论文数学分析中证明不等式的若干方法(2)

1、数学分析中证明不等式的若干方法摘 要：本文主要应用数学分析中的函数的单调性，微分中值定理，Taylor公式，凸（或凹）函数的定义，函数的极值，单调极限以及被积函数不等式，在不等式两端取变限积分等的相关知识来证明不等式，同时也通过应用一些著名的不等式证明其他不等式。通过以上方法的应用使我们能对不等式的一些证明方法有一定的了解，并通过这些方法的应用来加深对这些证明方法中所包含的相关知识进行梳理和加深理解，同时也对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解。不等式在其他数学分支中有着广泛应用，因此了解不等式相关证明方法从而也为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具。关键词：数学分析 不等式证明 若

2、干方法The mathematical analysis of several methods to testify inequalityAbstract: In this paper, Monotonicity, differential mid-value theorem, Taylor formula, convex function is defined, extremum, limit and integral related knowledge to testify inequality,also through the application of some famous ine

3、quation inequality.Through the above application of this method enables us to some of the proof of inequation method have certain knowledge,and through these methods applied to deepen our understanding of these proofs contain knowledge review and deepen our understanding of inequation, simultaneousl

4、y to the relevant knowledge more profound understanding of the system.Inequality in other branches of mathematics has been widely used, so understanding inequalities related proof method and also for the math in many other content of study provides an important tool. Key words：Mathematical analysis

5、Inequality proof Several methods 1引言证明不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具。在数学领域中占有重要的地位，不仅是高中，大学阶段数学教材的重要内容，而且也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试，竞赛以及其它的领域中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，方法也较多。通过不等式的证明，不仅可以检验我们对基本的数学知识的掌握程度，而且也是衡量一个人数学水平的一个重要标志。因此，掌握一些基本的证明不等式的方法是十分重要也是十分必要的。它不仅能反映一个人的数学素养，还能帮助我们解决生活中其他领域的相关难题。下面将数学分析中对

6、不等式的证明方法进行简要总结。2利用单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要的方法，同时又是一种行之有效的方法，也是一种十分常见的方法，该种方法被广泛应用。利用函数的单调性来证明不等式其中最关键的是要从所要证明的不等式出发，通过相关的知识的应用来构造出相关的辅助函数，并通过所构造的辅助函数的单调性在已知的相关条件下来得到不等式，最终来证明所要证明的不等式成立。要点:若（或），则当时，有（或）。反之，若（或），则当时，有（或）。由此便可获得不等式。例2.1 证明： 证明：记，则，所以在定义域内单调递增函数。又由于可知。即 故原不等式得证。例2.2 设，证明：分析：要证，只需证,也

7、即证证明：记，则，所以当时，；即在时是单调减函数。又由于，所以，即证，所以原不等式得证。3利用微分中值定理证明不等式用微分中值定理所包含的内容较多，即罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理等，用这些定理来证明不等式成立，其中最重要的就是要熟记各个中值定理的应用条件，这一点十分重要，并将原不等式通过一系列的变形找到一个辅助函数，使这个辅助函数满足某个中值定理的条件，并应用中值定理的公式来证明相关的不等式。在微分中值定理证明不等式中证明的关键是处理好点，也就是要找到特殊的点，在该点处取值恰好能证明原不等式成立，在此过程中要利用分析函数或其导数在该点的性质，通过相关的性质来证明并得到所要证明的结论。要

8、点：如果函数在区间上连续，在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使得。由此可得(1)当，在内当时，有 (2)在上述条件下，有。因此，若单调递减，有。以上原理在证明不等式时经常采用。例3.1 设，是正整数，证明：。证明：当时，不等式两边都等于，因而等号成立。设，为确定起见，我们设，记，由于，故。同理可证 。将原不等式改写为，即。令，则。 根据微分中值定理得： = ，因而我们有。所以原不等式得证。4利用Taylor公式证明不等式 应用Taylor公式证明不等式我们要求函数的二阶和二阶以上的导数存在并且有界，然后依据的情形，使其按照Taylor公式展开，然后根据已知条件来进行证明不等式。 应用Tay

