6, 0).例4已知三个力F1(3 ,4),F：解:由题设F1+F+ F3=0 ,，得:即.3 2 x =0,x-5,即：4 一5 y =0,y=1.例5已知 a=(2,1),b =(3,4),解:a + b =( 2,1)+(-3,4 )a b =( 2,1 )-(-3,4 ):=(5 ,当平行四边形为ACDB寸，得坐标=(1

7、 , 5),3),2 (2 , -5), F3 (x , y)的合力 F1 + F2 + F3 =0 ,(3 , 4)+ (2 ,巧)+(x , y)=(0 , 0),- F3(-5, 1).求 a + b , a b , 3a + 4b 的坐标.求F3的3a + 4b = 3 (2,1 ) +4 (-3,4 ) = (6,3 ) + (-12,16 ) =( 6, 19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解例6已知平行四边形 ABCD的三个顶点 A B、C的坐标分别为(-2 , 1 )、(-1 , 3) ( 3, 4),求顶点D的坐标.解：设点D的坐标为(x,y ),<B =(-

8、1,3)-(-2,1) = (1,2), DC =(3生-(x,y) =(3-x,4 -y), 且AB 二 DC, (1,2) =(3-x,4 -y).即 3- x=1,4-y=2.解得 x=2,y=2.所以顶点D的坐标为(2, 2)另解：由平行四边形法则可得T T TBD BA BC=(_2-(-1),1-3) (3-(-1),4-3)=(3,-1),OD =0B BD-1,3) (3, -1)= (2,2).的坐标.解：由题设知,例7经过点M (-2,3)的直线分别交x轴、y轴于点 代B，且|弗|=：3| AM |，求点 代B代 B,M 三点共线，且 | AB|=3|AM |，设 A(x,

9、O), B(0, y)， 点M在A,B之间，则有解之得：x =3,y=3 , 点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,3).点M不在A,B之间，则有-3AM，同理，可求得点 A, B的坐标分别为(-弓,0),(0, -9).3综上，点A, B的坐标分别为(3,0),(0,3)或(丁,0) , (0, 9).例8.已知三点A(2,3), B(5,4), C(7,10)，若- AC，试求实数的取值范围，使M落在第四象限.解：设点 M (x, y)，由题设得(x -2,y -3) = (3, , J -(5,7) = (3 -5 -7),x = 3九-3, y =，-4, 要使 M 落在第四象限，则

10、 x = 3九一3 0, y =4 ： 0 , 解之得1 ： 4.呻4例8已知向量a =(8, 2), b二(3,3), c二(6,12), p二(6,4)，问是否存在实数x, y, z同时满足4444一一两个条件：(1) xa yb zc;(2) x y 1 ?如果存在，求出x, y,z的值；如果不存在，请说明理由8x 3y 6z = 6,I解：假设满足条件的实数x, y, z存在，则有丿2x+3y+12z = 4,解之得:x+ y+ z = 1.满足条件的实数1 1 12,yX,zU课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共

11、线 作业见同步练习拓展提升1.设e1, e2是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（A.e2B.e2C.D.e1，e1 + e22.设ee?是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（A.e1+ e2 禾口 e1- e2B. 3e1-2 e2 和 4 & -6 e2C.e1 +2e2 禾口 2ei + e2D.e1 +e2 和 e23.已知ei, e2不共线,a = 1 e1 + e2，b =4 ei +2 e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是（A. 1=1, B.1=2,C.1=3,D. 1 =44. 设AB =a+5b，BC =-2

12、 a+8b，CD =3a-3 b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（）A, B, D D.B,C,DA. A，B, C B.A，C, D C.5 .下列说法中，正确的是（）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； 零向量不可作为基底中的向量A.E.C.D6 .已知e，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是()二1 e-i+ 2 e2, 2为实数)可以表示该平面内所有向量；若有实数.1, 匚2 使诂 e1 + 二2 e2 = 0 ,则. 1 = .J = 0 .A.B.c.D.以上

13、都不对7.已知AM=ABC的，BC边一上的中线,若 AB = a , AC = b，则 AM =()A.1(a 一 b )B.1(a b )22C.(a + b )D.丄(a + b )228 .已知ABCDEF是正六边形，AB = a , AE = b，贝y BC =()1- - 1- -A. ( a b )b. 一 一 ( a b )2 2-1 - 1- -c. a + b d. ( a + b )2 29 .如果3 e1 + 4 e2 = a ,2 ©+3 e2 = b，其中a , b为已知向量，则 e1 = ,e2 = 10 .已知e1, e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB = 2 q +艮e2, CB = e<)+3 e2 , CD =