普陀初中培训机构：锐角三角比

1、 唐L老师初三秋季班教案锐角三角比以及实际应用知识点归纳1.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值.2.如图，在RtABC中，A、B、C所对的边分别记为a、b、c.在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切.记作tanA.tanA3.在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切.记作cotA.cotA4.（1）在RtABC中，A+B=90°：则有 tanA·cotA=1 tanA= tanB= （2）0°90°：当角度不断增大时，正切

2、值变大余切值变小 （3）一个角的正切值等于它余角的余切值。5.在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比是一个固定值.6.如图，在RtABC中，A、B、C所对的边分别记为a、b、c.在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正弦.记作sinA.sinA；7在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余弦.记作cosA.cosA；8.（1）若,那么=或=;（2）; （3） （3）0°90°：当角度不断增大时，正弦值变大余弦值变小 （4）一个角的正弦值等于它余角的余弦值（正正余余）

3、9.我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.10.解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角.(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角11.在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.12.坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=.坡度通常写成1:m的形式，如i=11.5坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作.坡度i与坡角之间的关系: i=tan.13.sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(

4、A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tan(A-B) = cot(A+B) = cot(A-B) = sin()= cos()= tan()= cot()= tan()=准备好了吗？让我们开始冲关之旅！ Round 1 小试牛刀ABC1如图，在直角ABC中，C90o，若AB5，AC4，则cotA（ ） A B C D2在ABC中，C=90°，BC=2，tanA=，则边AC的长是( ) A B3 C D 3如图, 在中，,求sinB，cosB的值.4在RtABC中, C=90°,BC

5、=6,sinA=,求cosA和tanB的值. 5在ABC中，C90°，a，b，c分别是A、B、C的对边，则有（） ABCD 本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.6在ABC中，C90°，如果，那么tanB的值为（） A B C D Round 2 崭露头角一关于三角比的计算1.（1） （2） （3） （4）2 与图形相结合1如果A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（ ）。 （A） （B） （C） （D）12有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为（ ）。 （A）cm （B） （C） （D）3如

6、图3，在中, ,则的长是( ) （A） （B） （C） （D） 4如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处已知，AB=8,则的值为 ( ) （A） （B） （C） （D） 图3 图4 图55如图5，在等腰直角三角形中，为上一点，若 ，则的长为( ) （A） （B） （C） （D） 6已知正三角形，一边上的中线长为，则此三角形的边长为( ) （A） （B） （C） （D）7在中，、都是锐角，且，则的形状是 ( ) （A）直角三角形 （B）钝角三角形 （C）锐角三角形 （D）不能确定 8等腰三角形中，腰长为5cm，底边为8cm，则他的底角的正切值为_.9在RtABC中, B=90°,AC

7、边上的中线BD=5，AB=8，则 cosACB=_.图1110如图11所示，在高2米、坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_米（,精确到0.1米）11.如图，D为ABC的AB边上一点，且BD=3AD，CD=6，cos ，求BC边上的高AE的长。 12如图，已知：在ABC中，ABC135°，P为AC上一点，且PBA90°，CP:PA1:2。 （1）求tanAPB。 （2）若PB2，求AC长。13 如图12所示，中，于，则cosC 是多少？三与实际问题相结合（一）俯仰角问题1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为

8、45°，又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)AB12千米PCDG60°2.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）MNBOADOC30°45°3.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面

9、的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）请求出旗杆MN的高度（参考数据：，结果保留整数）ACPDB4.山顶有一铁塔，从地面A点看塔顶P的仰角是45°，沿坡度1：的山坡向上走了100米到达D点，再看塔顶的仰角是60°，求塔顶P到地面的距离PC。 5在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角

10、为45°.AB45°60°CED(第19题图)（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°0.707,cos45°0.707,tan45°=1,sin60°0.866,cos60°=0.5,tan60°1.732）6.图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长7. 为了缓解酒

11、泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°求路况显示牌BC的高度 第19题图（二）方位角问题北北东45° 5°60° 5°1.海中有一小岛A,该岛四周40海里内有暗礁,今有一货轮由西向东航行, 在C处见A岛在北偏东60°,航行30海里后到达B处,见岛A在北偏东45°,你认为货船继续向西航行,途中会有触礁的危险吗?变式练习：PABC30°60°北如图，小明同学在东西方向

12、的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到环海路的距离PC（用根号表示）2.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长. 3.已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行

13、，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)4.在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市

14、？请说明理由(参考数据，)5.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB2km，DAC15°ABC中山路文化路D和平路45°15°30°环城路EF（1）求B，D之间的距离； （2）求C，D之间的距离 ABC北北60º45ºD6.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递，途经A、B、C、D四地如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45

