高中数学圆锥曲线——抛物线(基础)

1、圆锥曲线抛物线一选择题（共12小题）1已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）2顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（4，2）的抛物线的标准方程是（）Ay2=xBx2=8yCy2=8x或x2=yDy2=x或x2=8y3如图过拋物线y2=2px（p0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）Ay2=xBy2=3xCy2=xDy2=9x4已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A100B200C36

2、0D4005从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为（）A5B10C20D6顶点在原点，经过圆C：x2+y22x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（）Ay2=2xBy2=2xCy=x2Dy=x27已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A4x212y2=1B4x2y2=1C12x24y2=1Dx24y2=18双曲线=1的右焦点到抛物线y2=4x的准线的距离为（）A5B4C3D29已知抛物线y=x2的焦点为F，定点M（1，2），点A为抛物线上的动

3、点，则|AF|+|AM|的最小值为（）ABC3D510若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，则p的值为（）AB2C4D211过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线与C，若|AF|=6，=，则的值为（）ABCD312已知圆 C：（x+1）2+y2=r2与抛物线 D：y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积为（）A5 B9 C16D25 二填空题（共8小题）13若抛物线y2=2px（p0）的准线经过双曲线x2y2=1的一个焦点，则p=14抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=15已知M是

4、抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y5）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是16若直线axy+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a=17抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是18抛物线y2=8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是19已知圆x2+y26x7=0与抛物线y2=2px （p0）的准线相切，则p=20已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=三解答题（共4小题）21抛物线M：y2=2px（p0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，

5、以原点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C（）求抛物线M的方程；（）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率22设直线y=2x4与抛物线y2=4x交于A，B两点（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求A，B两点的坐标，并求出线段AB的长23已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F位于直线x+y1=0上（1）求抛物线方程；（2）过抛物线的焦点F作倾斜角为45的直线，交抛物线于A，B两点，求AB的中点C到抛物线准线的距离24已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若

6、过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8（）求抛物线C的方程；（）设直线l为抛物线C的切线且lMN，求直线l的方程2015年12月18日圆锥曲线抛物线参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2015陕西）已知抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A（1，0）B（1，0）C（0，1）D（0，1）【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线经过点（1，1），=1，该

7、抛物线焦点坐标为（1，0）故选：B【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础2（2015宜宾模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（4，2）的抛物线的标准方程是（）Ay2=xBx2=8yCy2=8x或x2=yDy2=x或x2=8y【考点】抛物线的标准方程菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设抛物线方程分别为y2=mx，或x2=ny，代入点（4，2），解方程，即可得到m，n进而得到抛物线方程【解答】解：设抛物线方程为y2=mx，代入点（4，2）可得，4=4m，解得，m=1，则抛物线方程为y2=x，设抛物线方程为x2=ny，代入点（4，2）可得，16

8、=2n，解得，n=8，则抛物线方程为x2=8y，故抛物线方程为y2=x，或x2=8y故选：D【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题3（2015泉州校级模拟）如图过拋物线y2=2px（p0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）Ay2=xBy2=3xCy2=xDy2=9x【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出BCD的值，在直角三角形中求

9、得a，进而根据BDFG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故BCD=30，在直角三角形ACE中，|AF|=3，|AC|=3+3a，2|AE|=|AC|3+3a=6，从而得a=1，BDFG，求得p=，因此抛物线方程为y2=3x，故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握4（2015郑州一模）已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A100B200C360D40

10、0【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab的值【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=5，|PF|=b+5=25，b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，a2=2020，a=20，|ab|=400，故选D【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等5（2015南昌校级模拟）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为（）A5B10C20D【考点】抛物线的简单性质菁优网

11、版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=1，x0=51=4|y0|=4，MPF的面积为54=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是灵活利用了抛物线的定义6（2015德阳模拟）顶点在原点，经过圆C：x2+y22x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为（）Ay2=2xBy2=2xCy=x2Dy=x2【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与

12、方程【分析】设出抛物线方程，利用经过点（1，），求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程【解答】解：因为圆C：x2+y22x+2y=0的圆心是（1，）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，），设标准方程为y2=2px，因为点（1，）在抛物线上，所以（）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x故选：B【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，注意标准方程的形式，考查计算能力，是易错题，基础题7（2015马鞍山三模）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A4x212y2=1B4x2y2=1C12x24y2

13、=1Dx24y2=1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b得到椭圆方程【解答】解：双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，a：b=：1，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线x=1上，c=1c2=a2+b2，解得：b2=，a2=此双曲线的方程为：x24y2=1故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键8（2015成都模拟）双曲线=1的右焦点到抛物线y2=4x

14、的准线的距离为（）A5B4C3D2【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的右焦点坐标，然后求解距离即可【解答】解：抛物线y2=4x的准线为：x=1，双曲线=1的右焦点：（4，0），所以双曲线=1的右焦点到抛物线y2=4x的准线的距离为：5故选：A【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查9（2015江西二模）已知抛物线y=x2的焦点为F，定点M（1，2），点A为抛物线上的动点，则|AF|+|AM|的最小值为（）ABC3D5【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的

15、定义、性质与方程【分析】本题若建立目标函数来求|AF|+|AM|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，则问题不难解决【解答】解：设点A到准线的距离为|AE|，由定义知|AF|=|AE|，故|AM|+|AF|=|AF|+|AM|ME|MN|=2+1=3（M到准线的垂足设为N）取等号时，M，A，E三点共线，|AM|+|AF|的最小值等于3故选：C【点评】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换10（2015朝阳区一模）若抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线x2y2=2的右焦点重合，则p的值

