2019-2020年高中数学4.1.2用二分法求方程的近似解教案北师大必修1

1、2019-2020 年高中数学 4.1.2 用二分法求方程的近似解教案北师大必修 1一、 教学目标1、 知识与技能：(1)解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；(2)体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。2、 过程与方法：(1)让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；(2)让学生归纳整 理本节所学的知识。3、 情感、态度与价值观：体会二分法的程序化解决问题的思想，认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。难点：为何由丨a-b| 便可判断零点的近似值

2、为a(或b)?三、学法与教法1、想想。2、教法：探究交流，讲练结合。四、 教学过程(一) 、创设情景，揭示课题提出问题：(1)一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程In x+2x6=0的根； 联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？(2)通过前面一节课的学习，函数f(x)= In x+2x6在区间内有零点；进一步的问题是，女口 何找到这个零点呢？(二) 、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要 求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围。取区间(2,3)

3、的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.084,因为f(2.5)*f(3)0,所以零点在区间(2.5,3)内；再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)沁0.512,因为f(2.75)*f(2.5) a4=- 6(7n+9),而不是7n-3v6(7n+9).他的结论 不对吧！师：那你的结论是什么呢？(动员大家思考，纠正)生：我的结论是：当n=1,2,3,4,5时，7v6(7n+9);当n=6,7,8,时，76(7n+9).师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经验呢？首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数，就作推测.请把你们计 算结果填入下表内：矜？犬小关系 5

4、形)11=114996n=2171381ISO722249306珈师： 依据数据作推测， 决不是乱猜.要注意对数据作出谨慎地分析.由上表 可看到， 当n依1,2,3,4,变动时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍 的速度在增加，而6( 7n+9)相应值的增长速度还不到2倍.完全有理由确认，当n取较大值时，7n-36(7n+9)会成立的.师：对问题3推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了其实 在数学史上，一些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误资料1(事先准备好，由学生阅读)费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一， 是对微积分的创立作出贡

5、献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也 有许多贡献但是，费马曾认为，当nN时，22n+1一定都是质数，这是他对n=0, 1,2,3,4作了验证后得到的18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了225+仁4 294 967 297=6 700 417X641,从而否定了费马的推测.师：有的同学说， 费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的 但 是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！再请看数学史上的另一个资料(仍由学生阅读)：资料2f(n)=n2+n+41,当nN时，f(n)是否都为质数？f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61

6、，f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，f(10)=151,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681=412是合数师：算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世 界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是 要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来.师：归纳法为什么会出错呢？生：完全归纳法不会出错.师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份.师：完全同意.那么怎么办呢？生：应该予以证明师：大家同意吧？对于生活、生产中的实

7、际问题，得出的结论的正确性，应 接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准对于数学问题，应寻求数学 证明（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢？请结合以上问题1思考生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明 数 学上称这种证法为穷举法它体现了分类讨论的思想师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋 球全是白球，那么怎么证明呢？（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝 酿第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科他运用递推的思想

8、予以 证明结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是白球然后再构造一个命题予以证明 命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球” ， 结论是“下一次拿出来的也是白球”这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而 是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢？生：是第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二 次、第三次、第四次、拿出的都是白球.师：对它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想 得到了证明生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？生：一排排放很近的自行

9、车，只要碰倒一辆，就会倒下一排生：再例如多米诺骨牌游戏（有条件可放一段此种游戏的录相）师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒.用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证 明方法就是数学归纳法.（五）数学归纳法（板书）师：用数学归纳法证明以上问题2推测而得的命题，应该证明什么呢？生：先证n=1时，公式成立（第一步）；再证明：若对某个自然数（n=k）公式成立，则对下一个自然数（n=k+1）公 式也成立（第二步）.师：这两步的证明自己会进行吗？请先证明第一步.生当n = l时，左式二泊=1,右式=y

10、= k此时公式成立（应追问各步计算推理的依据）师：再证明第二步.先明确要证明什么？生恥册公式蚊即廿&帧为条件来证明严+1时，公式也成立，即a1+1-也成立.师：应注慝这里是证明递推关系成立，证明殆广芮成立时,必须胸廿详个条件”师：于是由上述两步，命题得到了证明这就是用数学归纳法进行证明的基 本要求师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤生：共两步(学生说，教师板书)：(1)n=1时，命题成立；(2)设n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立例如，对于问题3推测得的命题：当n=6,7,8,时，7n-36(7n+9).第一步应证明n=

11、6时，不等式 成立(若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思 考)(六)小结师：把本节课内容归纳一下：(1)本节的中心内容是归纳法和数学归纳法.(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法.分完全归纳法和不完全归纳法 二种.(3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证 明可用数学归纳法进行.(4)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它 的操作步骤必须是二步.数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习.生依已知条件，补佳=(七)课外作业(1)阅读课本P112P115的内容.(2)书面作业P115练习：1,3.课堂教学设计

12、说明1数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它 的操作步骤简单、明确,教学重点应该是方法的应用.但是我们认为不能把教学 过程当作方法的灌输, 技能的操练.对方法作简单的灌输, 学生必然疑虑重重. 为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受学完了数学归纳法 的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等为此，我们设想强化数学归 纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把 数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数 学归纳法产生的背景，从一

13、开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而 且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重 要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对 不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二 阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到 归纳出二个步骤结束.把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实 质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思 想的一种尝试.2在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、 探索的方法.目 的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度，教 师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快 提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重 要的.这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题， 把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予 以解决，并获得新的发展.本节课的教学设计也想在这方面作些研究.3.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到