高中数学 2.5.1《逆变换与逆矩阵》教案 湘教版选修4-2

1、§2.5.1逆变换与逆矩阵教学目标: 一、知识与技能：通过具体图形变换，理解逆变换和逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在；会证明逆矩阵的唯一性和（AB）BA等简单性质，并了解其在变换中的意义；了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵。二、方法与过程回顾可逆变换的特殊性及逆变换概念，按照变换复合的观点引入逆变换，寻求可逆变换存在的条件及复合斩求逆方法三、情感、态度与价值观培养学生积极主动探索的思维品质和数学的质疑精神，发展提出问题、分析问题、解决问题的能力和获取数学知识的能力。教学重点:定理1定理2及应用教学难点：矩阵可逆条件的探索教学过程一、复习引入：1、设A，

2、B是平面上的两个变换，将平面上每个点先用变换A变到，再用变换B将变到，则从到也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA。2、A和BBA3、矩阵S称为纯量矩阵。S称为零矩阵，S，称为单位方阵4、交换律，消去律对矩阵乘法不成立。5、满足结合律二、新课讲解对平面上的每个点P，若变换A将P变到A（P），则变换B将A（P）变回P。即BA（P）P，按照变换复合的观点，这就是说重合变换BA是恒等变换。反过来，对平面上的每个点P，。也有AB（P）=P,变换AB是恒等变换。逆变换的定义：设A是平面上的变换，如果存在平面上的变换B使BA与AB都等于恒等变换E，就称变换A是可逆变换，变

3、换B称为变换A的逆变换。记作BA。反过来，变换B也是可逆变换BA。如果A，B是线性变换，A，B分别是变换A，B的矩阵，则AB，BA分别是变换AB，BA的矩阵。由AB，BA是恒等变换知道对应的矩阵AB，BA等于单位方阵E。只要矩阵A，B满足ABBAE，就称A，B是可逆矩阵，B是A的逆，BA，反过来也有BA。三、例题解析例1A，求A解：A表示的线性变换A：（）（）满足条件（1）先求变换A，则变换A的矩阵就是A解二元一次方程组（1）得（2）因此，逆变换A的矩阵就是A例2、根据变换的几何意义，求下列矩阵A的逆（1）A（2）（3）解（1）矩阵A表示的变换是绕原点旋转，其逆变换是绕原点旋转，它的矩阵就是所

4、求的逆矩阵，等于（2）矩阵A表示的变换是以原点为中心、相似比为2的位似变换。它的逆变换是以原点为中心、相似比为的位似变换，它的矩阵就是所求的逆矩阵，等于（3）矩阵A表示的变换是伸缩变换，方向不变，方向伸长到原来的2倍。它的逆变换则，方向不变，方向缩短到原来的的伸缩变换，矩阵为，就是所求的逆矩阵。例3、A，什么时候A可逆？当A可逆时求出A当且仅当A表示变换A可逆时，A可逆A：（）（）满足条件将作为已知数，将作为未知数解方程组。如果存在A使AA等于单位矩阵E，则对每一组取A，就得到AA A，可见是方程组的解。（1）式×-（2）式×，得（3）（1）式×-（2）式

5、5;，得（4）方程（3）（4）有共同的系数。我们把它记为当0时，不论取什么值，方程（3）（4）都有唯一解，A用矩阵乘法检验： 可见所得到的确实是A定理1：设A，记。则（1） A可逆的充分必要条件是：0（2）当0时，A。对于判断矩阵是否可逆以及求矩阵的逆具有特别的重要性，我们将它称为这个矩阵的行列式，记作，且，矩阵A的行列式记作A，也记作detA。注：矩阵A与它的行列式A的意义是不同的，矩阵不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式A是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式。矩阵代表一个线性变换，它的行列式只是这个变换的性质之一。例4、利用定理1判断下列矩阵是否可逆，若可逆，则求其逆矩阵。（1）（2）（3）（4）解：（1）行列式1×1-（-1）×12，矩阵可逆，逆矩阵为（2）行列式，当且仅当，都不为零时可逆。逆矩阵为指出：矩阵称为对角阵不但求逆容易，其乘法也简单（3）行列式1，矩阵可逆，逆矩阵为矩阵代表的变换是沿轴方向上的切变，求它的逆也很简单，将改成就