9、lor公式证明不等式的证题思路主要是（1）写出比最高阶低一阶的Taylor展开式；（2）恰当的选择等式两边的；（3）根据最高阶导数的大小或有界对展开式进行相关的放缩。但是在利用Taylor公式证明不等式时有时需要将Taylor公式结合其它知识一起使用，例如当所要证明的不等式中含有积分号时一般结合定积分的知识来进行证明；当所要证明的不等式含有多项式和初等函数的混合式时，可以作一个辅助函数并用Taylor公式展开，这样往往证明比较简洁方便。Taylor公式巧妙，合理，灵活的应用，可以解决一些其它方法较难解决的问题。 要点：若在上有连续n阶导数，则 。利用此原理，可以对一些不等式进行证明。例4.1

10、证明： 证明：原式等价于，因为，所以 。故。例4.2 设在上二次可微，试证明：有。证明：取以乘此式两端，然后n个不等式相加，又由于，所以有。所以原不等式在时即得证。5利用凸（或凹）函数的定义来证明不等式函数的凸（凹性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上的整体性态，不仅可以科学，准确的描绘函数的图像，而且有助于对函数的定性分析。凸（凹）函数是一类重要的函数，凸（凹）函数在不等式证明的研究中尤为重要。利用函数的凸凹性来对不等式进行证明也是一种十分常见且十分重要的方法，对一些复杂不等式的作用十分明显。利用函数的凸凹性来对不等式进行证明首要是找到辅助函数，利用辅助函数在区间上的二阶导数来判定的凸凹

11、性，然后根据凸函数（或凹函数）的相关性质来对一些不等式进行证明。用凸（或凹）函数的定义来证明不等式此法虽具有一定的构造性，但证明的过程却相对简洁。 要点：若，则函数为凸函数即，有。 若，则函数为凹函数即，有。例5.1 证明：证明：令，所以是严格凸函数。于是也即故得证。类似的我们也可证明：例5.2 设， 证明：。证明：考虑函数可知。即函数为凹函数。由凹函数的性质我们得。也即。得。即，所以即证。6用求极值的方法证明不等式用求极值的方法来证明不等式最重要的也很就是构造相关函数，然后判断该函数的极值，这是证明不等式的一个最基本的方法。用该法对不等式进行证明时最重要的也就是构造辅助函数，根据辅助函数在定

12、义域内的极值来确定不等式，从而来得到与所要证明的不等式相关的不等式，然后进行变形，转换最终得到所要证明的不等式。用求极值的方法来证明不等式也是一种十分常见的方法，被广泛的应用于不等式的证明中。 要点：要证明，只需求函数的极值，也就是证明 例6.1 设n为自然数，试证： 。 证明：原始可转化为。所以只需证明，=。故我们用表示方程的根。则极值的稳定点为。但=， 由此。所以问题即得证。例6.2 设都是正实数，且，当且仅当时等号成立。证明：原不等式可转化为 两边同时除以后，我们可得。所以我们令。这就证得。当且仅当所以原不等式当且仅当时等号成立。7利用单调极限证明不等式 利用单调极限来证明不等式主要的是

13、求函数在某一点的极限值，然后根据单调函数的性质来进行判断。利用单调极限来证明不等式的方法应用起来牵涉的内容较多也比较复杂，但对一些不等式的证明来说利用该方法却又十分方便简洁。要点：若时，在定义域上是单调增函数（或严格单调增函数），且（或）。反之，对于递减或严格递减的函数，也有类似的的结论。利用该原理可以来证明一些不等式，从而使证明过程简洁易懂。例7.1 证明：时，。证明：当时不等式显然成立。故只需证明的情况。为此，我们令，可知在时是单调递增函数，且当时，。事实上： （1） =（应用Lagrange公式）= （ ） 即证在定义域内是单调递增函数，由于在定义域内是单调递增函数，根据复合函数的性质我

