圆锥曲线题型归纳剖析

1、圆锥曲线题型归纳剖析专题直线与圆锥曲线一、高考命题趋势1、圆锥曲线方程是历年高考命题的热点，圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是每年必考内容，多出现在选择题和填空题中，分值大约是910分。直线和圆锥曲线的位置关系，多是综合题，分值大约是1213分，考查综合能力的应用，近几年与平面向量知识相结合，体现了较强的综合性。2、选择题和填空题中，主要考查曲线的几何性质、标准方程等基础知识、基本技能、基本方法，每年都有考题。3、解答题一定有解析几何题，综合考查考生的“四大”能力，其重点是直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程，关于圆锥曲线的最值问题，考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理能力等

2、数学思想方法。4、加强探索性题型的考查力度，以平面几何知识为背景，构建了寻求轨迹的探索性问题。5、加强了与其他知识（如平面向量）的综合,体现了学科间的综合应用。二、直线和圆锥曲线的位置关系问题解决此类问题常从方程的观点出发，把直线与二次曲线的关系问题等价于直线方程与二次方程联立的方程组解的问题，即等价于消元后的一元二次方程的判别式情况。这是代数方法研究两曲线位置关系的基础。此类问题常涉及到直线被二次曲线截得的弦长问题；二次曲线上关于已知直线对称的两点问题；直线与二次曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定问题。处理以上问题常常用到：一元二次方程的韦达定理、整体思想、“设而不求、

3、间接考虑问题的思想方法和数形结合的思想方法。22例1（06湖北）设A，B分别为椭圆三色1（a,b0）的ab左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x4为它的右准线。（I）求椭圆的方程；（n）设p为右准线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线Ap,Bp分别与椭圆相交于异于a,b的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。例2（06安徽）如图，F为双曲线C：9£1a0，的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上-点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形）PF|OF(I)写出双曲线C的离心率e与的关系式；()当1时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于AB点，若|

4、AB12,求此时的双曲线方程。解析几何中的最值问题1、圆锥曲线上本身存在最值问题，如：椭圆上两点间最大距离为2a,双曲线上两点间最小距离为2a,椭圆的焦半径的取值范围为a-c,a+c,抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近。2、圆锥曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间距离公式转化为区间上的二次函数最值解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题。3、圆锥曲线上的点到定直线的距离最值解法同上，或可用平行切线法。4、点在圆锥曲线上条件下，求相关一式子的取值范围，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数（有几何意义）化为函数进行处理。5、由直线和圆锥曲线的

5、位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数满足的范围，解决方法常把所求参数作为函数，另一变元作为自变量求解。6、求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，求法有两种：代数法和几何法。7、解析几何中的定值问题：涉及圆锥曲线的定值问题；涉及直线过定点的问题例3、P、Q、M、N四点都在椭圆x2%i上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知PF与FQ共线）MF与FN共线）且PF?MF0）求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.例4（06全国）已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且AF=XFB（入>0）.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(i)证明fMAb为定值；(H)

6、设ABM的面积为S,写出S=f(»的表达式，并求S的最小值.四、求轨迹的常用方法：(1)直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法；(2)待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；(3)代入法(相关点法或转移法)：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(xi,yi)的变化而变化，并且Q(xi,yi)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示Xi、yi,再将xi、yi带入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由

7、曲线的定义直接写出方程；(5)参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消I&鹭旌点施段宜F1锹白O哦标原点，动点,满足EP/OA,FO/OP.(了)求或点P相航迹C的方程；(n)若直线i：yk(x1)与(1)中轨迹C交于M、N两点)且amAN0,求k的取值范围.41使y此rx当 l时,22例6(06江西)如图，椭圆Q:0+匕=1(ab0)ab的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点(1)求点P的轨迹H的方程(2)在Q的方程中，令a2=1+co

8、s+sin,b2=sin(0a),确定的值,原点距椭圆的右准线l最远，时，设l与x轴交点为D,一直线m绕点F转动到什么位置三角形ABD的面积最大?练习一221、(06北用)椭圆C：a2by21(ab0)的两个焦点为Fl,F2,点P在椭圆C上,且PFiF1F2JPFil4,|PF2|14.33(I)求椭圆C的方程；(II)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于a,b两点，且AB关于点M对称，求直线l的方程.、-22、(06福建)已知椭圆气y2i的左焦点为F,O为坐标原点。(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线1相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B

