南京航空航天大学结构力学课后习题答案

1、第三章能量原理习题解答3-1写出以下弹性元件的应变能和余应变能的表达式.a等轴力杆；b弯曲梁；c纯剪矩形板.解：a等轴力杆应变能余应变能其中L为杆的长度,f为杆的截面积,A为杆的变形量,E为材料的弹性模量.b弯曲梁应变能余应变能c纯剪矩形板3-2求图3-2所示桁架的应变能及应变余能,应力一应变之间的关系式为(a) E(b) E解：取节点2进行受力分析,如图3-2a所示根据平衡条件,有(a)E 时N1cos45 N3 cos45F2N1sin 45 N3sin45 FNiF1 F2J2Nf1N1N313Ef1Ef3U AdV fl dV0U vBdV fl 0 d(D(2)(3)(4)(5)联立

2、1、2、联立1、2、3、4,得到桁架的应变能为3、5,得到桁架的余应变能为(b)E1时Ni2EfN32(6)联立1、2、4、6,得到桁架的应变能为联立1、2、5、6,得到桁架的应变能为3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力一应变规律 其中E、G和 是材料常数.导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度解：应变能密度 余应变能密度 总应变能密度 而所以应变能密度为3-4试用虚位移原理或最小位能原理确定题 3-4图所示平面桁架的节点 o 的位置和各杆内力.各杆材料相同,弹性常数为 E.Pi 104N, P2 5 103N, 各杆截面积 fi 1.5cm2, f2 V2cm2, f3 3cm2.解：

3、设o点的位移为u、v,那么各杆的变形量如下：2 ,、o-1 杆： 1 ucos vsin u v 2o-2 杆：2 Vo-3杆： 3 ucos sin - u v 2系统位能令 0 ,那么 0 ,0 ,从而： uv解得由N f ,得 l3-5试用最小位能原理导出承受均布载荷 q的弯曲等截面梁图3-5的平衡方程式.解：由教科书例3-2知悬臂梁的边界条件为：在 x 0 处,w 0, dw 0 dx在x l处,剪力Q 0,弯矩M 0dw zdx直法线假设又知在x l处,弯矩M 0 所以,当x l时, 又知 所以在x l处,剪力Q 0,3所以,当x l时,驾0 dx3由以上,如果 那么有受均布载荷悬臂

4、梁的平衡方程为EJ -4- q = 0,并给出弯矩图.3-6试用最小余能原理求解图3-6所示圆框的弯矩表达式P圆框的截面弯矩刚度为EJ、q sin .R解：根据圆框的对称性可知,在图3-6a的受力分析图中,只有轴力和弯矩,而无剪力.取右半局部的一段进行受力分析如图3-6a所小.根据平衡条件,可得到弯矩表达式 余应变能外力余能故根据最小余能原理MoEJ0MRd(DM.N0EJMRR(1cos )d0(2)M03NoR 27PR 0 8联立1、2解得 那么圆框截面的弯矩为3-7试用瑞利一李兹法确定图3-7所示梁的点A处横向挠度.解：梁两端简支,其位移边界条件为 w|x 0 0w|x Ldx2|x0

5、 0dx2|xL 0选取正弦函数为基函数,取前两项, 梁的应变能为因此梁的外力势能 梁的总位能 由最小位能原理2当x 2L时33-8沿直平面内的正方形薄板,边长为 2a,四边固定,只受重力 g作用,如图3-8所示.设 0 ,试取位移分量的表达式为用瑞利一李兹法或伽辽金法求解.解：运用伽辽金法求解.此题中的四边形薄板四边周支,因此是一个平面应力问题.其根本方程为2v2 y2u2y2vxX Umdxdy 0vmdxdy 0(Dm 1,2,3L当只取A项和Bi项时,位移分量的表达式为2U 2 x2 vx2u2 y2 ay2 2 ax y由于 0,X 0,Y3x22 ag,2u2x2 v: 2y马Bi

6、, a1支2 a2u2y2v2y2 v2 xa2 x-2 a(2)4xy B4 B1 a所以1式可简化为1 2u假设1 2v2 x212v将3、,及2即简化为由此解得代入位移表达式, 由物理方程,得式代入3式,2 x y1 2u2 x y仔udxdy 0g m dxdy(3)挠度函3-9用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度和最大弯矩,数选以下两种形式,比拟其计算结果.(a) w(x)a1sin(b) w( x)a1 sinx . 3 x一a3 sinll解：双简支梁两端的位移边界条件是2d w 八在x 0 x l 处,w 0 0 dx弯矩的表达式为, 、x -,(a) w(x) a1sin7 时梁的总位能由最小位能原理0有所以挠度函数的表达式最大挠度最大弯矩x . 3 x I(b) w( x)a1sin 丁 a3sin 时梁的总位能由最小位能原理0有所以挠度函数的表达式最大挠度最大弯矩3-10用李兹法求解受均布载荷悬臂梁的挠度,挠度函数选以下各种形式,并比拟两种计算所得的最大挠度.(a) w(x) a2x2 %x3x(b) w( x) A(1 cos)2l解：悬臂梁的边界条件是在 x=0 处,w 0 dw 0 dx(a) w(x) a2x2 a3x3时梁的总位能由最小位能原理0有21 3一 0 4EJla2 6EJl2a3 -ql3 0(1)a23 Q 1一 0