全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准

1、1.2.3.2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准、选择题(本题满分 30分，每小题6分)2如果头数m, n, x, y满足m的最大值为b. 、ab解由柯西不等式(mx ny)2mx ny v'ab ,当 m占八、4.f (x)为指数函数yf(x)与其反函数yA. PB. QC.(m22.2a b2222n )(x y )xa .在 P(1,1), Q(1,2),b ,其中a, b为常数，那么mx+ny,a2 b2D.2ab ;或三角换元即可得到mx nyM(2,3),答：B,ab .选 B.1_一四点中，函数41，、f ( x)的图像的公共点只可能是点什1,，-

2、八一,、取a 一，把坐标代入检验,16N.选 D.C. MD. N答：D11 21611 416公共点只可能是在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列,那么A. 1C. 3第一、如果A.B.x y z的值为B. 2D. 4答:A0.5二行后两个数分别为2.5, 3与1.251.选 A.1.5;第三、四、五列中的 x 0.55163z 一，16A1B1C1的三个内角的余弦值分别是A2B2c2的三个内角的正弦值，那么A1B1C1与 A2B2c2都是锐角三角形A1B1C1是锐角三角形，A2B2c2是钝角三角形C. A1BC1是钝角三角形，A2B2c2是锐角三角形答

3、：BD.AiB1C1与 A2B2c2都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角;AiBiCi的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若A2B2C2 是锐角三角形，则不妨设cos A =sin A2=coscos Bi =sin B2 =cos 2cosC1 =sin C2 =cosAiA2BiB2，Ci2 C2'AiBiCi32(A2B2C2），矛盾.选B.5.设ab是夹角为30 °的异面直线,则满足条件“ a”的平面答：DA.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对任彳a的平面,可以作无数个.在b上任取一点的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.二、填空题（本题满分

4、50分,每小题i0分)6.设集合A2xxx表示不大于x的最大整数，则i, 3 .2, x的值可取2,i,0,i.当x=2 ,则x2 0无解;当x= i ,则 x当x=0,则x22无解;2当x=i ,则 x7.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是-9iP （结果要求写成既约2i6分数）.35解考虑对立事件，P i 一69i2i68.已知点O在 ABC内部，OA 2OB 2OC0.解 由图， ABC与 OCB的底边相同,iWj是5 : i.故面积比是5: i.，一 2229.与圆x y 4x 0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹万程为y 8x(x 0)或y 0(x 0).解 由圆锥曲线

5、的定义，圆心可以是以 (2,0)为焦点、x2为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为 y28x( x 0),或y 0(x 0).10.在 ABC 中，若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,贝U解切割化弦，已知等式即sin Asin BcosAcosBsin AsinC sin BsinCcosAcosC cosBcosC、口门 sin Asin B sin( A B) sin Asin BcosC ab cosC /亦即 ,即2=1,即 2一 1.sin C cosCsin Cc2.222.2a b ca b所以，2 1,故2一2cc三、解答

6、题(本题满分70分，各小题分别为 15分、15分、20分、20分)11.已知函数f (x)22x bx c在x 1时有最大值1, 0 m n,并且xm,n时，f(x)的取值范围1 1为一，一.试求m, n的值.n m2解由题 f(x) 2(x 1)1,1f (x) 1, 一 1,即 m 1, f(x)在m,n 上单倜减, m2121f (m)2(m 1)2 1 且 f(n) 2(n 1)2 1 -.mn10分21m, n是方程f(x) 2(x 1)1 一的两个解，方程即x(x 1)(2x2 2x 1)=0,解方程，得解为1 ，31 .3215分1.322 x12. A、B为双曲线42 y 1上

7、的两个动点，满足 OA OB 09(I)求证： 一1-2L2为定值;OA OB(n)动点P在线段AB上，？足OP AB 0,求证：点P在定圆上(i)设点 A的坐标为（r cos , r sin),B 的坐标为(r cos ,r sin )，则 r13.所以Ob1 2 r由OA同理,所以(n)A在双曲线上，则2. 2cos sinOB2|OA |20得OAOB,2cos42sin91.所以cos22sin22cos sin2cos. 2sin. 2sin2cos12|OB |21r'24 9 3610分由三角形面积公式,OPOA OB ,所以OP2旭2OA2 OB2,即OP2 OA2 1

8、°b即OPOA2 OB1OP221.36丁 TH,0P236即P在以O为圆心、615为半径的定圆上.如图，平面 M、N相交于直线l. A、D为l上两点,射线15分DB在平面M内，射线DC在平面N内.已知 BDCBDA都是锐角.求二面角M l N的平面角的余弦值（用解在平面M中，过A作DA的垂线,交射线DB于B点;在平面N中，过A作DA的垂线,交射线DC于C点.的三角函数值表示）设DA=1 ,则AB tanDB1cosAC tanDC1cos并且 BAC就是二面角M lN平面角.10分在DBC与 ABC中，利用余弦定理，可得等式2112BC2- - coscos cos cos cos2,2所以，2 tan tan cos tan tantan212- cos2ctan 2 tan tan cos122- coscos cos cos故得到cos2(cos cos cos )cos coscos cos cossin sin15分20分14.能否将下列数组中的数填入3与的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明(I) 2,4,6,8,12,18,24,36,48 ; (II) 2,4,6,8,12,18,24,36,72.解(I )不能.5分因为若每行的积都相等，