9、两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。练习二2，-一、1、设双曲线C：三y21(a0)与直线l：xy1相交a于两个不同的点AB.(I)求双曲线C的离心率e的取值范围：()设直线l与y轴的交点为P,且paApb1112?求a的值222、如图，点A、B分别是椭圆亲前i长轴的左、3620右端点点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上，且位于x轴的上方,PA±PF.(1)求点P的坐标；设M椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于mb,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.练习三1、(06陕西)如图，三定点A(2,1),B(0,1),C(2,1),三动点D,E,M满足AD

10、=tAB,BE=tBC,DM=tDE,tw0,1,(I)求动直线DE斜率的变化范围，(n)求动点M的轨迹方程.2、(06广东)设函数f(x)x33x2分别在Xi、X2处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB的坐标分别为(Xi,f(Xi)、(X2,f(X2),该平面上动点P满足PA?PB4,点Q是点P关于直线y2(x4)的对称点.求求点AB的坐标；(II)求动点Q的轨迹方程.解析几何选择题练习22(1)若双曲线三套1的离心率为工则两条渐ab4近线的方程为()A、 xx0b、子上0C、二上091616934D、过点(1,3)作直线l,若l经过点(a,0)和(0,b),且a,bN*,则可作出的l的条

11、数为()A、1B、2C、3D、多于3(3)半径不等的两定圆01、O2无公共点，动圆O与01、02都内切，则圆心0的轨迹是()A、双曲线的一支B、 椭圆C、 双曲线的一支或椭圆D、抛物线或椭圆(4)PX1,y1是直线L：fx,y。上的点，P2x2,y2是直线L外一点，则方程fx,yfx1,y1fx?以0所表示的直线与直线L()A、相交但不垂直B、垂直C、平行D、重合(5)平面上的动点P到定点F1,0的距离比P到y轴的距离大1,则动点P的轨迹方程为()A、y22xB、y22x和y0C、y24xD、x0y24x和y°x0(6)设坐标原点为O,抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点，则O

12、A?OB()A、34B、：C、3D、-322(7)直线x)i与椭圆人工i相交于A、B两43169点，椭圆上的点P使PAB的面积等于12,这样的点P共有()个A、1B、2C、 3D、4(8)设fxx2axb,且1f12)2f14)则点a,b在aOb平面上的区域的面积是()A、1B、1C、22D、2(9)与圆x2(y5)23相切，且纵截距和横截距相等的直线共有()A、2条B、3条C、4条D、6条(10)直线yxtan2,(?,)的倾斜角是()。A、B、55D、22(11)设双曲线、31(ab0)的半焦距为C,直ab7线L过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线L的距离为*,则双曲线的离心率为(

13、)A、2B、2或速C、3近D、2万3(12)已知二面角i的平面角为，PA,PB,A,B为垂足，且PA=4,PB=5,设A、B到二面角的棱i的距离为别为x,y,当变化时，点(“)的轨迹是下列图形中的()ABCD(13)若曲线yJx24与直线yk(x2)+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是()A、0kiB、0k9C、ik'44D、1k0(14) P2,2、Q0,1取一点R2,m使IPRI十IRQ|最小，则m=()A、1B、0C、2-1D、13(15)能够使得圆x2y22x4y10上恰好有两个点到直线2xyc0距离等于1的一个C值为()A、2B、V5C、3D、3石(16)已知圆X32

14、+y2=4和直线ymx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则|OP|-|OQ|=()A、1+m2B、告C、1m5D、10(17)在圆x2y25x内过点(5,3)有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项ai,最长弦长为品，若公差d1,1,那么n的取63值集合为()A、4、5、6B、6、7、8、9C、3、4、5D、a4、5、6->2222(18)设双曲线'%=1与白一与=1(a>abba0,b>0)的离心率分别为e、则当a、b变化时，e2看最小值是()A、4B、4亚C、近D、2(19)已知是三角形的一个内角，且sin+cos=1贝U方程x2siny2cos=1表示5

