2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质(二)学案新人教B版选修2-

1、222椭圆的几何性质(二)【学习目标】1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.IT问题导学-知识点一点与椭圆的位置关系2X2思考 1 判断点P(1 , 2)与椭圆-+y= 1 的位置关系.2 2思考 2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点F(xo,yo)与椭圆?+器=1(ab0)的位置关系的判定吗？2 2梳理设Rxo,yo)，椭圆笋涪1(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示:宀护方 位置大糸满足条件P在椭圆外2 2X0y0a+产P在椭圆上2 2X0y0-2+口 = 1a bP在椭圆内22X0y0 +V2b0)的位置关系?a b梳理(1)判断直线和椭圆位

2、置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0,则2直线和椭圆 _;若= 0，则直线和椭圆 _ ;若 b0)相交，两个交点为0X2,y2),贝熾段AB叫做直线I截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做 _ .下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得 |AB =yj XiX22+yiy22，将yi=kxi+m y2=kx2+m代入上式，得|AB=, xiX22+kxikx22= xiX22+k2xiX22= i +k2|xiX2|,而|xiX2| =xi+X22 4xiX2, 所 以 |AB=i +k2xi+X22 4xiX2,其中xi+X2与xiX2均可由根

3、与系数的关系得到.直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用 0.2 2x y例如，直线I:y=k(x 2) +1 和椭圆正+ = i.无论k取何值，直线I恒过定点(2 , i),而定点(2 , i)在椭圆内部，所以直线I必与椭圆相交.题型探究类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度 i 点与椭圆位置关系的判断2 2x y例 i 已知点F(k,i)，椭圆 9 +4= i，点在椭圆外，贝 U 实数k的取值范围为 _.引申探究若将本例中F点坐标改为“ (i ,k)”呢？反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.

4、2 2x y跟踪训练 i 已知点(3 , 2)在椭圆二+2= i(ab0)上，则()a bA. 点(一 3, 2)不在椭圆上B. 点(3 , 2)不在椭圆上C. 点(一 3, 2)在椭圆上D. 以上都不正确命题角度 2 直线与椭圆位置关系的判断2 2x y例 2(1)直线y=kxk+ 1 与椭圆+彳=1 的位置关系是()A(xi,yi)、3A.相交 B .相切 C .相离 D .不确定2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0 , .2)且斜率为k的直线I与椭圆专+y2= 1 有两个 不同的交点P和Q求k的取值范围.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元

5、二次方程(1) 0?直线与椭圆相交？有两个公共点.(2) = 0?直线与椭圆相切？有且只有一个公共点.(3) 0?直线与椭圆相离？无公共点.2 2跟踪训练 2(1)已知直线I过点(3 , - 1)，且椭圆 C：X+丄=1,则直线I与椭圆C的公2536共点的个数为()A. 1 B . 1 或 2 C . 2 D . 02 2若直线y=kx+ 2 与椭圆X+ 2=1 相切，则斜率k的值是()A 直B.-心 C .土心 D .土迪3333类型二弦长及弦中点问题2 2例 3 已知椭圆 話+y4 = 1 的弦AB的中点M的坐标为(2 , 1)，求直线AB的方程.引申探究在本例中求弦AB的长.反思与感悟

6、直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问 题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式 解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.2 2跟踪训练 3 已知椭圆X+弋=1 和点P(4 , 2)，直线I经过点P且与椭圆交于A B两点.1(1)当直线I的斜率为 2 时，求线段AB的长度；当点P恰好为线段AB的中点时，求I的方程.4类型三椭圆中的最值(或范围)问题5. 2 2例 4 已知椭圆 4x+y= 1 及直线y=x+m.(1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;(2) 求被椭圆截得的最长弦所在的

7、直线方程.反思与感悟 求最值问题的基本策略求解形如|PA+1PEB的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA+1PE取得最值.(2) 求解形如|PA的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3) 求解形如ax+by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4) 利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围.2 2跟踪训练 4 已知动点Rx,y)在椭圆X+養=1 上，若点A的坐标为(3 , 0) , |AM= 1,且2516肃AM=O,求|PM的最小值.当堂训练则椭圆的长轴长为2 2x y4.若直线y=kx+b与椭圆+

8、4 = 1 恒有两个公共点，贝 Ub的取值范围为x24/22x21.2 2若点A(a, 1)在椭圆扌+y=1 的内部，贝 U a 的取值范围是()A. .2a 2B.a 2C. 2a2D. 1a，故点在椭圆外.2 2X。yo思考 2 当P在椭圆外时，孑+ 1;当P在椭圆上时，2 2xoyoa+b2=1;当P在椭圆内时，2 2Xoyoa2+产.知识点二思考 1 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离.思考 2y=kx+m2 2x y二+b2=1,消去y得关于x的一元二次方程，则宀护方 位置大糸解的个数的取值相交两解 o相切一解 = o相离无解 1,292x解由已知条件知直线l的方程为y=kx+

