高三复习之专题二面角

1、高三第二轮巩固复习 专题十六 二面角基础知识回顾 温故知新1. 线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个2.斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角3.直线与平面所成的角的取值范围是： 斜线与平面所成的角的取值范围是：4.二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面棱为、面分别为、的二面角记作二面角有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点、，将这个二面角记作如果棱记作，那么这个二面角

2、记作二面角或5二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的平面角的大小与点的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱上的点，但为了研究和解决问题的方便，我们一般取特殊点作为点范围：0，高考在考什么【考题回放】1.（2011湖北文18）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且.()求证：()求二面角的大小. 2.（2011四川文19）(本小题共l2分) 如图，在直三

3、棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA(I)求证：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ()求点C到平面B1DP的距离3.（2011浙江文20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上.（）证明：；（）已知，.求二面角的大小.高考要考什么【考点透视】二面角每年必考,作为解答题可能性最大。【热点透析】 二面角的平面角的主要作法：定义 三垂线定理及其逆定理 公垂面法 平移或延长（展）线（面）法 射影公式 化归为分别垂直于二面角的两个

4、面的两条直线所成的角 向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等。突破重难点1 定义法利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小【例1】 如图,已知二面角-等于120°,PA,A,PB,B. 求APB的大小.POBA寻找平面角 练习1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，找二面角 A-VC-B的平面角 2. 正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=4,AB=BC=CD=DA=2,找侧面与底面所成的二面角？2 三垂线定理（逆定理）法在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理 已知 PA、P

5、O分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。，aAO。三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。求证： aPO 例2 直接利用三垂线定理证明下列各题(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1若a是平面的斜线，直线b垂直于a在平面内的射影，则 ab （ ）若 a 是 平 面 的 斜 线，平 面 内 的 直 线 b 垂直于a在平面内的射影，则ab （ ）若a是平面的斜线

6、，直线 且b垂直于a在另一平面内的射影则ab （ ）若a 是 平 面 的 斜 线,b, 直线 b垂 直 于 a在平面内的射影，则ab （ ）练习：判断下列命题的真假：三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。CDPMBA【例3】如图，ABC中，A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角PACB的大小为45

7、6;。求（1）二面角PBCA的正切值；（2）二面角CPBA的正切值。三平移或延长（展）线（面）法：将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。【例4】正三角形ABC的边长为10，A平面，B、C在平面的同侧，且与的距离分别是4和2，求平面ABC与所成的角的正弦值。BCFEaA四射影公式：由公式S射影=S斜面cos，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。AHMD1C1B1A1BCD【例5】如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角余

8、弦值的大小。 5 找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。P【例6】如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且ABPA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。 ACDB六化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角【例七】在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D(1) 求证:A1C平面AEF；(2) 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面

9、所成角的大小相等”试根据上述定理，在AB4，AD3，AA15时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角余弦值的大小。 D1C1A1B1EFDCBA七向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等。利用法向量求二面角例8：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小重庆历年真题 13、（05文20） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC. 已知求 （）异面直线PD与EC的距离； （）二面角EPCD的大小.14、（06文20）如图，在正四棱柱中，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：（）异面直线与所成角的大小；（）二面角的正切值；17、（09文18）如图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面