15、()A、焦点在x轴上的双曲线B、焦点在y轴上的双曲线C、焦点在x轴上的椭圆D、焦点在y轴上的椭圆(20)已知实数x,y满足3x22y26x,则x2y2的最大值是()A、9B、42C、5D、22(21)双曲线上y2in1的焦点为Fl、F2,Pn在双曲线上，且满足：PFi|PF22后花)则APFF2的面积是()A、 1B、21C、4D、2(22)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A、1条B、2条C、3条D、0条22(23)过点A(a,0)作椭圆C1：2占1的弦,ab7弦中点的轨迹仍是椭圆，记为C2,若C1和C2的离心率分别为e和e，则e和e,的关系是()。A

16、、e=e'B、 e=2e'C、2e=e'3 2x x2 y 0B、一条线D、一条线那么,/丁的C、2疾0)有公共点，C、2, 2扬(k为常k 0D、不能确定(24)在直角坐标系中，方程xy1所表示的曲线为()A、一条直线和一个圆段和一个圆C、一条直线和半个圆段和半个圆(25)已知实数X,y满足2xy50,最小值为()A、石B、乐D、2屈(26)若直线yxb与曲线x2y24(y则b的取值范围是()A、2,2B、0,2D、2,272X0,(27)当x、y满足约束条件yx,2xy数)时，能使zx3y的最大值为12的k的值为(A、一9B、9C、一12D、12(28)对于抛物线C

17、：y24x,称满足y。24X0的点MXo,y。在抛物线内部，若点MXo,y。在抛物线内部，则直线I：y0y2XXo与曲线C()A、恰有一个公共点B、恰有两个公共点C、可能有一个公共点也可能有2个公共点D、无公共点例题答案2».例1、解：(I)依题意得a=2c,工=4,解c得a=2,c=1,从而b=V3.故椭圆的方程为? ? 1.M-1N-2B-4(口)解法1:由(I)得A(2,0),B(2,0)设M(x0,y0).M点在椭圆上，.y0=：(4X02)又点M异于顶点A、B,2<X0<2,由P、A、M三点共线可以得P(4,鼻).'X02从而而=(X02)y°

18、)BP=(2)-6y).X022.bmbp=2x04Hy=(X024+3y。2).x02x02(2将代入2,化简得BM,BP=-2(2X0).,-2-X0>0,BMBP>0,则/MBP为锐角，从而/MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2:由(I)得A(2,0),B(2,0).设M(Xi,yi),N(X2,y2),则一2<xi<2,2<x2<2,又MN的中点Q的坐标为(依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差bq2mn2=(2)2+(j)21(xi4、2241AX2)2+(yiy2)2=(xi2)(X22)+yiy2(3又直线AP的方程为y=Jx2)

19、,直线BP的x12方程为y=上7仪2),x226yi 6y2x1 2 x2 2y2而点两直线AP与BP的交点P在准线x=4上,3x22)yix12(4.22.-又点M在椭圆上，则乎，即y；3(4xi2)(5于是将（4、（5代入3,化简后可得“21 .BQ MN5,(2一)(X22)0.4从而，点B在以MN为直径的圆内。例2、解：.四边形OFPM是Y），|OF|PM|c,作2双曲线的右准线交PM于H,则|PM|PH|2土，c7又e屿 |OF | | PH | oa2 c 2 c22c c e22八 a c 2a e 2 c 2 (II)当1时,ce 2 c 2a, b23瞑双曲线为22x y2

20、一 24a 3a1四边形OFPM是菱形，所以直线OP的斜率为点,则直线AB的方程为y向x2a） ,代入到双曲线方程得:又 |AB 12)48a 212砧丁由|ab60a29_2_ 2 _9x 48ax 60a0 ,.1 k2、(x1 x2)2 4x1x2解得a2 9,则 b2得:274 :22所以十g1w 4为所求。例3、解：由椭圆x221可得焦点相交于同一点F,且互相由题意弦PQ和MN垂直.二Spmqn=；|pq?mn，直线PD与MN至少有一条直线斜率存在,不妨设直线PQ斜率存在，设其为k.设P(x1,y1),Q("2),直线PQ方程为：ykx1联立方程组kx12匕1，2消去y整理

