圆周运动脱轨和临界问题(教案)

1、圆周运动脱轨和临界问题（教案）竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型一、两种模型模型1:“轻绳类”3 / 9图1图2绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，Vo阿(2)小球能通过最高点的条件：v刷，当v同时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：v内R,实际上球还没

2、到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.模型2:“轻杆类”3所示，(小球在圆环轨有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”，如图4所示，):(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度vo0(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当v0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N,其大小等于小球的重力，即Nmg;22当0v/gR时，因mgNm,则Nmgm.RR轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mgN0.当v"乐时，N0;22当v而R时，则mgNm-,即Nmmg,杆与绳不同，在最高点

3、,杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零小结如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度vw4质(应根据具体情况具体分析).另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体.、两种模型的应用【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v临界

4、JRg ,根据机械能守恒定律得 mgh mg5把V临界 晒代入上式得：-R.【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中, 负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球, 小球恰能通过半径为 R的竖直圆形轨道的最高点图5一个带从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用：电场力FqE,方向竖直向上；重力mg；弹力N,方向竖直向下.由向心力公式，有vBmgNqEm要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率2Vb为临界速度，临界条件是N0.由此可列出小球的临

5、界状态方程为mgqEmR1一根据动能7E理，有（mgqE）（h2R）mvB25解之得：hmE-R2说明把式中的mgqE换成mvt,较容易求出hm®5RR2【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率vB为临界速度，临界条件是N 0.由此可列出小球的临界状态方程为:根据动能定理，有（

6、mg qE） （h122R) mvB 225小结 上因为电场由上述二式解得：hmin5R2图6述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么？力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关.我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度g/比例1中的重力加速度g减小，例3中的“等效重力加速度g2”比例1中的重力加速度g增大.例2中V临界内7，mg1 h例3中V临界jRg2 , mg2 h1 mg1 2R - my1'临界；把V临界代入各自对应的式子,mg2结果【例4】如图7所示，一个带正电2R二mv旧界 2mg、mg2分别

7、都约去了，故hminq、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为 R的竖直圆形轨道的最高点 B（圆弧左半部分加上垂直纸面向外 的匀强磁场），问点A的高度至少应为多少 ？【解析】此题属于“轻绳类”， 题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最 高点B ,说明小球此时处于临界状态，其速率VB为临界速率，临界条件是 N 0,由此可列出小球的临界状态方程为mg qvB B m2Vbmgh mg 2RR1 mv2由式可得：VbR2mqB2 4m2g(qB) £因Vb只能取正值,VbR2 4m2 g2m qB /qB)Rhmin2R £2 Ir

8、 28m gqB 2/ 2,、2 4m gSB) R9【例5】如图8所示,在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B（圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场）,问点A的高度h至少应为多少？圆周运动脱轨和临界问题(教案)【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B,说明小球此时处于临界状态，其速率vB为临界速率，临界条件是N0,由此可列2出小球的临界状态方程为mgqvBBqEmR.12(mgqE)(h2R)mvB2由式可得：vBqBi(qB)2-4m(mgqE)2

9、mR因Vb只能取正值，即Rrr、24m,L、VbqB(qB)(mgqE)2m.RR224m则hmin2R-qB(qB)(mgqE)8m(mgqE)R小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是N0.【例6】如图9所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E5.0103V/m.一不带电的绝缘小球甲，以速度Vo沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m1.0102kg,乙所带电荷量q2.

10、0105C,g取10m/s2.(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)(1)甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D,求乙在轨道上的首次落点到B点的距(2)在满足(1)的条件下。求的甲的速度v0；(3)若甲仍以速度Vo向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围.图9【解析】(1)在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为vD,乙离开D点到达水平轨道的时间为t,乙的落点到B点的距离为x,则mgqEm组2R1(mgqE)t2R2mxVDt联立得x0.4m(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、达，根据动量守恒定律和机械能守恒定律