9、2，代入椭圆方程得+ (kx+2)2= 1.整理得1+k2x2+ 2 2kx+ 1 = 0.直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 = 8k2 4：+k2 2即k的取值范围为-8,-2U-2,+8.跟踪训练 2(1)C(2)C例 3 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线 存在，设直线AB的方程为y 1 =k(x 2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k2+ 1)x2 8(2k2k)x+ 4(2k 1)2 16 = 0.设A(X1,y,B(X2,y2)，贝UX1,X2是上述方程的两根，k2k于疋Xi+X2=4k2+ 1.又M为线段AB的中点，X1 +X2 2 k2k-

10、丁 =4k2+ 1=2，解得k= 1.故所求直线的方程为x+ 2y 4= 0.方法二点差法设A(X1,y”,B(X2,y2),X1MX2. M2 , 1)为线段AB的中点，X1+X2= 4,y1+y2= 2.又代B两点在椭圆上，则x2+ 4y2= 16,x2+ 4y2= 16 , 两式相减,得(x1x2) + 4(y2y2) = 0,于是(X1+X2)(X1X2)+ 4(y1+y2)(y1帕=0.y1 yX1+X2X1X2y1+y2414X2 =2，即kAB=1故所求直线的方程为x+ 2y 4= 0.AB的斜率=4k2 20，解得10方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x

11、,y),由于点M2 , 1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4 x, 2 y). A,B两点都在椭圆上，X2+4y2=16,4 x2+，2y2=16.，得X+ 2y 4 = 0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A, B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x+ 2y 4 = 0.引申探究解 由上例得直线AB方程为x+ 2y 4= 0.x+ 2y 4= 0,联立方程组x2y2消去y并整理，得x(x 4) = 0，得x= 0 或x= 4,耐 4 =1，得两交点坐标A(0 , 2),氏 4 , 0),故|AB=一 12+ 2 02= 2 5.1跟踪训练 3 解

12、由已知可得直线I的方程为y 2= (x 4),11y=2x，即y= X.由；222. x y.才 6 =1,消去y可得x2 18 = 0, 若设A(X1,yj,B(X2,y2).则X1+X2= 0,X1X2= 18.62=3 10.所以线段AB的长度为 3,10.(2)方法一 当直线I的斜率不存在时，不合题意.设I的斜率为k，则其方程为y 2=k(x112于是 |AB= .X1X22+y1y212-4) 2 2 2 2(i + 4k)x (32k i6k)x+ (64k 64k 2 0) = 0.若设A(xi,yi) ,B(X2,y2),232ki6k则Xi+X2=卄4k2,即x+ 2y 8=

13、 0.方法二设A(Xi,yi) ,B(X2,y2),y2=k x4心 36+9 =i，消去y得2xi2+上=i丨 36+9，则有22X2y2+=i.36+9，2 2X2Xi两式相减得3 萨2 2y2yi+ = 0+9，y2yi整理得kAB=X2xi=y2+yi,X2+Xi由于R4, 2)是AB的中点,xi+X2= 8,yi+y2= 4,9X8i是kAB=是36X42,于是直线AB的方程为1y 2= (x4),即x+ 2y 8= 0.-2 24x+y= i,例 4 解由 5y=x+m得 5x2+ 2mx+ ml 1 = 0,由于AB的中点恰好为P(4 ,2Xi+X2i6k 8k所以一 j2),1

14、 + 4k=4,i解得k= 2，且满足0.这时直线的方程为y 2 =f(X 4),13因为直线与椭圆有公共点，所以= 4 吊一 20(吊一 1) 0,解得一作电5(2)设直线与椭圆交于A(xi,yi),B(X2,y2)两点,2 2由(1)知：5x+ 2m灶m 1 = 0,2m12所以X1+X2= 5,X1X2= 5(m 1),=2 X1X2/ -4ni 4=2囱-5=5 屮 0-8m.所以当 m= 0 时，|AE最大，此时直线方程为y=X.跟踪训练 4 解由|AM= 1,A(3 , 0),知点M在以A(3 , 0)为圆心，1 为半径的圆上运动，/ PM- AM= 0 且P在椭圆上运动, PML AM即PM为OA的切线，连接PA如图)，则 IPM=Z |PA2 |AM2=jPA21,.当 |PAmin=ac= 5 3 = 2 时，1. A 2.C3.2 ,74.( 2, 2)5解 设直线I与椭圆的交点为MX1,y1) ,N(X2,y2),所以 |A