21、得-22一(2k)x2kx10,2_24k4(2k)2kx222k2k*21_2k2:PQd1k2x1x二.1k2?.(x1x2)24x1x2=2.2(1k2)k2(1)当k#0时,直线MN方程为:同理可得MN22(1k2)2.2(k21) c 1, , Spmqn PQ ? MN22.2(1 k2) 2、2(k221114(2k2j)1)k=2152(k2-2)k令Uk292得Sk仅当k=±1时，4(2u)52u2(1等号成立(2)当k=0时,，)52u,196S2,当且MN272,PQ72)S=2综合(1)和(2)知，四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为16.9例4、解：(I

22、)由已知条件，得F(0,1),A>0.设A(xi)yi),B(x2)y2),由AF=XFB)即得Xi=殴2)(-X1,1-y)=XX2,y2-1),1_yi=Xy2_1)将式两边平方并把y1=4x12,y2=4x22代入得y1=方y21解、式得y1=%y2=&且有x1x2=女22=-4加=一4,抛物线方程为y=；x2,求导得y=2x.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是11y=2x1(x一x1)+y1,y=2x2(xx2)+y2,即 丫=%它；x12,y= 3次4/.解出两条切线的交点M的坐标为(为萨，管)Xi+X2=(-2)1)4分所以FMAb=(""2

23、，-2)(,X2xi,y2_yi)=2(X22_xi2)2(4乂224'12)=0所以fMAb为定值，其值为0.7分(11)由(1)知在庆8乂中，FM±AB,因而S1=2IAB|FM|.|FM|X1+X2(丁)2+T)2111一H1+2 = >fU 人4X12+4X22+2X1X2+4因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=1的距离，所以1_.厂|AB|=|AF|+|BF|=yi+y2+2=入+2=(Jk1于是 S=2|AB|FM | =3由7rH +>2 知 S>4,且当人=1时，S取得最小值4.P') x的坐标是(X, V)例5、解：

24、(I)设点uuuuuuuiuruuu240 x )EP/OAE(1,y),FO/OPF(1,y2k：x1)处2场k20,0042k20 k2uuur uuirAM AN 0(X11) V1V220(x1 1)(X21)k2(X 1)(x2 1) 0(1k2 )x1x2(k21)(X1x2) 1 k201 k2(k21)中1k20k2k21,即 k ( 1,u/)k222例6、解：如图，(1)设椭圆Q:牧(ab0)ab上的点A(X1,y1)、B(X2,y2),又设P点坐标为P(x,y),则b2x2+a2y2=a2b2(1)yb2x2+a2y2=a2b2(2)1当AB不垂直x轴时,x1x2)由(1

25、)(2)得b2(x1一x2)2x+a2(y1一y2)2y=02y-y2bXy=-=2x1一X2ayxcb2x2+a2y2b2cx=0(3)2当AB垂直于x轴时，点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2b2cx=0一一一一一2(2)因为，椭圆Q右准线l方程是x=里，c原点距l一2的距离为由于c2=a2b2)a2=1+cos+sin)b2=sin(0-)2则工=匕詈上"=2sin(-+-)cJ1+cos24当=£时，上式达到最大值。止匕时a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=12设椭圆Q:1+y2=1上的点A(xby1)、B(x2,y

26、2),三角形ABD的面积S=2|y1|+2|y2|=a丫1y2|2.设直线m的方程为x=ky+1,代入与+y2=i中,得(2+k2)y2+2ky-1=0令 t=k2+1 i,得 4S2 =8tiy1y2=一西7，2-4 v1V2224yly2(k2+ 2)2由韦达定理得yi+y2=-24S2=(yiy2)2=(yi+y2)=1,k=0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。练习一：1、（1）因为点P在椭圆C上，所以2aPF1I|PF26,a=3.在RtZPFF2中）IF1F2加2|PF2而，故椭圆的半焦距c=5,从而b2=a2c2=4,.22所以椭圆C的方程为