11、有mvomwmv乙1 mv21mv2-mv22 22联立得牝Vo1c1C由动能7E理，得mg2RqE2R_mv：_mv：22联立得v0J5mgEq)R2pm/s.m(3)设甲的质量为M,碰撞后甲、乙的速度分别为VM、Vm,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有Mv0MvMmvm121212cMv0Mvmmvm222联立得v2Mv00Mm由O和M>m,可得v0<vm<2v)设乙球过D点时速度为vD,由动能定理得1'212mg2RqE2RmvDmvm的22联立Q2得2m/s<vd<8m/s设乙在水平轨道上的落点距B点的距离x',有xvDt联立G4(15得：

12、0.4m<x<1.6m【例7】如图10所示，杆长为L,一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动.g10m/s2求：(1)小球在最高点A的速度va为多少时，才能使杆和小球m的作用力为零？(2)小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度分别是多少？若m0.5kg,L0.5m,vA0.4m/s,则在最高点A和最低点B,杆对小球m的作用力【解析】此题属于“轻杆类”.若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向2心力仅由重力mg提供，根据牛顿第二定律，有：mgm申解得vAgL(2)若小球m在最高点A时，受拉力F,受力如图

13、11所示，由牛顿第二定律，有2Fmgm£解得vJgL-FLTgTm2若小球m在最高点A时，受推力F,受力如图12所示，由牛顿第二定律，有：mgFm申解得：V2JgL旦JgLm可见Va麻是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.杆长L0.5m时，临界速度v0值2.2m/s,2VaO.4m/s<Vo,杆对小球有推力Fa,有mgFam/,则Fa4.84N.由A至B只有重力1C1C做功，机械能寸恒.设B点所处水平面为参考平面，则-mvAmg2L-mvB,22解得vBqv；4gL4.5m/s.2在最低点B，小球m受拉力fb,由Fbmgm,2解得FBmgmVB-25.3N.【例

14、8】如图13所示，光滑的圆管轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r,有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度度v0射入圆管.(1)若要小球能从C端出来，初速v0多大？(2)在小王从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度v0各应满足彳f么条件？【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”1-(1)小球恰好能到达最局点的条件是vC0,由机械能守恒，初速度应满足：-mv；mg2R,2即v0j4gR.要使小千能从C端出来，需vc0,所以入射速度v0国.(2)在小千从C端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：刚好对管壁无压力，此时重力

15、恰好充当向心力，即mg由机械能守恒定律，知1mv：mg2R1mvC22联立解得：vO.5gR2对下管壁有压力，应有mgm：，相应的入射速度V。应满足"乐v°相R.2对上管壁有压力，此时应有mgm,相应的入射速度v0应满足v0再R小结本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径R(比细管的半径大得多),在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球AB,质量分别为m；、mB,沿环形管顺时针运动，当A球运动到最低点时，速度为vA,B球恰到最高

16、点，若要此时圆管的合力为零，B的速度vB为多大？6 / 9圆周运动脱轨和临界问题(教案)图14图15图16【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”.在最低点2对A球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有namAgmA当由牛顿第三定律，球A对管有向下的压力NANA,根据题意NA'NB'，即球B对对管有向上的压力Nb',球B受力情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对球B有向下的压力2Nb,Nb'Nb,对球B应用牛顿第_*定律,有：NbmfegmB，由于NaNbR联立可得Vb,jmAvA(mA1)gR.mBmB三、小球在凸、凹半

17、球上运动如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时：(1)当0v加R,小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点.(2)当v项,因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动.图17图188 / 9(3)当v刷，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动.如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要v0即可.由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最低点)的临界条件是小球速度0vVgR(或v0).【例10如图19所示，汽车质量为1.5104kg,以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m,若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少？若汽车达到临界速度时将做何种运动？水平运动位移为

18、多少？【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对2轨道压力N0,则汽车不脱离最高点的临界速度为v0,则有：mgm°-,可得v0百R;R(2)当vo/京时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度废,故做平抛运动，则-1.2一，1一R2gt,xwt,可得：x2RR.【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图20所示.已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为3d,重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.(1)求绳断时球的速度大小y和球落地时的速度大小V2.(2)问绳能承受的最大拉力多