等差等比数列经典例题以及详细答案

1、【本讲教育信息】教学内容：等差等比数列综合应用重点、难点1. 等差等比数列综合题2. 数列与其它章节知识综合3. 数列应用题【典型例题】例1 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第 3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。解：等差数列为a d,a,a d2(a d) (a d) (a 4) 2(a d)(a d 32) a2 2 2a d a 8a 16(1)(a2 d2) 32(a d) a2(2)2 2 a 8a 1632 32d a2 3a 4d 0 代入(1)2 1d28 -(4d2) 16323d 32d640(3d8)(d8

2、)0,826d 8a 10da39亠21050此三数为2、 16、 18或一、999例2等差数列an中，印 393 ,a2 as768 , bn是等比数列，q (0,1), d 2 ,5所有项和为20 ,求:(1)求 an,bn(2)解不等式aml吨 160b2m 1解：(1 ) 2a1 3d 768/ d 6an 6 n 399b120 q 1 q10bn(滸m(am 1a2m)不等式 m 1160 2 101m(6m 393 12m 399)16 18 (m1)9m2396m16 18 (m 1)0m212m320(m 4)(m 8)0 m 4,5,6,7,8例 3 an等差，bn等比,a

3、1b10，a2b20,a1 a2,求证：an bn (n 3)解：a2b2a1dag da1i(q1)bnana1a1(n1)dad(qn 11)(n1)(q 1)ad(q1)(qn2n 3q1)(n1)(q1)a1 (q1)(qn21)(n1)a1 (q1)(qn21)/ n(q3 1)(q1)(11)*q (0,1)q10nq10*0-可编辑修改-q (1,) q 10 qn 10nN n 3 时，bn an例 4( 1 )求 Tn ；(2) SnT1T2Tn，求 Sn 。解:85a6 a74889a150a1 d21Tn中共2n 1个数，依次成等差数列T| Tn 1共有数122n二Tn的

4、第一个为a2n 121 (2n1) Tn 2n 1 (2n23)g(2n1)(2n 11) 2?2n 1n 123 222n2 2*12n3 22nSn T1Tn3(202222n 2) (232n2)4n)3世1 423(1 2n)12*n 32244n 24 2n23(2n 23)(2n1)a2n例5已知二次函数f (x)在 x2处取得最小值2(t 0)，f(1)04(1 )求y f (x)的表达式;(2)若任意实数x都满足等式f(X) g(x) anx 6xn1g(x)为多项式，n N*，试用t表示an和bn ；2 2 2(3)设圆 Cn 的方程为(X an) (y bn)rn ,圆 C

5、n与Cn 1 外切(n 1,2,3,)；rn是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn, Sn。解：( 1 )设 f(x) a(x J)2 C242由 f(1)0得 a 1f (x) x (t 2)x1(2)将 f(x) (x 1)x (t1)代入已知得:(x 1)x (t 1)g(x) anXn 1bn x上式对任意的x R都成立，取1分别代入上式得:anbn1(t1)anbn (t1且t1)n10 ,解得an1(t 1)n1 1，t 1bn1 (t 1)n(3 )由于圆的方程为(x an)2(y bn)22rn又由(2 )知anbn1，故圆Cn的圆心On在直线x又圆Cn与

6、圆Cn 1相切,故有 rnrn 12 | an1 an I.2(t1)n 1rn 1 Y 得 q rn代入1得rn、2(t1)n 1t 22 2 Sn (A Drn2)r：(q2n 1)q2 1设rn的公比为q，则rnrnq. 2(t 1)nrn 1 rn 1q-2 (t 1)1例6 一件家用电器现价 2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为 0.8%，按复利计算(每一个月的利息计入第二个月的本金)，那么12每期应付款多少？ (1.008121.1)分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息