15、6;方向，在B地正北方向，在C地北偏西60º方向C地在A地北偏东75º方向B、D两地相距2km问奥运圣火从A地传到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：） 北30°30°东OBCA（第20题）北7.如图，港口B位于港口O正西方向120海里外，小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去（1）快艇从港

16、口B到小岛C需要多少时间?（2）快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇?（三）存在性问题ABCD60°45°北1.要将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便A、B两地交通，学校准备在相处2km的A、B两地之间修一条笔直公路，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园。问计划修这条公路会不会穿过公园？为什么？变式练习：某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C

17、一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍（1）求牧民区到公路的最短距离CD（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由 AD北C东45°60°（结果精确到0.1参考数据：取1.73，取1.41）2.中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速

18、检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s （1）试求该车从A点到B点的平均速度; （2）试说明该车是否超过限速 3.某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D点测得树的顶部A点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?BCFEA4.去年夏季山洪暴发，我市好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡某

19、学校紧挨一座山坡，如图所示，已知AFBC，斜坡AB长30米，坡角ABC60º改造后斜坡BE与地面成45º角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）CBADEFG5.兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD14米，该河岸的坡面CD的坡角CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)26、如图，在气象站台A的正西方向的B处有

20、一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响。（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？图26（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？（四）梯形问题1.如图，梯形ABCD是拦水坝的横截面，已知斜坡CD的坡度，B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横截面ABCD的面积。3米DAC2.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，斜坡AC的坡度为1：1，行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角前需留3米的人行道，问：离原坡角10米

21、的建筑物是否要拆除？请说明理由。 COABP山坡水平地面3.如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度且在同一条直线上求电视塔的高度以及此人所在位置点的铅直高度（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）4.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由(说明：的计算结果精确到0.1米，参考数

22、据：1.41，1.73，2.24，2.45)5.如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝高6米，坝长50米 (1)求加宽部分横断面AFEB的面积； (2)完成这一工程需要多少方土？6.已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为11的等腰梯形现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为11.5已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石? Round 3 挑战中考一选择题1. （天津市）的值等于（ ） （A）1 （B） （C） （D）22. （浙江杭州）如图，

23、在RtABO中，斜边AB=1若OCBA，AOC=36°，则（ ） （A）点B到AO的距离为sin54° （B）点B到AO的距离为tan36° （C）点A到OC的距离为sin36°sin54° （D）点A到OC的距离为cos36°sin54°3. （浙江宁波）如图，在RtABC中，C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为（ ） （A）4 （B）2 （C） （D）4. （江苏无锡）sin45°的值等于（ ） （A） （B） （C） （D）15. （四川乐山）在RtABC中，C=90°，AB=2

24、BC，则sinB的值为（ ）（A） （B） （C） （D）16. （四川内江）如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） （A） （B） （C） （D）7. （山东滨州）把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（ ） （A）不变 （B）缩小为原来的（C）扩大为原来的3倍（D）不能确定8. （山东济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanACB的值为（ ） （A）（B） （C）（D）3 9.（广西贵港）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sinAOB的值等于（ ）

25、 （A） （B） （C） （D）10.（甘肃兰州）sin60°的相反数是（ ） （A） （B） （C） （D）11.（青海省）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 12.（内蒙古包头）在Rt ABC 中，C=900，若AB =2AC ，则sinA 的值是（ ） （A） （B） （C） （D）14.（黑龙江哈尔滨）在RtABC中，C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是（ ） （A） （B） （C） （D）15.（泰安中考）如图，在中，于，若，则的值为（ ）ACBD （A） （B） （C）

26、（D）16.（长春中考）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为（ ） （A） （B） （C） （D）17.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） （A）8米 （B）米 （C）米 （D）米18.（毕节中考） A（cos60°，tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（ ） （A） （B） （C） （D） 19.（益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）5米AB （A） （B） （C）

27、（D） 20.（兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） （A）5m （B）6m （C）7m （D）8m21.(潍坊中考)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米 （A）25 （B） （C） （D）二、填空题1. （宁夏区）在ABC中C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= _.2. （江苏常州）若=60°，则的余角为_，cos的值为_。3. （湖北武汉）tan60°_4.

28、 （湖北孝感）计算：cos245ºtan30º·sin60º_5. （贵州黔东南）计算cos60°=_6. （山东烟台）计算：tan45°+cos45°=_7. （荆门中考）=_8.（衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_.三、解答题1.（江西南昌）计算：sin30°+cos30°tan60°2.（黄石中考）计算：31+(21)0tan30°tan45°3.（崇左中考）计算：4. （义乌中考）计算：5.（宁夏中考）在ABC中，C=90°，sinA=，AB=15，求ABC的周长和tanA的值 6.（芜湖中考）如图，在ABC中，AD是BC上的高，(1) 求证：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的长7.（上海市）如图在RtABC中，ACB=90°，D是边AB的中点，BECD，垂足为点E已知AC=15，co