16、为（）AB2C4D2【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线的焦点和双曲线的右焦点，可得p的方程，即可解得p【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的焦点为（，0），双曲线x2y2=2即=1的右焦点为（2，0），由题意可得=2，解得p=4故选C【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查焦点坐标，考查运算能力，属于基础题11（2015九江一模）过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线与C，若|AF|=6，=，则的值为（）ABCD3【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的

17、定义、性质与方程【分析】由题意，抛物线y2=8x的准线为x=2，|AF|=6，求出A的坐标，可得AB的方程，代入抛物线方程，求出B的坐标，利用=，求出的值【解答】解：由题意，抛物线y2=8x的准线为x=2，|AF|=6，所以A（4，4）（另一种情况同理）所以AF的斜率为2，方程为y=2（x2），代入抛物线方程可得x25x+4=0，所以可得B（1，2），因为=，所以=3，故选：D【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础12（2014河南模拟）已知圆 C：（x+1）2+y2=r2与抛物线 D：y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆

18、C的面积为（）A5 B9 C16D25 【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】抛物线 D：y2=16x的准线为x=4，代入圆 C：（x+1）2+y2=r2的方程可得：，由于|AB|=8，可得2=8，解出即可【解答】解：抛物线 D：y2=16x的准线为x=4，代入圆 C：（x+1）2+y2=r2可得：y2=r29，|AB|=8，2=8，解得r2=25圆C的面积为25故选：D【点评】本题考查了抛物线的性质、直线与圆相交弦长问题，考查了计算能力，属于基础题二填空题（共8小题）13（2015陕西）若抛物线y2=2px（p0）的准线经过双曲线x2y2=1的一个焦

19、点，则p=2【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出x2y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值【解答】解：双曲线x2y2=1的左焦点为（，0），故抛物线y2=2px的准线为x=，=，p=2，故答案为：2【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义14（2015上海）抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论【解答】

20、解：因为抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2故答案为：2【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础15（2015邢台模拟）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y5）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是5【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值【解答】解：如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当M、A、P三点共线时，|MA|+|M

21、F|的值最小即：CMx轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|1=61=5，故答案为：5【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题16（2008上海）若直线axy+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a=1【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后代入即可求出a【解答】解：直线axy+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），则a+1=0a=1故答案为：1【点评】本题主要考查抛物线的性质属基础题17（2007江苏一模）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是【考点】抛

22、物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先对y=x2求导得到与直线4x+3y8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案【解答】解：先对y=x2求导得y=2x令y=2x=易得x0=即切点P（，）利用点到直线的距离公式得d=故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和点到线的距离公式考查综合运用能力18（2015青浦区一模）抛物线y2=8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据当|AB|2p时，AB平行于y轴时，AB的中点到y轴的距离取得

23、最小值【解答】解：当|AB|2p时，AB平行于y轴，AB的中点到y轴的距离取得最小值，（倾斜中位线肯定长）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB平行于y轴，|y1|=|y2|=3，且有：y12=8x1，y22=8x2，所求的距离为S=故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义19（2014西城区校级模拟）已知圆x2+y26x7=0与抛物线y2=2px （p0）的准线相切，则p=2【考点】抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】求出准线方程，圆心和半径，利用圆心到准线的距离等于半径求出p【解答】解：抛物线y2=2px （p0）的准线为 x

24、=，圆x2+y26x7=0，即（x3）2+y2=16，表示以（3，0）为圆心，半径等于4的圆由题意得 3+=4，p=2，故答案为2【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，利用圆心到准线的距离等于半径是解题的关键20（2015山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=1：【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|RtMPN中，根据tanMNP=，从而得到

25、|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值【解答】解：抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），抛物线的准线方程为l：y=1，直线AF的斜率为k=，过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，RtMPN中，tanMNP=k=，=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故答案为：1：【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题三解答题（共4小题）21（2015大庆二模）抛物线M：y

26、2=2px（p0）的准线过椭圆N：+y2=1的左焦点，以原点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的图象以及y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C（）求抛物线M的方程；（）设点A的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由椭圆方程求出椭圆左焦点坐标，得到抛物线准线方程，从而求得p值，则抛物线方程可求；（）写出A的坐标，由|OA|=t列式求得t与A的坐标间的关系，求出直线BC的方程，把A代入BC方程，得到a，c的关系，然后直接代入斜率公式求直线C

27、D的斜率【解答】解：（）椭圆N：+y2=1，c2=a2b2=1=，椭圆的左焦点为F1（，0），=，则p=1故M：y2=2x；（）由题意知，A（a，根号2a），|OA|=t，a2+2a=t2由于t0，故有t= 由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为+=1又A在直线BC上，故有+=1将代入上式，得：+=1，解得c=a+2+又D（a+2，），直线CD的斜率为：kCD=1【点评】本题主要抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，解答此题的关键是对抛物线定义的灵活应用，是高考试卷中的压轴题22（2014秋惠州期末）设直线y=2x4与抛物线y2=4x交于A，B两点（1）求抛物

28、线的焦点坐标和准线方程；（2）求A，B两点的坐标，并求出线段AB的长【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右，且p=2，由焦点坐标和准线方程即可得到所求；（2）联立直线方程和抛物线方程，消去y，解方程可得x，进而得到交点的纵坐标，再由两点的距离公式计算即可得到【解答】解：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右，即有2p=4，解得p=2，故焦点坐标为（1，0），准线为x=1；（2）由，消去y，得x25x+4=0，解出x1=1，x2=4，于是，y1=2，y2=4，所以A，B两点的坐标分别为A（4，4），B（1，2），则有线段AB的长：【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，运用两点的距离公式，属于基础题23（2014秋大庆期末）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F位于直线x+y1=0上（1）求抛物线方程；（2）