7、之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。解析一：设每期应付款x元第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1 0.008)11元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1款连同利息之和为 x(11.0081.00811)121.008 1x1.008 1又所购电器的现价及利息之和为20001.008120.008)10元，第12期付款没有利息，所以各期付121.00812 1 12x 2000 1.008121.008 1解得 x 16 1.0081 76 元1.008 1每期应付款176元解析二：设每期付款x元，则第1期还款后欠款2000(10.008)第

8、2期还款后欠款(2000 1.008 x)1.008 x22000 1.0081.008x x第12期还款后欠款为2000121.00811(1.0081.008101)x1.008101)x第12期还款后欠款应为 012 11 2000 1.008 (1.008解得x122000 1.0081.00812 1176元1.008 1每期应还款176元例7设数列an的各项都是正数，且对任意n N都有3332a1 a2an 佝 a?a.），记Sn为数列a.的前n项和。（1 ）求证：an 2Sn an ；（2）求数列an的通项公式；（3） 若bn 3n （ 1）n 1 2a，（为非零常数，n N ）

9、，问是否存在整数，使得对任意n N都有bn 1bn 。解：（1）在已知式中，当1时,3a12 a1 a11当n 2时,3an(a1 a22an 1an)an 1 (a1a2an 1 )得a；an(2a12a22an 1 an)an 02an2a1 2a22 an 1 an2即 an 2Sn ant a11适合上式 an 2Snan(n（2 ）由（1）知,2an2Sn an(n一得anan an 1数列ana21a：12Sn 1an 1 2(Sn Sn 1) an anan an 11是等差数列，首项为1，公差为1 2an1，可得an an 1 an an 1an n(3 ) an n bn 3

10、n ( 1)n1 2an 3n ( 1)n 12n例8已知点Aa (n,an)为函数F1 : yx2 1上的点，Bn ( n,bn)为函数F2 :y x上的点，其中 n N*，设 Cnan bn(n N*)(1 )求证：数列Cn既不是等差数列也不是等比数列；(2)试比较Cn与Cn 1的大小。-22 (1)证：由已知 an1 , bnn cn an bn1假设Cn是等差数列，则必有 2C2 C1 C3(1)而 2C22( 2212)2( .52)G C3( 1111)( 3213)2.10 4由(1 )2、.52.1025 矛盾 Cn不是等差数列假设Cn是等比数列，则必有 c； G C3即(.5

11、2)2( .2 1)( -.103)6(1、5)3、2、10 即 4721 .5矛盾- Cn不是等比数列综上所述，Cn既不是等差数列，也不是等比数列(2) Cn 1. (n 1)21 (n 1)0n2Cn 1Cn,(n 1)2 1(n 1)n2 n2 1n.(n 1)2 1(n 1) 0，n21.(n 1)21Un21n、(n 1)21(n 1)Cn i 0 4 1Cn又:Cn0 CnCn 1例 9设 f (x)Xa(X 2)f (x)有唯一解,f (Xi)11003，f(Xn) Xn i(n N )(1 )求X2004的值;2 2an 1 an /-(nn(2)若 an 4009。且 bn2

12、an 1aN )，求证：bib2bn n 1 ；Xn(3)是否存在最小整数m，使得对于任意n有Xn2005成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。(1)解：由XXa(X 2)，可以化为ax(x2)2ax (2a 1)x0从而f (x)2xx 2当且仅当a 1时，x f (x)有唯一解x 0又由已知f(Xn) Xn 1得一2Xn 1Xn 21Xn 11XnXn 11Xnl(n N*)2数列 - 是首项为Xn，公差为-的等差数列x1211 n 1XnX122 (n 1)x2x1f (X1)110032X1(n 1)x12竺1-，即X1 X1210032005 Xn2 20052故 X2004