27、、9=1.94(1)设A,B的坐标分别为(xi,yi)、(X2,y2).已知圆的方程为(x+2)2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(一2,1).从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1，代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为A,B关于点M对称.所以2x1x218k9k2-2.249k解得k8，所以直线l的方程为y5(x2)1,即8x-9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意)解法二：(I)同解法一.(口)已知圆的方程为(x+2)2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为(一2,1).设A,B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)

28、.由题意xix2且22江人1,9422红红194(Xi x2)(xi x2) (y1 y2)(y1 y)0e由！9因为A、B关于点M对称,所以xi+x2=4,y+y2=2,代入得=工x1x29即直线l的斜率为9,所以直线l的方程为y-1=8（x+2）,9即8x9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）2、1,F( 1,0), l :x 2.解：（I）Qa22,b21,cQ圆过点O、F,圆心M在直线x设“（2，t），则圆半径1(2)(2)由0Mlr,得“1)2t22,解得t技所求圆的方程为(x孑(y、2)29.24(II)设直线AB的方程为yk(xl)(k0),2代入y21,整理得(12

29、k2)x24k2x2k220.q直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。记A(x1,y)B(x2,y2),AB中点Ngy。),则为Xz4k22k2 1AB的垂直平分线NG的方程为yyo1(xxo).k令y0，得Xgxo kyo2k2k22k2 1 2k2 1k22k2 12 4k2Qk 0,XG0，点G横坐标的取值范围为(12,0).练习二：1、解：（I）由C与t相交于两个不同的点,2故知方程组亳y21xy1.有两个不同的实数解.消去y并整理得1a2x22a2x2a20(1,解得0 a夜且a 111a20.*4224a48a2(1a2)0.双曲线的离心率e1aJ口1.Q0a&且a

30、1aa(4，-2)U(2，) 2(H)设uur 5 uuuQ PA PB, 12e9且e近）即离心率e的取值范围是A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1).5.5(x1，y11)一(x2,y21).由此得x1一x21212由于xi,x2都是方程的根,所以-X212C 222a5 2 2a '咕+ 砥2 , 一 x22 .佰云 x2W1 a 121 a且12a21 a2a2 %289 .由a 0,所以a "60132、解（1）由已知可得点A( 6,0),F(0,4)设点P(x,y),则ap=x+6,y,Fp=x4,y,由已知可得上上1V3620(x+6)(x4)+y2

31、=0则2x2+9x18=0,x=3或x=6.由于y>0,只能x=3，于是y=?.点P的坐标是c(2)直线AP的方程是x、6y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是嘤,于是哼=m6,又60m<解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x2)2+y2=x_4x2+4+205x2=4(x999)2+15,由于6WmC6.当x=:时,d取得最小值v15练习三：1、解法一：如图，(I)设D(x°,y°),E(xe,yE), M(x, y),由AD=tAB, BE = t BC ,知(xd 2, yD1)=t( 2, -2).xd= 2t+2yD=

32、 2t+1XE= -2tyE=2t 1kDEyE -yDXE -XD2t 1 ( 2t+1) _ -2t-(-2t+2) = 12t，tG 0, 1 ,/. kDE 1, 1.(n ), DM=t DE .(x+2t 2, y+2t 1)=t( 2t+2t2, 2t-1+2t-1)=t(-25 4t 2)=( 2t,4t2 2t).x=2(12t) y=(1-2t)2x2，y=；,即x2=4y.tG0,1,x=2(12t)G2,2.即所求轨迹方程为：x2=4y,xG2,2解法二：(I洞上.(n)如图，oD=oA+aD=OA+tAB=OA+t(0BOA)=(1t)0A+t0B,oE=oB+bE=0B+tBC=OB+t(OCOB)=(1t)OB+tOC,OM=oD+dM=OD+tDE=oD+t(oEOD)=(1t)OD+tOE=(1t2)OA+2(1t)tOB+t2OC.设M点的坐标为(x,y),由OA=(2,1),OB=(0,-1),OC=(2,1)得x=(1t2)2+2(1t)t0+t2(2)=2(12t)y=(1t)21+2(1t)t(41)+t21=(12t)2消去t得x2=4y,tG0,1,xG2,2.故所求轨迹方程为：x2=4y,xW2,22、解：(I)令f(x)(x33x2)3x230解得x1或x1当x1时，f(x)0,当1x1时，f(x)0，