14、们可知函数在定义域内是单调递增函数。 . 所以当时，。由（1）（2）可知在单调递增且，所以，即。故原不等式即得证。例7.2 证明：集合有最小值，并求最小值。证明： （1）得上界。按确界的定义有。（2）。（3）=综上可知：A有最小值，且。 8利用被积函数的不等式证明不等式利用定积分定义来证明一些不等式是一种十分有效的手段，可以将原来较为复杂的证明转化为较为简洁易懂的证明。用该种方法对不等式进行证明要求较高。下面将利用积分的相关性质来对相关不等式进行证明。要点：若，则有。例8.1 证明：证明：令，则 令，则 要证的不等式转化为。所以我们只需证 ， (当时)。由已知上严格递减。所以有。即证原不等式。

15、例8.2 函数上单调不增，证明：对于任何。证明： 亦即但上单调不增，所以即得证对于任何。9在不等式两端取变限积分证明新的不等式 利用在不等式两端取变限积分来证明不等式，此种方法要求较高，技巧性太强，难度较大。但对于一些不易证明的不等式应用此种方法则较为简便。下面将利用该种方法对一些不等式进行证明。要点：若， 则有。例9.1 证明：时， 。证明：已知 。在此式两端同时取上的积分，即得 （）。再次取上的积分，即得 （）。再次取上的积分，即可得 （）。然后继续取上的积分，即。然后继续取上的积分，即即。移项即可得所要证明的不等式： 。10利用著名的不等式证明其他不等式利用著名的不等式证明其他不等式要求

16、我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式，掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明。此种方法对学生要求较高，难度也较大，技巧性更强，但是利用此种方法对不等式进行证明时可以将一些著名的不等式直接进行应用，加快了解题思路，同时也是证明变得更加简洁，方便，其作用十分明显。要点：Cauchy不等式：设为任意实数（）则，其中当且仅当成比例时等号才成立。 Schwarz不等式：若上可积，则。若上连续，其中等号当且仅当存在常数使得时成立（不同时为零）。Holder不等式：设是两个正整数序列，则当时，有，当时，。其中当且仅当成比例时取等号。平均不等式：对任意n个实数恒有。其中当

17、且仅当时等号成立。 例10.1 已知，在上连续，为任意实数，求证：。证明：所要证明的式子的左端第一项应用 Schwarz不等式 （1） 同理可得 （2）+（2）得：。即得证。例10.2 若在上连续可微，其中等号成立的条件当且仅当时成立。证明：（1）记，则。由知。因此，=即不等式得证。（2）当时等号显然成立。所以只需证明必要性即可。如上已证有。若中的等号成立则有。记。于是相当于方程式。因而二次方程有唯一根：。由。最后，假若,即即得综上所述，不论A是否为零，当所要证明的不等式的等号成立时。必要性即得证。所以原不等式得证。总结不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个

18、重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点，。不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其的证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种常用方法，也即并用例题作一讲解，意在抛砖引玉。参考文献:1裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社.2006.2贺彰雄.不等式证明的几种常见方法J.湖北教育学报,2007，10(1)：10-20. 3王晓峰，李静.证明不等式的若干方法J.数理医药学杂志.2008.12(1):12-20.4张锦来.微分法在不等中的应用J.新乡教育学报.2008.10(2):12-20.5郭要红，戴普庆.中学数学研究M.安徽：安徽教育出版社.6陈妙琴.泰勒公式在证明不等式中的应用J.宁德师专学报.2007.05:0154-03.7华东师范大学数学系编.数学分析(上、下)M.高等教育出版社.8Nancy Krieger. Embodying InequalityJ.International Journal of Health Services .Volume 29,