5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计(1)

1、第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）第五章的551 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运 用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。让学生 感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建 模的核心素养。教学目标与核心盍养课程目标学科素养L了解两角差的余弦公式的推导过程.2. 掌握由两角差的余弦公式推导岀两角和的 余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.3. 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式 的灵活运用，了解公式的正用、逆用

2、以及角的 变换的常用方法.4通过正切函数图像与性质的探究,培养学生 数形结合和类比的思想方法。a. 数学抽象：公式的推导：b. 逻辑推理：公式之间的联系：C数学运算：运用和差角角公式求值：d. 直观想象：两角差的余弦公式的推导：e. 数学建模：公式的灵活运用；教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式 教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。多媒体敎学过程教学过程设计意图核心教学素养目标(-)创设问题情境提出问题1 两角差的余弦公式如果已知任意角, B的正弦、余弦，能由此推出 + B, o-的正弦、余弦吗?下而，我们来探It cos(-)与

3、角U, B的正弦.余弦之间的关系不妨令a 2k+> k乙 如图5.5.1,设单位圆与兀轴的正半轴相交于点A ( 1 , 0 ),以兀轴非负 半轴为始边作角a, B, aB,它 们的终边分别与单位圆相交于点41(COSal Sma) , PI (COS卩，si), P(cos(a-), sn(a-).任意一个圆绕 着英圆心旋转任意角后都与原来的圆重 合，这一性质叫做圆的旋转对称性.连AIP1. AP.若把扇形OAP,绕着点0旋转B角，则点A, P分别与点 力丄，B重合.根据圆的旋转对称性可知，APAyL重合，从而，所以AP=AIPI根据两点间的距离公式，得cos(a -B)- l2+s n

4、(a /?)2=(COSa CoSjff)2+(Sina sin)2f化简得：cos(a /?)=COSa cos+sina sin当a = 2k÷ (kZ)时，容易证明上式仍然成立.所以，对于任意角a, 0有cos(a y)=cosa cos+sinasin ( C (a)此公式给出了任意角a,卩的正弦.余弦与其差角a-的余弦之间的关系,通过开门见山，提出问題，利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展 数学抽象、直观 想象的核心素 养。称为差角的余弦公式，简记作C(-).典例解析例1利用公式cos(a - /?)证明：(1 ) cos(a)= Sina ；( 2 ) COS(T

5、r-a)= COSa 证明：(1 )cos (Pa)=COS-CoSa+sin-sn? Sina2 2=O ÷ 1 ×sina=sina (2)COS(IT-a)= COSjTCOS a+sinsin Sina=(-l)×cosa + o = COSa-例2已知Sina =P a (7r), COSB =“是第三象限角，求乙丄Scos(a 一 /?)的值解：由Sina = ? a (PTr),得COSa = Sina2 = =又由COSB = -L 8是第三象限角，得丄S通过对两角 差的余弦公式的 运用，发展学生, 直观想象、数学 抽象、数学运算 等核心素养：所以

6、cos(a /?)=COSa cos+sina sin由公式cos(a-)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公 式吗？下而以公式cos(a - /?)为基础来推导其他公式.例如，比较cos(a -/?)与cos(a + /?),并注意到a + 与a - 之间的联系：a+/?=a- ( )则由公式cos(a - /?), 有 cos(a + )=cosa (/?)=COSa cos(-/?)+Sina SiTI(0)=cosa cos -Sina Sin于是得到了两角和的余弦公式，简记作C (a ÷ ) cos(a + 0)=COSa cos -Sina sin 问题探究上而得

7、到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式 五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据c (a + ) > C ( a - )及诱导公式五(或六)，推导出用任意角a , 的正弦、余弦表示Sin ( + ) , Sin ( )的公式吗？通过推导，可以得到：S m(a + ?) = SinaCOs + COSaSin,(S (a + )S m(a ?) = SinaCOs COSaSin ；(S (a - )你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从C (a± ) > S(a±)出发，推导出用任意角a,的正切表示tan(a + ?), tan(a /?)的

8、公式吗？通过推导，可以得到：tan(a + ?) = Be 如食VZI- tan atanT(a + )Z xtan a-tanMn(D =丄+切T(a - )和(差)角公式中，卩都是任意角如果令a为某些特殊角，就能得到许多有用的公式你能从和差)角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式 S(a + B), C(a + p), T (a ÷)给出了任意角a , 的三角函数值与其和角a + 0的三角函数值之间的关系为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式类似地，S(a 0), C(a - ) , T(a P)都叫做差角公式典例解析例3已知Sina = - a是第网象限角，求s

9、mQ-a),cos(f + a),tan(a-f)的值解:由Sina =-I，a是第因喙限角,得COSa =VI- Sina234所以tana =Sin aCOSa于是有sb(扌一a) =SinfCoSa-COSfSina通过其它和 差角公式的推导 和应用，发展学 生，直观想象、数 学抽象、数学运 算等核心索养：通过对典型 问題的分析解 决，发展学生数 学建模、逻辑推 理，直观想象、数 学抽象、数学运 算等核心素养：cos (-+ ) = COS - COS sin - Sin a = -×-× (-)=；4/442S2VS IOtan ( 耳= EYt = t- a1 =

10、 - = -74/1+ tan atan-1+ tana1+(-)由以上解答可以看到，在本题条件下有SinQ-a) =COSg +a).那么对于任意角a,此等式成立吗？若成立，你会用几种 方法予以证明？例4 利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1 ) sin72ocos42o- cos72osin42o;(2 ) cos200cos700- sin20osin70o:)l+tanl5* I-Canl5,'分析：和、差角公式把a±的三角函数式转化成了 a ,卩的三 角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角 函数式化简.解：(1 )由公式S (a - ),得Si

11、n72畑42。- COS72。抽42当皿72。- 42。)=Sin30。W(2) 由公式C (a+ ),得cos200cos700- sin20osin70c= cos(200+700)=cos900=0(3) 由公式 T (a+ )及tan45c, = 1.得緒-=NP如。+ 15。Han 60。诺三、当堂达标1 CoS 650CoS 35o+sm 650SIn 35。等于（）A. CoS 100oB. Sm 100oC.芈D. |【解析】原式=COS（65。一35。）=COS 30。=芈【答案】C2已知a是锐角，Slna=|,则cos（+a）等于（）AB边C -亚D逸A 106 10555

12、通过练习巩固本 节所学知识，巩 固对和差和差距 角公式的运用， 增强学生的直观 想象、数学抽 象、数学运算、【解析】 因为是锐角，Slna=|, 所以COSa 5，所以s(4÷)-×5 老啓 需故选B.逻辑推理的核心素养。【答案】B3.已知锐角, 0满足COSa=|, cos(a+Q=备，贝J COS 等于()33C33 - 54r54A- 65B- 65 c 75D- -75【解析】 因为a, 0为锐角,cosa=|» cos(a+j)=-春,4io所以 Sma=M sn(a+Q=言.所以 COS 8=cos(a+0) a = COS(CC÷y9) COs a+sn(a+0) sin a=+12.4 3313%一65故选A【答案】A,M W 3ta 15°4计算lln 15。一r . j.r _ 羽 tan 150 tan 60o-tan 15o【解析】1+伍如15。一l+tan60l5°一心丿一 1【答案】15.已知,"均为锐角，Slna-£, cos0斗?，求a .【解】 a, 0均为锐角,Sina-COS-y,. 3T25.snip JQ » COS a弓 l.V Sin a<si