13、(n 1) 20052n 2004 bn二 b1(1(3)2004 2004证明:20042n 2004 ann 20044 4009 2n 12an2an 12anan 1(2n 1)2(2n 1)2(2n 1)(2 n 1)b211)1(12n解:2(2 n 1)(2 n1)4n2 14n2 12n 12n 1bn n11)(12n由于xn2004若n 2004t (2丿maxn 20042005(n2)恒成立200520052005 m 2，而m为最小正整数2例10数列an是公差d0的等差数列，其前n项和为Sn，且d。1, a9(1)求 an的通项公式;(2 )求Sn的最大值；(3)将S

14、n表示成关于an的函数。解：(1)因为yX所以，函数y(0 x1)是增函数1 xan -.由已知an 1，0an 11 an(2)因为an 11 an引(n N*)，所以丄1 a na n 1所以0an 1所以111(nN *）即数列是首项为1，公差为1的等差数列an 1anana11a*所以(n 1),a n(nN)ana1 (n 1)aa11(3)由已知an0 a 1)1(n 1)a1,(n1)na所以a1a?a3an111 11 1234n 11 12 3n (n 1)n 1ann【模拟试题】（答题时间：45分钟）1.数列an的通项公式是an-H、 、，右刖n项和为10 ,则项数n为（A

15、. 11B. 99C. 120D. 1212.数列 11,31,51,7,(2n 1)匚12 48162n的前n项之和为Sn ,则Sn的值等于（A.1 2nC. n12n1B. 2n2D. n212n12n3.数列an的前n项和Sn22n 3n 1，则 a4 a5 a6a10()A. 171B. 21C. 10D.1614, 知亠3竺（n N*），则n的值为（2 4 6 2n 116A. 110B.115C.116D. 2315. 一个正整数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第8行中的第5个数是（）Mie1第術2 34 5 6 7A. 68B. 132C. 133D.

16、 2606. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为 3150元（其中工资性收入为 1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年 内，农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）A. 4200 元一4400 元B. 4400 元一4600 元C. 4600 元一4800 元D. 4800 元一5000 元2进1 ”，如（1101）2表示进制数，将它转换成十进制形式是32101 2 1 2 0 2 1 213，那么将二进制数7.数列an中，a160，且an 1 a

17、n 3 ,则这个数列前30项的绝对值的和是（A.700B.765C.495D. 4958.数列5, 55,555 ，的前 n项和为（）A.-(10n91)nB.n10 150(10n1)5n50(10n 1)C.D.n819819计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢（11111）2转换成十进制形式是（）16位15D. 21171616A. 22 B. 22 C. 2110.数列an前n项和Sn与通项an满足关系式Sn2 *nan 2n 2n(n N )，则a100 a10的值为（）11.数列 1 n,2(n1),3 (n2),4(n3),n 1的和为()1A. n(n 1)(n6

18、2)B.丄呦61)(2 n1)1C. n(n 2)(n3)D.ln(n31)(n 2)12.设an (n N*)等差数列，Sn是其前n项和，且S5S6, S6S7S8，则下列结论错误的是()A. d 0B. a70C. S9 S5D. S6与S7均为Sn的最大值A. 90B. 180C. 360D. 40013.已知集合 An x|2n x 2n 1,且x 7m 1, m,n N*，贝V A中各元素之和为( )A. 792B. 890C. 891D. 99014.已知函数f(n)n2(n为奇数时)n2(当 n为偶数时anf(n)f(n1)，则a1 a2a100 等于(A. 0 B. 100C. 100D.1020015.设数列an的前n项和为Sn ,且an 3 4Sn(1 )求证an是等比数列。(2)求 Iog5(a1a3a5%)的值。16.已知数列an中，an an 1 2n , (n 2) , a1 2(1 )求 a2,a3,a4 0( 2 )求 an。(3)求和丄 aa?217.已知数列an , a11，且数列an前n项和Sn等于第n项的n倍(1 )求a2, a3,a4。(2)求通项an。(3)求数列an前n项和Sn。-可编辑修改 -【试题答案】1. C2. A3. D4. B5. B6. B7. B8. C9.